1、高中物理万有引力定律的应用模拟试题一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1 载人登月计划是我国的“探月工程 ”计划中实质性的目标假设宇航员登上月球后，以初速度 v0 竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t. 已知引力常量为G，月球的半径为 R，不考虑月球自转的影响，求：(1)月球表面的重力加速度大小g月 ；(2)月球的质量 M；(3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T.【答案】 (1)2v0； (2)2R2v0； (3)2RttGt2v0【解析】【详解】(1) 小球在月球表面上做竖直上抛运动，有2v0tg月月球表面的重力加速度大小g月2v 0t(2) 假设月球
2、表面一物体质量为m，有MmG R2 =mg月月球的质量M2R2v0Gt(3) 飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，有Mm2m2GRR2T飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期RtT22v02 已知地球的自转周期和半径分别为T和RA的圆轨道半径为h卫星B，地球同步卫星沿半径为r（ rh）的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同求：（ 1）卫星 B 做圆周运动的周期；（ 2）卫星 A 和 B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）【答案】 （1） ( r ) 3/2 T（ 2）r 3/2r 3/2 )(arcsin R +arcsinR )Th(h3/2hr【解
3、析】试题分析：（1）设卫星 B 绕地心转动的周期为 T，地球质量为M ，卫星 A、 B 的质量分别为 m、 m，根据万有引力定律和圆周运动的规律有：G Mm mh 4 2h2T 2Mm4 2G mrr 2T 2联立两式解得：Tr)3/2T (h（2）设卫星 A 和 B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔t，在时间间隔t 内，卫星 A 和 B绕地心转过的角度分别为和 ，则： t 2， t 2 TT若不考虑卫星A 的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B 的位置应在下图中B 点和 B点之间，图中内圆表示地球的赤道由图中几何关系得： BOB 2（ arcsin R arcsin R ） hr由 式知，当
4、rh 时，卫星 B 比卫星 A 转得快，考虑卫星A 的公转后应有： BOB由式联立解得： t r 3/2（ arcsin R arcsin R ） T( h3/2r 3/2 )hr考点：本题主要考查了万有引力定律的应用和空间想象能力问题，属于中档偏高题3 由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为A、B、 C 三颗星体质量不相同时的一般情况）若A 星体的质量为2m， B、 C 两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：（ 1） A 星
5、体所受合力的大小 FA；（ 2） B 星体所受合力的大小 FB；（ 3） C 星体的轨道半径 RC；（ 4）三星体做圆周运动的周期T【答案】 （1） 2 3Gm27Gm27（ 4） Ta2（ 2）a2（ 3）a4【解析】【分析】【详解】（1）由万有引力定律，A 星体所受B、 C 星体引力大小为FR4G mA mBG 2m2FCA ,r 2a2则合力大小为2m（2）同上， B 星体所受 A、 C 星体引力大小分别为FABG mA mBG 2m2r 2a2FCBG mC mBG m2r 2a2则合力大小为FBxFAB cos60FCB2Gm2a2FByFAB sin 603Gm2a2可得FBFBx
6、2FBy27G m2a2（3）通过分析可知，圆心O 在中垂线 AD 的中点，3227RC1aaa442（4）三星体运动周期相同，对C 星体，由7G m2m 22FC FBRCa2T可得a2TGm2 a3 Gm4 探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我国不懈追求的航天梦，我国航天事业向更深更远的太空迈进。（ 1） 2018 年 12 月 27 日中国北斗卫星导航系统开始提供全球服务，标志着北斗系统正式迈入全球时代。覆盖全球的北斗卫星导航系统由静止轨道卫星（即地球同步卫星）和非静止轨道卫星共 35 颗组成的。卫星绕地球近似做匀速圆周运动。已知其中一颗地球同步卫星距离地球表面的高度为 h，地
7、球质量为 Me，地球半径为 R，引力常量为 G。a.求该同步卫星绕地球运动的速度v 的大小；b.如图所示，O 点为地球的球心，P 点处有一颗地球同步卫星，P 点所在的虚线圆轨道为同步卫星绕地球运动的轨道。已知h= 5.6R。忽略大气等一切影响因素，请论证说明要使卫星通讯覆盖全球，至少需要几颗地球同步卫星？（cos81= 0.15 sin810.99,）（2）今年年初上映的中国首部科幻电影流浪地球引发全球热议。根据量子理论，每个光子动量大小 ph（h 为普朗克常数， 为光子的波长）。当光照射到物体表面时将产生持续的压力。设有一质量为m 的飞行器，其帆面始终与太阳光垂直，且光帆能将太阳光全部反射。
8、已知引力常量为G，光速为 c，太阳质量为 Ms，太阳单位时间辐射的总能量为E。若以太阳光对飞行器光帆的撞击力为动力，使飞行器始终朝着远离太阳的方向运动，成为“流浪飞行器”。请论证：随着飞行器与太阳的距离越来越远，是否需要改变光帆的最小面积s0。（忽略其他星体对飞行器的引力）GM eb至少需要 3颗地球同步卫星才能覆盖全球（2）随着飞行【答案】（ 1） a. vhR器与太阳的距离越来越远，不需要改变光帆的最小面积s0【解析】【详解】（1） a设卫星的质量为m。由牛顿第二定律 GM emv22m，R hRhGM e得 vR hb如答图所示，设P 点处地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度
9、为2，至少需要 N 颗地球同步卫星才能覆盖全球。由直角三角形函数关系 cos，得 。Rhh= 5.6 R= 81R所以 1 颗地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2 =162 N360 =2.22所以， N = 3，即至少需要3 颗地球同步卫星才能覆盖全球（2）若使飞行器始终朝着远离太阳的方向运动，当飞行器与太阳距离为r 时，光帆受到太阳光的压力 F 与太阳对飞行器的引力大小关系，有FG M smr 2设光帆对太阳光子的力为F，根据牛顿第三定律F = F设t 时间内太阳光照射到光帆的光子数为n ，根据动量定理： F t2n htN，则 NEt设时间内太阳辐射的光子数为h c设光帆
10、面积为s， nsN4 r 2当 F =G M sm时，得最小面积 s02 cGM smr 2E由上式可知， s0 和飞行器与太阳距离 r 无关，所以随着飞行器与太阳的距离越来越远，不需要改变光帆的最小面积 s0。5 人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。(1)开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20 余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。行星轨道半长轴的三次方与其公转周期
11、的二次方的比值是一个常量。实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。(2)天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为 T，两颗恒星之间的距离为d，引力常量为 G。求此双星系统的总质量。(3)北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，由全球 200 多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣。同学们在查阅相关资料后知道：黑洞具有非常强的引力，即
12、使以8310m/s 的速度传播的光也不能从它的表面逃逸出去。地球的逃逸速度是第一宇宙速度的2 倍，这个关系对于其他天体也是正确的。地球质量2422me =6.0 10kg，引力常量G= 6.67 101N?- m / kg。请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）。（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）【答案】 (1) r 3Gms4 2 d3-3T 24 2(2)GT 2(3) 9m10【解析】【详解】设太阳质量为 ms，地球质量为 me，地球绕太阳公转的半径为 r
13、 太阳对地球的引力是地球做匀速圆周运动的向心力根据万有引力定律和牛顿运动定律msmeme42G2T2rr解得常量r 3GmsT 24 2设双星的质量分别为 m1、 m2 ，轨道半径分别为 r1、 r2 根据万有引力定律及牛顿运动定律G m1m242m1r1d 2T 2m m42m2r2G 1 2 2T2d且有r1 +r2d双星总质量m总 =m14 2d 3m2GT 2设地球质量为 me，地球半径为R。质量为 m 的物体在地球表面附近环绕地球飞行时，环绕速度为 v1由万有引力定律和牛顿第二定律me mv12G2mRR解得Gmev1逃逸速度R2Gmev2R假如地球变为黑洞v2c代入数据解得地球半径
14、的最大值-3R=9 10m6 如图所示是一种测量重力加速度g 的装置。在某星球上，将真空长直管沿竖直方向放置，管内小球以某一初速度自 O 点竖直上抛，经 t 时间上升到最高点， OP 间的距离为 h，已知引力常量为 G， 星球的半径为 R；求：（ 1）该星球表面的重力加速度g；（ 2）该星球的质量 M；（ 3）该星球的第一宇宙速度 v1。【答案】（2h（ 2）2hR22hR1） gGt 2（3）t 2t【解析】（ 1）由竖直上抛运动规律得：t 上 =t 下=t由自由落体运动规律：h1gt 222hgt 2（2）在地表附近： G MmmgR2gR22hR2MGt 2G（3）由万有引力提供卫星圆周
15、运动向心力得：G Mmm v12R2RGM2hRv1tR点睛：本题借助于竖直上抛求解重力加速度，并利用地球表面的重力与万有引力的关系求星球的质量。7 如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v0 抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：（ 1）该星球表面的重力加速度；（ 2）该星球的密度；（ 3）该星球的第一宇宙速度 v；（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T【答案】 (1)2v0 tan； (2)3v0 tan； (3)2v0Rtana ； (4) 2Rtt2 GRttv0t
16、an【解析】【分析】【详解】(1) 小球落在斜面上，根据平抛运动的规律可得：y1 gt22gttanv0t2v0x解得该星球表面的重力加速度：g2v0 tant(2)物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：GMmR2则该星球的质量：mggR 2MG该星球的密度：M3g3v0tan4R34 GR2 GRt3(3)根据万有引力提供向心力得：Mmv2GmR2R该星球的第一宙速度为：GM2v0 RtanavgRRt(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动时，运行周期最小，则有:T2 Rv所以：T2 Rt2Rtv0 Rtanv0tan点睛：处理平抛运动的思路就是分解重力加速度运动研究联系
17、的物理量g 是天体运动研究和天体表面宏观物体8 宇航员王亚平在 “天宫一号 ”飞船内进行了我国首次太空授课若已知飞船绕地球做匀速圆周运动的周期为 T ，地球半径为 R ，地球表面重力加速度 g ，求：（ 1）地球的第一宇宙速度 v ；（ 2）飞船离地面的高度 h 【答案】 （1） vgR （2） h3gR2T 2R42【解析】【详解】（1）根据 mgm v2 得地球的第一宇宙速度为：RvgR （2）根据万有引力提供向心力有：GMmm Rh 4 2，(R h)2T 2又 GMgR2 ，解得： h3 gR2T242R 9 我国在 2008 年 10 月 24 日发射了 “嫦娥一号 ”探月卫星同学们
18、也对月球有了更多的关注(1)若已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，月球绕地球运动的周期为地球的运动可近似看作匀速圆周运动，试求月球绕地球运动的轨道半径T，月球绕(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0 竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M 月【答案】 (1) 3 gR2T 2 ； (2) 2v0 r 2 4 2Gt【解析】【详解】(1)设地球的质量为 M ，月球的质量为 M 月 ，地球表面的物体质量为 m ，月球绕地球运动的轨道半径 R ，根据万有引力定律提供向心力可得：MM 月M 月 ( 2 )
19、2 RG2RTmgMmGR2解得：gR2T 2R34 2(2)设月球表面处的重力加速度为g ，根据题意得：v0g t2m0 gGM 月m0r 2解得：M 月2v0 r 2Gt10 已知地球质量为M ，万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。忽略地球自转影响。（ 1）求地面附近的重力加速度g；（ 2）求地球的第一宇宙速度 v；（ 3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道哪些相关数据？请分析说明。【答案】（ 1） gGM2 （ 2） vGM （ 3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质RR量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。【解析】【详解】（1）设地球表面的物体质量为m , 有MmGR2mg解得gGMR2（2）设地球的近地卫星质量为m ，有G Mm2m vR2R解得GMvR（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。设太阳质量为 M ，地球绕太阳运动的轨道半径为r、周期为 T，根据 G M MM 4 2r 可知若知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量可求r 2T 2得太阳的质量。
