1、最新 料推荐二次函数与直线、一元二次方程的关系一、二次函数与直线的关系（ 1）抛物线 y ax2bxc 与 y 轴的交点是 0, c ；（ 2）抛物线 y ax2bxc与 x 轴的交点，因为 x 轴上的点的纵坐标都为 0，所以令 y 0 ，代入得 ax2bxc0，解这个一元二次方程得xb b24ac ，所2a以抛物线与 x 轴的交点坐标是bb24ac ,0 和bb24ac ,0；2a2a（ 3）一次函数 y kx b k0的图象与二次函数yax2bxc a0 的图象的交点的个数，由方程组ykxb的解的数目确定：yax2bxc方程组有两组不同的解两函数图象有两个交点；方程组只有一组解两函数图象只
2、有一个交点；方程组无解两函数图象没有交点。例 1、已知：抛物线的解析式为yx22m1 xm2 m 。（ 1）求证：此抛物线与 x 轴必有两个不同的交点；（ 2）若此抛物线与直线 y x 3m 4的一个交点在 y 轴上，求 m 的值。变式 1-1 、在直角坐标平面中， O 为坐标原点， 二次函数yx2k1 x4 的图象与 y 轴交于点 A ，1最新 料推荐与 x 轴的负半轴交于点B ，且 S OAB6。（ 1）求点 A 与点 B 的坐标；（ 2）求此二次函数的解析式；3P在 x 轴上，且ABP是等腰三角形，求点P的坐标。（ ）如果点二、二次函数与一元二次方程的关系方程 ax2bxc0 的两个实数
3、根为 x1、 x2 ，与 x 轴的交点为 A、B ，如下表：判别式的情况000抛物线 yax2bxc有两个交点有一个交点无交点与 x 轴的交点二次方程有两个不相等的实有两个相等的实ax2根 x1、x2 , AB x1 x2根 x1 x2无实根bx c0 的实根例 2、（ 2011 潍坊）已知一元二次方程ax2bxc 0 a 0 的两个实数根x1、 x2 满足 x1 x2 4和 x1x2 3 ，那么二次函数 y ax2 bxc a0的图象有可能是（）。变 式2-1 、（ 2011呼 和浩 特 ） 已 知 一 元二 次 方程x2bx30 的 一 根为3 ， 在二 次 函数2最新 料推荐y x2bx
4、 3 的图象上有三点4, y1 、5, y2、 1, y3，则 y1、 y2、 y3 的大小关系是。546例 3、如图所示，抛物线 yx22 m 1 x m 3 与 x 轴交于 A、B 两点，则 OB : OA 3:1 ，则 m =。变式 3-1 、设函数 y x2k 1 x 4 k5 的图象如图所示， 它与 x 轴交于A、 B 两点，且线段 OA 与 OB 的长的比为 1: 4，则 k =。例 4、已知抛物线 y 2 k1 x24kx 2k 3 。求：（ 1） k 为何值时，抛物线与x 轴相交于两点；（ 2） k 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点分别在原点的两侧？变式 4-1 、已知抛物线
5、 y x2mx m5。（ 1）求证：不论 m 为何实数，抛物线与x轴都有两个不同的交点？3最新 料推荐（ 2）当 m 为何值时，抛物线与x 轴的交点分别都在原点左侧？（ 3）当 m 为何值时，抛物线与x 轴的交点分别在1,0 两侧？例 5、已知二次函数yax 2bxc 的图象经过点2, 3 ，对称轴是直线x2 ，在 x 轴上截得的线段长为 2 10 ，求这个二次函数的解析式。变式 5-1 、已知二次函数yax 2bxc的顶点为1, 4 ，且抛物线在x 轴上截得的线段长为4，求抛物线的解析式。变式 5-2 、如图， 二次函数的图象经过点D 0, 73 ，且顶点 C9的横坐标为 4，该图象在 x
6、轴上截得的线段AB 的长为 6.4最新 料推荐（ 1）求二次函数的解析式；（ 2）在该抛物线的对称轴上找一点P ，使 PAPD 最小，求出点P 的坐标。例 6、关于 x 的一元二次方程m2 1 x22 m2x 10 。（ 1）当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（ 2）点 A 1, 1 是抛物线 ym21 x22m2 x1上的点，求抛物线的解析式；（ 3）在（ 2）的条件下，若点 B 与点 A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由。思考：1、函数 yax2ax3x1的图象与 x 轴有且只有一个交点，求a 的值和交点
7、坐标。2、已知抛物线 y x2kx3k 2 （ k 为常数，且 k0 ）。4（ 1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（ 2）设抛物线与 x 轴交于 M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、 ON ，且 112，ONOM3求 k 的值。5最新 料推荐二次函数与直线、一元二次方程的关系习题练习1、在二次函数yax 2bxc 中，若 a 与 c 异号，则其图象与x 轴的交点个数为。2、不论 m 为何实数，抛物线 y x2mxm 2 （）。A.在 x 轴上方B. 与 x 轴只有一个交点C. 与 x 轴有两个交点D. 在 x 轴下方3、若抛物线ykx22x1与 x 轴有两个交点，则k 的取
8、值范围是。4、已知函数ykx27 x7 的图象和 x 轴有交点，则k 的取值范围是。5、如果一个二次函数的图象经过点A 6,10 ，与 x 轴交于 B、C 两点，点B、 C 的横坐标分别为x1、 x2 ，且 x1x26, x1x25，求这个二次函数的解析式。6 、 已 知 关 于 x 的 方 程 x22m1 xm220 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 试 判 断 直 线y2m3 x4m7 能否经过点A2,4 ，并说明理由。6最新 料推荐7、如 所示，已知抛物 P : y ax2bxc a 0 与 x 交于 A、 B 两点（点 A 在 x 的正半 上），与y 交于 点 C，矩形 DEFG 的一条 DE 在 段 AB 上， 点 F、G 分 在 段 BC、 AC 上，抛物 P 上的部分点的横坐 的 坐 如下。x3212y545022（ 1）求 A、B、C 三点的坐 ；（ 2）若点 D 的坐 m,0 ，矩形 DEFG 的面 S ，求 S 与 m 的函数关系式，并指出m 的取 范 ；（ 3）当矩形 DEFG 的面 S 最大 ， 接DF 并延 至点 M ，使 FMkDF ，若点 M 不在抛物线 P 上，求 k 的取 范 ；（ 4）若点 D 的坐 1,0 ，求矩形 DEFG 的面 。7
