1、椭圆及其标准方程优秀观摩课活动教案课题：椭圆及其标准方程教材：人教版（必修）数学第二册( 上) 第八章第一节一、教学目标 ：1知识与技能目标：（ 1）掌握椭圆定义和标准方程。（ 2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题。2过程与方法目标：（ 1）让学生在椭圆定义的归纳和标准方程的推导过程中，体会探索的乐趣。（ 2）培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。（ 3）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合、化归等思想和方法3情感态度与价值观目标：（ 1）通过椭圆定义的获得培养学生对数学的兴趣，通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美” 。
2、（ 2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。二、教学重点、难点 ：1重点：椭圆定义及其标准方程2难点：椭圆标准方程的推导三、教学过程（一）、认识椭圆，探求规律:1对椭圆的感性认识。通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆。如：2通过动画设计，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹。点 B 是线段 AC上一动点， 分别以 F1 , F2 为圆心， | AB |与 | BC |为半径做圆， 观察两圆交点 M , N 的轨迹。请同学们思考：运动 点（ 1）在运动中， 哪些量是不变的， 哪些量
3、是ABC变化的？（ 2）能不能把不变的量用数学表达式表达M出来？F 1F 2（ 3）点 M , N （椭圆上的点） 是以怎样的规N律进行运动的？（ 4）用这个规律能不能画出一个椭圆？（二）、动手实验，亲身体会用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手） ，体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板） ，并以此了解椭圆上的点的特征。请两名两学上台画在黑板上。在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义， 而是设计一个实验， 一来是为了给学生一个创造实验的机会， 让学生体会椭圆上点的运动规律； 二是通过实践， 为进一步上升到理论做准备。（三）、归纳定义，完善定义我们通过动画演示，实践
4、操作， 对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳椭圆的定义（学生分组讨论） 。椭圆定义： 平面内与两个定点F1 , F2 的距离的和等于常数（大于| F1 F2 | 2c）的点的轨迹叫做椭圆在定义的归纳过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导学生完善定义。在引导中突出体现“和”，“常数”，及“常数”的范围等特征。如：总结动画演示中两圆半径之和 | MF1 | | MF 2| | AB |（常数）得到椭圆上点 M 到两定点距离之和为常数。通过课件分别演示当两定点间距离等于线段| AB |长度时的轨迹（为一条线段）和当两定点距离大于线段| AB |长度时的轨迹（不存在），由学生完善椭圆定义中常数的范
5、围。运动 点ABCF1F 2教师指出：两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。（四）、合理建系，推导方程由学生自主提出建立坐标系的不同方法， 教师把学生分组， 分别按不同的建系的方法推导方程，得出结论后， 进行比较，从中选择比较简洁的形式确定为标准方程。已知椭圆的焦距 F1F2 2C（C0），椭圆上的动点 M到两定点 F1、F2 的距离之和为 2a，求椭圆的方程。（1）以两个定点 F1 , F2所在直线为 x轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系设F1 F22 (0)，点M ( x, y)为椭圆上任意一点，则c cPM MF1MF22a ，所以得xc 2y 2
6、xc 2y 22a ，化简，得(a 2c 2 ) x2a 2 y 2a2(a 2c 2 )注：这是本节的难点所在，通过课堂精心设问来突破难点： 化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？学生通过实践， 发现对于这个方程， 直接平方不利于化简， 而整理后再平方，最后能得到圆满的结果。这样，椭圆方程的化简这一难点也就迎刃而解了。（2）以线段 F1 F2 中点为坐标原点，F1 F2 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，所得椭圆方程为：a2 x 2(a 2c 2 ) y 2a2 (a 2c2 )（3）以点 F1 为坐标原点， F1 F2 所在直线为 x 轴
7、建立平面直角坐标系， 所得椭圆方程为： ( a 2c 2 ) x 2a 2 y22c( a 2c 2 ) (a 2c 2 ) 2相比之下，（1）（ 2）的建系方式所得方程较简洁。同学们观察右图，当 B 运动到线段 AC中点时，两圆半径相等，即 | MF1 | | MF 2 |a ，因 | OF1 | c ，则 a 2c 2| MO |2 ，不妨令 a2c 2b2 ，那么（ 1）（ 2）所得的椭圆方程可化为：x 2y 21， (ab0)（1）a 2b 2y 2x 21， (ab0)（2）a 2b 2我们称（ 1）（2）为椭圆的标准方程。理解：1. 所谓椭圆标准方程， 一定指的是焦点在坐标轴上，
8、且两焦点的中点为坐标原点；2在 x2y21与 y2x222221这两个标准方程中，都有 ab 0 的要求，abab也就是说，焦点在哪上轴上，哪个对应的分式的分母就较大。（五）、应用举例，小结升华。例 1. 用定义判断下列动点M 的轨迹是否为椭圆。(1) 平面内，到 F1 ( 2,0), F2 (2,0) 的距离之和为 6 的点的轨迹。（是）(2) 平面内，到 F1 (0, 2), F2 (0,2) 的距离之和为 4 的点的轨迹。（不是）(3) 平面内，到 F1 ( 2,0), F2 (2,0) 的距离之和为 3 的点的轨迹。（不是）例 2.方程 x2y 21表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 a
9、的取值范围为 (3, )a3例 3.已知椭圆方程为 x 2y 21，则两焦点坐标为： ( 7,0), ( 7 ,0)169小结： 由学生进行总结本节课所学习到的知识和思想方法。1、知识总结：椭圆的定义，标准方程2、思想方法总结：板书设计：8.1 椭圆及其标准方程一、定义二、标准方程三、例题( 文字表述 )学 生 做的椭圆( 符号表述 )说明：数学教学是思维过程的教学， 如何引导学生参与到教学过程中来， 尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、 能动性和创造性有着非常重要的意义。 本节借助多媒体辅助手段，创设
10、问题的情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关。 本节课从实例出发， 设计了一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究。在教材处理上， 大胆创新， 根据椭圆定义的特点， 结合学生的认识能力和思维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围。在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式， 而是让学生自主地“建系”， 通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美。在对教材中“令a 2c2b2 ”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让学生观察在当 M 为椭圆短轴端点时 ( 但这一几何性质并不向学生交待 ) ，特征三角形所体现出来的几何关系，再做变换。当当 当
