1、 课时作业 A 组 基础巩固 1点 A 的柱坐标是，则它的直角坐标是()2， ， 76A ( 3，1,7)B ( 3， 1， 7)C(2 3，1,7)D (23， 1， 7)解析： 2， 6，z 7，x cos 3，y sin 1， z 7，点 A 的直角坐标是( 3， 1,7)答案： A2若点 M 的直角坐标为 (2,2,22)，则它的球坐标为 ()5 ，A. 2， 44B. 4， 4 433 3C. 4， 4，4D. 4， 4 ， 4解析： 由坐标变换公式得，r x22222得 cos 2 ，所以 y z 4，由 r cos z2y 4，又 tan x 1，点 M 在第卦限，所以 4，所以
2、M 的球坐标为4， 4， 4 .答案： B3若点 P 的柱坐标为2， ，3 ，则 P 到直线 Oy 的距离为 ()6A 1B 2C. 3D.6解析： 由于点 P 的柱坐标为 (， ，z)2， 3，故点 P 在平面 xOy 内的射影 Q 到6直线 Oy 的距离为 cos63，可得 P 到直线 Oy 的距离为 6.答案： D4在直角坐标系中，(1,1,1) 关于 z 轴对称点的柱坐标为 ()3B.， 1，1A. 2， 42，457C. 2， 4 ， 1D.2， 4 ， 1解析： (1,1,1) 关于 z 轴的对称点为 ( 1， 1,1)，它的柱坐标为52， 4 ，1 .答案： C1 5的球坐标为4
3、， P2的柱坐标为2，1 ，则 |P1 2| ()5已知点 P236PA.21B. 29C.30D 4 2解析： 设点 P1 的直角坐标为 (x1， y1， z1)，5x1 4sin2cos 3 ，x1 2，5则y1 4sin 2sin3 ，得y1 23，z1 0.z1 4cos 2，故 P1(2， 2 3， 0)，设点 P2 的直角坐标为(x2， y2， z2)，x2 2cos 6，x23，故得2y2 2sin 6，y 1，z 1.22z 1，故 P2( 3， 1,1)则 |P1P2| 2 3 2 2 31 2 01 2 21.答案： A5 ，则 |OM | _.6已知柱坐标系Oxyz 中，
4、点 M 的柱坐标为2，3，解析： (， ， z) 2， ， 53设 M 的直角坐标为 (x，y， z)，2222则 x y 2，|OM|x2 y2 z2225 2 3.答案： 37已知点 M 的直角坐标为 (1,2,3) ，球坐标为 (r，)，则 tan _，tan _.解析：如图所示，tan x2 y25，z3ytan 2.答案：52325 ，且点 M 在数轴 Oy 上的射影为8已知在柱坐标系中，点 M 的柱坐标为2， 3 ，N，则 |OM| _， |MN| _.解析： 设点 M 在平面 xOy 上的射影为P，连接 PN，则 PN 为线段 MN 在平面 xOy 上的射影因为 MN 直线 Oy
5、， MP平面 xOy，所以 PN 直线 Oy.所以 |OP| 2， |PN| cos23 1，所以 |OM|22252 z2 3.在 RtMNP 中，MPN 90，所以 |MN|PM|2 |PN|25 2 12 6.答案： 369已知点 P 的球坐标为4，3 ，求它的直角坐标4，4解析： 由变换公式得：3x r sin cos 4sin 4 cos4 2.3y r sin sin 4sin 4 sin4 2.3z r cos 4cos 4 22.它的直角坐标为(2,2， 22)10已知点M 的柱坐标为2， ， 1 ，求 M 关于原点O 对称的点的柱坐标4解析： M(2， 4， 1) 的直角坐标
6、为x2cos41，y2sin4 1，z 1，M 关于原点O 的对称点的直角坐标为( 1， 1， 1)( 1， 1， 1)的柱坐标为：222 ( 1)( 1) 2， 2.11，又 x0 ， y0. 5tan 14 .5其柱坐标为2， 4 ， 15M 关于原点 O 对称点的柱坐标为2， 4 ， 1 .B 组能力提升 1球坐标系中，满足 ，r 0， )， 0，的动点 P(r， ， )的轨迹为 ()4A点B 直线C半平面D 半球面解析： 由于在球坐标系中， 4， r0 ， )， 0， ，故射线 OQ 平分xOy，由球坐标系的意义，动点P(r， ， )的轨迹为二面角 x-OP-y 的平分面，这是半平面，
7、如图答案： C2已知点 P 的柱坐标为，点 B 的球坐标为 ，则这两个点在空间2， 56， ，643直角坐标系中的点的坐标分别为()A P(5,1,1) ，B36， 32， 6442BP(1,1,5) ， B36， 32， 6442CP 3 6，32，6 ，B(1,1,5)4426， 3 6， 32D P(1, 1,5) ，B 244解析： 设点 P 的直角坐标为 (x， y， z)，则x 2cos2 1， 242y2sin4 1， z 5.设点 B 的直角坐标为(x ，y ， z )，则 63336x 6sin3cos62 24， 63132y 6sin3sin6224，16z 6cos3
8、622 .所以点 P 的直角坐标为(1,1,5) ，点B 的直角坐标为363264 ，4，2 .答案： B3. 如 图，在 柱 坐标 系 中 ， 长 方 体的 两个 顶 点坐标 为 A1(4,0,5) ，则此长方体外接球的体积为 _C16， 52解析： 由 A1、 C1 两点的坐标知长方体的长、宽、高的值为6、4、 5，设外接球的半径为R，则有(2R)2 16 25 36 77，所以 R77， V 4R3 77 77球.236答案： 777764已知球坐标系中，M 4， ，则 |MN |_.，3， N 4， ，663解析： 设点 M 的直角坐标为 (x，y， z)，x r sin cos ，x
9、4sin 6cos 3 1，3，由 y r sin sin ，得y4sin 6sin3z r cos ，z4cos 6 2 3.M 的直角坐标为 (1，3， 23)，同理 N 的直角坐标为 (3， 3，2) ，|MN |1 3 23 3 2 2 3 2 2 2 5 2 3.答案： 25 235.已知正方体 ABCD -A1B1C1D 1 的棱长为 1，如图建立空间直角坐标系Axyz， Ax 为极轴，求点 C1 的直角坐标、柱坐标以及球坐标解析： 点 C1 的直角坐标为(1,1,1) ，设点 C1 的柱坐标为 (，z)，球坐标为 (r ，)，其中 0，r 0,0 ，0 2，x cos ，x r
10、sin cos ，由公式y sin ，及y r sin sin ，z zz r cos ， x2 y2，rx2 y2 z2，得y及ztan x x 0cos r r 0 ，2，r3，得及3tan 1cos 3，3结合题图得 4，由 cos 3 得 tan 2.点 C1的直角坐标为(1,1,1) ，柱坐标为 ( 2，4， 1)，球坐标为3， ， 4 ，其中 tan 2，0 .6以地球球心为坐标原点，地球赤道所在平面为坐标平面xOy，以原点指向北极点的方向为 z轴正方向，本初子午线 (0 经线 )所在平面为坐标平面xOz，建立空间直角坐标系Oxyz， 5如图，已知地球半径为R，点 A 的球坐标为 R， 4，3 ，点 B 的球坐标为 R， 4，6，求：(1)A， B 两地之间的距离；(2)A， B 两地之间的球面距离解析： (1)由于球坐标 (r ，)的直角坐标为(x，y，z)( rsin cos ，rsin sin ，rcos )，所以 A， B 点的直角坐标分别为2626224 R， 4 R， 2 R ， 4 R， 4 R， 2 R，所以 A， B 两地之间的距离为|AB |2 626 22 2R2R 2 R.44RR22(2)由上述可知，在 OAB 中， |OA| |OB| |AB|R，得AOB 3，所以 A， B 两地之间的球面距离为AB 3R.
