1、第 3 讲 数的整除性 知能概述 ： 对于整数 a和不为零的整数 b， 总存在整数 m， n使得 a =bm+n (0nb)， 对于如下两个结论 ： 在 a+b， ab， ab这三个数中必有 2的 倍 数 ： 在 a +b， ab， ab这三个数中必有 3的倍数 ， 其中 （ ）。 A 只有 正确 B 只有 正确 C 都正确 D， 都不正确 (江苏省 竞 赛题 ) 解题思路 ： 举例验证 ， 或按 剩 余类讨论严格证明 。 例 3 已知 7 位数 1287 6xy 是 72的倍数 ， 求出所有符合条件的 7位数 (江苏省竞赛题 ) 解题思路 ： 因 72=89， (8， 9)= 1， 故原数能
2、被 8， 9整除，运用整数能被 8， 9整除的性质求出 x， y的值 。 例 4 一个正整数 N 的各位数字不全相等，如果将 N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最 小数 ， 若最大数与最小数的差正好等于原来的数 N， 则称 N为 “拷贝数 ”， 试 求所有的三位 “拷贝数 ”。 (湖北省武汉市竞赛题 ) 解题思路 ： 设 N 为所求的三位 “拷贝数 ”， 它的各位数字分别为 a， b， c(a， b， c不全相等 )， 将其数码重新 排列后，连同原数共得到 6个三位数 ： , , , , ,a b c b a c a cb b ca ca b cb a， 设其中最大数为 abc，
3、 则最小数为 cba。 从整除性揭示 “拷贝数 ”的特征 。 例 5 证明 ： 对于同样的整数 x和 y， 2x +3y和 9x +5y能同时被 17整除 。 (匈 牙利数学奥林区克试题 ) 解题思路 ： 3(9x+5y) 5(2x +3y)=17x， 这是证明本例的 关 键 。 例 6 请你将 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9这 9个数排出一个 能 被 11整除 且 最大的九位数，并简述排数的 过程， (重庆市竞赛题 ) 解法 1： 设要求的数为 N 因为 N 是 11 的信数，所以它的奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之 和 的 差 是 11的信数，有 0， 11， 22
4、， 33， 44这五种情况 。 因为奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和的和就是 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是一个奇数， 我们知道两整数的和与 差 有相同的奇偶性，所以这个差就只能为 11或 33， 若这个差为 33， 因为和为 45， 故奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和一个为 6，一个为 39， 但 1至 9这 9个数中最小的 4个之和为 10， 大于 6， 故差不能等于 33， 即差为 11。 由和为 45， 差为 1， 可以算出奇数数位的数字之和与偶数数位的数字之和一个为 17， 个为 28。 为使这个九位数最大，我们先将高位安排得尽可能大，先将前四位排成 9876
5、， 由于偶数数位的数字之 和为 17 现已有 8+6=14， 偶数数位其他 2个数字之和为 3， 它们只能是 2和 1 于是这个九位数为 987652413 解法 2： 将最大的九位数 987654321除以 11余数为 5， 故 9876543215=987654316是 11的信数 我们将 987654316每次减去 11， 直到得到一个各位数字均不相同的 九 位数为止 。 这样减去 173个 11 后 第一次得到一个各位数字均不相同的九位数 987652413， 这就是满足题目条件的最大的九位数 。 例 7 从 1， 2， 9中任取 n个数 ， 其中定可以找到若干个数 (至少有一个，也可
6、以是全部 )，它们的和 能被 10整除 求 n的最小值 。 ( 数学周报杯全国初中数学党赛题 ) 分析与解 ： 当 n=4时，数 1， 3， 5， 8中没有若干个数的和能被 10整除 。 当 n=5时 ， 设 a1， a2， a3， a4， a5是 1， 2， 9中的五个不同的数 。 若其中任意若干个数，它们的和都 不 能被 10整除。则 a1， a2， a3， a4， a5中不可能同时出现 1和 9， 2 和 8， 3和 7， 4和 6 于是 a1， a2， a3， a4， a5中必定有一个数是 5 若 a1， a2， a3， a4， a5中含 1， 则不含 9， 于是，不含 4(4+1+5
7、=10) 故含 6； 于是，不含 3(3+6+1=10) 故含 7； 于是 ， 不含 2(2+1+7=10)， 故含 8。 但是 5+7 +8=20是 10的倍数 ， 矛盾 。 若 a1， a2， a3， a4， a5中含 9， 则不含 1 于是，不含 6(6+9+5=20)， 故含 4； 于是，不含 7(7+4+9=20)， 故含 3； 于是，不含 8(8+9+3=20)， 故含 2； 但是 5+3+2=10是 10的倍数，矛盾 。 综上所 ， n的最小值为 5 割尾法 ： 当我们熟悉了常用数的整除特征后 ， 一个自然的问题是 ： 怎样速判一个正整数能否被 7整除 ? 判断一个正整数能否被
8、7整除 ， 可采用 “割尾法 如对 2527割掉末位数字 7得到 252， 再从 252中减去 被 割 掉的末位数字 7的 2倍得到 238， 这称为一次 “割尾 ， 对 238再进行次 “割尾 ”得到 7， 显然 7是 7的倍 数，从而 2527可被 7整除 。 在东西方文化中 7是具有神秘色彩的数字，一个星期 7天、七色霞光、纯水的 Ph值 、 七巧板、七夕 之鹊桥相会 、 哥尼斯堡七桥问题 都关联着 7。 七巧板激发了意大利家具设计师丹尼尔 拉格的设计灵感， 他将七巧板用于组合书架的设计 ， 创作出极具特色的作品 。 例 8 试证明 ， 一个正整数被 7整除的充分必要条件是对该数有限次
9、“割尾 ”所得到的数能被 7整除 。 (河北省 竞 赛题 ) 解题思路 ： 从正整数的多项式表示切 入。 刻 意 练 习 1 459kk是能被 3整除的五位数，则 k的 所 有可能取值 有 个 ； 这样的五位数中能被 9整除的 是 。 (“希望杯 ”邀请赛试题 ) 2 用写有数字的张卡片 1、 2、 3、 4可以排出 不 同的四位数 ，其 中能被 22整除的四位数的和是 。 (江苏省竞赛题 ) 3 不超过 100的自然数中，将凡是 3或 5的 倍 数的数相加，其和为 。 (全国初中数学联赛题 ) 4 知其所以然 小学里我们判定一个自然数是 否 能被 3 整除，只要看这个自然数的各位数字之和是否
10、能被 3 整除、现 在学了用字母表示数，就可以明白其中的道理啦 !以三位数为例 abc 表示个位数字是 c， 十位数字是 b， 百位 数字是 a的任意三位数，则 abc =100a +10b+c=(a+b+c)+99a+9b 如果 a+b+c能被 3整除，设 a+b+c=3N(n为 自然数 )，那么 abc =3( )， 所以 abc 能被 3整除 。 (时代学习报数学文化节试题 ) 5 若三位数 abc 能被 5整除但不能被 6， 7整除 ， 三位数 cba 能被 6整除但不能被 5， 7整除 ： 三位数 cab 能被 7整除，但不能被 5， 6整除，则 abc = 。 (第 25届 “希望
11、杯 邀请赛试题 ) 6 有 个形如 37abc 的五位整数，满足 37abc ， 37bca ， 37cab 均能被 37整除 。 (克罗地亚 数 学奥林 匹克 试题 ) 7 若有一个两位数恰等于它的各位数字之和的 4 倍 ， 则这个两位数称为 “巧数 ， 则不是 “巧数 ”的两位数的 个数是 ( ) A 82 B 84 C 86 D 88 (“希望杯 ”邀请赛试题 ) 8 在 724的左边添一个数码 a， 右边添个数码 b， 组成一个五位数，如果这个五位数是 12的倍数，那么 ab 的最大值是 ( ) A 72 B 64 C 36 D 24 (浙江省 竞 赛题 ) 9 达妮卡开着她的新车走了
12、整数小时，汽车平均时速为 55英 里。 开始时里程表显示数字 为 abc ， 其中 abc (a l， a +b+c 7)为一个三位数、停车时里程表显示数字为 cba ， 则 a2 +b2 +c2=( ) A 26 B 27 C 36 D 37 E 41 (美国教学竞赛题 ) 10 200220022002 2002 15n个 能 被 15整除， 则 n的最小值 等于（ ）。 A 2 B 3 C 4 D 5 11 在体育活动中，七年级 (1)班的 n 个学生 围成一圈 做游 戏， 与每个 学生 左右相邻的两个学生性别不同 ， 则 n的取值可能是 （ ）。 A 43 B 44 C 45 D 46
13、 (山东省竞 赛 题 ) 12 设 n是小于 100的正整数 ， 且使 2n23n2是 6的 倍 数 ， 则符合条件的所有正整数 n的和是 （ ） A 784 B 850 C 1536 D 1634 (全国 初 中数学 联赛试题 ) 13 设 a， b， c 是正整数 ， 2c|ab， 3a|bc， 5b|ac， 求 abc的最小值。 (爱沙思量教学类称器免试题 ) 14 称自然数 n为 “好数 ”， 应在十进制下满足下列几个条件 ： n是四位数 ； n的第 一 位和第三位数字相同 ； n的第二位和第四位数字相 同； n的各位数字的乘积是 n的约数 。 试求所有的好数 。 (意大利数学 奥林匹
14、克 试题 ) 15 如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次 排 出 的 一 串数字完全相 同 ， 那么我们把这样的自然数称为 “和谐数 ”， 例如自然数 12321。 以最高位到个位依改排 出的一串数字是 ： 1， 2， 3， 2， 1， 从个位到最高位依次排出的 一串 数字仍是 ： 1， 2， 3， 2， 1， 因此 12321 是一个 ”和谐数 ”。 再如 22， 545， 5883， 43543， 都是 ”和谐数 ”， （ 1） 请你直接写出 3 个四位 “和谐数 ”， 请你猜想任意 一 个四 位 “ 和 谐 数 ”能否被 11 整除 ?并说
15、明理由 ； （ 2） 已知一个能被 11 整除的三位 ”和 谐 教 ”， 设其个位上的数字为 x（ 1 x 4， x为自然数 )， 十位上的 数字 为 y，求 y与 x的 关系 式。 (重庆 市中 考题 ) 16 x， y， z均为整数 ， 若 11|(7x+2y5z)， 求证 ： 11|(3x7y+12z)。 （北京市竞赛题） 17 n是不为 0的任自然数 ， m是 n1， n， n+1， nn+1这四个自 然 数的乘 积 ， 那么 ， （ 1） m是不是 6的 倍 数 ? （ 2） m是不是 5的 倍 数 ? （世界数学团体锦标赛试题） 18 从 1， 2， 2010这 2010个正整数中 ， 最多可以取出多少个数 ， 使得所取出的数中任意三个数之和 都能被 33整除 ? ( 数学周报杯全国初中数学竞赛题 ) 19 在 1， 2， 2012中取一组数，使得任意两个数之和不能被其差整除 。 试问 ： 最多能取多少个这样 的数 ? (北京大学自主招生试题 ) 16 因 4(3x7y+12z)+3(7x+2y5z)=11(3x2y+3z)， 而 11|11(3x2y+3z)， 且 11|(7x+2y5z)， 故 11|(3x7y+12z)， 而 (4， 11)=1， 所以 11|(3x7y+12z)。
