1、函数极限的换元法函数极限的换元法是一种相当实用的方法. 正如积分换元法在积分计算中有着十分广泛的应用，函数极限的换元法在函数极限的计算中也有着十分广泛的应用. 运用函数极限的换元法，我们能够很快地求出许多复杂函数的极限. 下面就来介绍并证明函数极限换元法的有关定理. 一、x趋向于这类情形的换元法法则比较简单. 我们有法则1. 法则1 若存在，那么有. K=. T=.这个法则的内涵是很丰富的，它其实上包含18个具体的法则. 首先必须指出的是，都是形式上的符号，我们必须把它们代入后再理解. 之所以这么做，是为了法则表示的简洁，从而应用起来更有效率. 法则1告诉我们的是，把K任意取定一个符号，然后再
2、把T任意取定一个符号，所得到的命题是成立的. 也就是说，法则1告诉我们有18条法则是成立的. 下面的法则2和法则3会采用类似的记法.二、x趋向于这类情形的换元法法则比较复杂. 我们有法则2和法则3. 需要指出的是，为了形式上的简洁和记忆的方便，我们说x向于是指x从右边趋向于x0，也就是x0的右极限. 法则2 若存在，$UF(T), 对tUF(T)有RK, g(t), (K)，那么有. K=. T=.该法则中有三个特别定义的符号，即(K), UF(T)与RK, g(t), t0. 形式上，当K=x0, , 时，(K)=x0. 规定UF(T)是一个集合，当T=t0时UF(T)表示t0的某一个去心领
3、域；当T=时UF(T)表示t0的某一个去心右领域；当T=时UF(T)表示t0的某一个去心左领域；当T=时UF(T)表示的某个邻域；当T=+时UF(T)表示+的某个邻域；当T=-时UF(T)表示-的某个邻域. 规定RK, g(t), x0是一个命题公式. 当K=x0时，表示命题g(t)x0；当K=时，表示命题g(t)x0；当K=时，表示命题g(t)0, 总是$M0, 对x，有|f(x)-A|0，总是$d0，对t，有|g(t)|M，即g(t)，从而|fg(t)-A|0，总是$d0，对t，有|fg(t)-A|0, 总是$M0, 对x，有|f(x)-A|0，总是$d0，对t，有g(t)M，即g(t)，
4、从而|fg(t)-A|0，总是$d0，对t，有|fg(t)-A|0, 总是$M0, 对x，有|f(x)-A|0，总是$d0，对t，有g(t)-M，即g(t)，从而|fg(t)-A|0，总是$d0，对t，有|fg(t)-A|0, 对t有g(t) x0，那么有. 证明 设，那么对e0, 总是$d10, 对x，有|f(x)-A|0，总是$d，0dd2，对t，有0|g(t)-x0|d1，即g(t)，从而|fg(t)-A|0，总是$d0，对t，有|fg(t)-A|0, 对t有g(t) x0，那么有. 证明 设，那么对e0, 总是$d10, 对x，有|f(x)-A|x0”，所以对于上面的d10，总是$d，
5、0dd2，对t，有0g(t)-x0d1，即g(t)，从而|fg(t)-A|0，总是$d0，对t，有|fg(t)-A|0, 对t有g(t)0, 总是$d10, 对x，有|f(x)-A|e. 由于“，$d2, 对t有g(t)0，总是$d，0dd2，对t，有-d1g(t)-x00，即g(t)，从而|fg(t)-A|0，总是$d0，对t，有|fg(t)-A|0, 总是$M0, 对x，有|f(x)-A|0，总是$N0，对t，有|g(t)|M，即g(t)，从而|fg(t)-A|0，总是$N0，对t，有|fg(t)-A|0, 总是$M0, 对x，有|f(x)-A|0，总是$N0，对t，有g(t)M，即g(t
6、)，从而|fg(t)-A|0，总是$N0，对t，有|fg(t)-A|0, 总是$M0, 对x，有|f(x)-A|0，总是$N0，对t，有g(t)-M，即g(t)，从而|fg(t)-A|0，总是$N0，对t，有|fg(t)-A|0, 对t有g(t) x0，那么有. 证明 设，那么对e0, 总是$d10, 对x，有|f(x)-A|0，总是$NN2，对t，有0|g(t)-x0|d1，即g(t)，从而|fg(t)-A|0，总是$N0，对t，有|fg(t)-A|0, 对t有g(t) x0，那么有. 证明 设，那么对e0, 总是$d10, 对x，有|f(x)-A|x0”，所以对于上面的d10，总是$NN2，对t，有0g(t)-x0d1，即g(t)，从而|fg(t)-A|0，总是$N0，对t，有|fg(t)-A|0, 对t有g(t)0, 总是$d10, 对x，有|f(x)-A|e. 由于“，$N2, 对t有g(t)0，总是$NN2，对t，有-d1g(t)-x00，即g(t)，从而|fg(t)-A|0，总是$N0，对t，有|fg(t)-A|e. 于是.上面对T=的情况给出了证明，当T为+, -时，证法完全类似，只需要把换成其它的形式，并且把U()换成相应的区间，然后逐字逐句重复.
