1、第 1 页 共 19 页 1一、前面所学的所有公理、定理（一）线与角部分公理 1：过两点，有且只有一条直线。公理 2：两点之间，线段最短。 平行线1平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线是平行线2、平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补（2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.2如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行3平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等那么这两
2、条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 4常见的几种两条直线平行的结论：（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行 余角、补角、对顶角1余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角2补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角3对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角4互为余角的有关性质： 1 2=90，则1、2 互余反过来，若1，2 互余则1+2=90 同角或等角的余角相等，如果l 十2=90 ，1+ 3= 90 ，则 2= 35互为补角的有关性质：若
3、A +B=180 则A、B 互补，反过来，若A、B 互补，则A+B 180 HGA BC DEF第 2 页 共 19 页 2同角或等角的补角相等如果A C=18 0 ，A+B=18 0，则B=C6对顶角的性质：对顶角相等 角的平分线1、 角平分线性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；2、 角平分线性质逆定理：到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；3、 三角形的三条角平分线相交于一点（内心） 线段垂直平分线1、 垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；2、 垂直平分线性质逆定理：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；3、 三角形的三边的垂直平分线
4、相交于一点（外心）（二）三角形部分 三角形1、 三角形的定义：平面内，三条线段首尾顺次相接而成的封闭图形。2、 三角形中的主要线段 三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角的角平分线 三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三 角形的高 一个三角形有三条角平分线，三条中线、三条高线、三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，三条高或其延长线相交于一点3、 三角形三边关系公式：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差
5、小于第三边。4、 三角形三内角关系定理： 三角形的内角和等于 1805、 三角形内外角关系定理：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一 个和它不相邻的内角BACMPEDCA BP第 3 页 共 19 页 3 三角形全等1、 三角形全等的定义：两个能完全重合的三角形叫三角形2、 三角形全等的判定定理： 若两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等（SAS） 若两个三角形的两角及其夹边分别相等，则这两个三角形全等（ASA） 若两个三角形的两角及其中一角的对边分别相等，则这两个三角形全等（AAS） 若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等（SSS） 有一条直角边
6、和斜边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、三角形全等的性质定理：全等三角形的对应边相等，对应角相等 三角形相似之比例基本性质及运用1线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段 a、b 的长度分别为 m、n，那么就说这两条线段的比是 a：b=m ：n，或写成 ，和数的一样，两条线段的比 a、b 中，m=na 叫做比的前项 b 叫做比的后项 注意：（1）针对两条线段， （2）两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；（3）其比值为一个不带单位的正数2线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线
7、段 a、b、c、d，如果 或ac=bda：b=c：d，那么 a、b、c、d 叫做成比例的项，线段 a、d 叫做比例外项，线段 b、d 叫做比例内项，线段 d 叫做 a、b、c 的第四比例项，当比例内项相同时，即争 或 a：b=b：c，那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项3比例的性质4黄金分割：在线段 AB 上有一点 C，若 AC：AB=BC：AC，则 C 点就是 AB 的黄金分割点第 4 页 共 19 页 4618.025ACB 相似三角形1相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形的对应边的比叫做相似比2相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，
8、对应边成比例相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方3相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似4相似多边形的性质：相似多边形的周长的比等于相似比；相似多边形的对应对角线的比等于相似比；相似多边形的面积的比等于相似比的平方。5位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位
9、似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比 等腰三角形1、 等腰三角形定义：有两边相等的三角形是等腰三角形2、 等腰三角形性质定理：等腰三角形两底角相等。3、 等腰三角形判定定理：两底角相等的三角形是等腰三角形4、 等腰三角形三线合一定理：等腰三角形底边的中线、高线和顶角的角平分线“三线合一” 。DAB CA BC第 5 页 共 19 页 5 直角三角形1、 直角三角形定义：2、 直角三角形中的四个常用定理（都可用全等证明，不必等到圆的部分才学）： 30所对的直角边是斜边的一半。 斜边上的中线等于斜边的一半。3、 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.若用 a、b
10、 为表示两条直角边，c 表示斜边，则 ，其中22abc 222,caba4、 勾股定理的证明：勾股定理是通过面积拼图法来证明，其方法较多5、 勾股定理逆定理：在三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形。 6、 射影定理： CDAB22 轴对称1轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段2如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴3轴对称的性质：如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等
11、，对应点所连的线段被对称轴垂直平分4简单的轴对称图形：线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线（三）四边形部分 多边形CA BD第 6 页 共 19 页 61、 多边形内角和定理：多边形内角和等于 018)2n(2、 外角和定理：多边形内角和等于 36003、 过 n 边形的一个顶点共有(n3）条对角线，n 边形共有 条对角线(3)2n4、 过 n 边形的一个顶点将 n 边形分成(n2) 个三角形 平行四边形1平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
12、平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“ 两组对边分别平行 ”2两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等3平行四边形的性质：文字表达：平行四边形的两组对边分别平行； 平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等； 平行四边形的对角线互相平分符号语言表达：四边形 ABCD 是平行四边形4平行四边形的判定：文字表达：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的
13、四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形符号语言表达：ABCD.BCAD 四边形 ABCD 是平行四边形AB=CD，BC=AD 四边形 ABCD 是平行四边形AB 平行且相等 CD 或 BC 平行且相等 AD 四边形 ABCD 是平行四边形OD CBA第 7 页 共 19 页 7OA=OC，OB=OD 四边形 ABCD 是平行四边形ABCADC ，DAB DCB 四边形 ABCD 是平行四边形 菱形、矩形、正方形1、菱形的性质：菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角具有平行四边形所有性质2菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边
14、形是菱形四条边都相等的四边形是菱形3矩形的性质：矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等矩形具有平行四边形的所有性质4矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形5正方形的性质：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角6正方形的判定：有一个角是直角的柳是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形对角线相等的菱形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形 梯形1定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形两腰相等的梯形叫等腰梯形一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形2、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上
15、的两个角相等;等腰梯形的对角线相等3等腰梯形的判定：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形对角线相邻的梯形是等腰梯形4等腰梯形常见的作辅助线的方法（1）作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形。（2）平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形（3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形。（4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点。第 8 页 共 19 页 8HFECBADG 中心对称图形1定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转 1800 ，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心2性质：中
16、心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分3中心对称与旋转对称的关系：中心对称是旋转角是 180o 的旋转对称4中心对称的判定：如果两个点的连线被某一点 M 平分，则这两个点关于点 M 成中心对称二、从证明一、二、三中挖掘辅助线的教学。常见辅助线用语：1、 连结 XX延长 XX 至 X，使 XX=XX延长 XX 与 XX，交于点 X2、 过点 X 作 XXXX3、 过点 X 作 XXXX 于 X三、平行线例题教学（一）平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。1、 （1）已知：如图 5， ，AB=3，DF=2 ，EF =4，求 BC。3/21ll（2）已
17、知：如图 6， ，AB=3，BC =5，DB=4.5，求 BF。第 9 页 共 19 页 9（3）已知：如图 7， ，AB=3，BC =5，DF=10，求 DE。3/21ll（4）已知：如图 8， ，AB=a，BC =b，DF=c，求 EF。2、已知：如图 AE/CF/DG AB:BC:CD=1:2:3，CF=12cm 求：AE、DG 的长练习题1 如图在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，则下列比例中，不能判定 DE/BC 的是（ ）A.B.C.D.2已知 D 是ABC 的 BC 延长线上一点，且 CD=BC，E 是 AC 边上的中点，DE 延长线交 AB于 F，那么 DE:EF
18、 的值为（ ）A.2 B.3 C.D.第 10 页 共 19 页 10AB CD E3ABC 中，AD 平分BAC 交 BC 于 D，DE/AC 交 AB 于 E，EF/BC 交 AC 于F，AB=15cm，AF=6cm，则 BE 和 DE 的长分别为（ ）A.9cm 6cm B.6cm. 9cm C.10cm ,5cm D.以上都不对4梯形 ABCD 中，AD/BC，E、F 分别是 AB、CD 的点，且 EF/AD，若 AD=6cm,BC=10cm,且AE:EB=2:3，则 EF 的长为（ ）A.8cm B.C.D.以上都不对5、 （1）在ABC 中，D、E 分别是 AB 和 AC 上的点，
19、且 DE/BC，若AB=9cm，AD=6cm，AE=5cm. AC= 6、将梯形两腰 AD 和 BC 延长相交于 M 点，若 AD=3.3cm,BC=2cm DM=2.1cm,则 CM= .（二）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半三角形中位线：梯形中位线：定理证明的其它方法：(1)连结一条对角线 (2)过上底一端作一腰平行线 (3)过一腰中点作另一腰平等线1、已知：在梯形 ABCD 中 ADBC，对角线 ACBD，EF 为梯形的中位线DBC=30第 11 页 共 19 页 11求证：EF=AC2、已知：在 ABC 中，AGBC 于 G，E、F、H 分别为 AB、
20、BC 、CA 的中点求证：四边形 EFGH 为等腰梯形3、已知：在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于 O，AF 为BAC 的平分线，交 BD 于E，BC 于 F求证：OE= FC124、已知：梯形 ABCD 中 AD BC，E 为 AB 中点，且 ADBC=DC求证：DEEC，DE 平分 ADC，CE 平分BCD 【练习】一、填空题：1.已知图 a 中 ACEFGHDBAB、CD 交于 O，AO=OF=FH=HB=AC=2.5cm，则 HG= 2.已知图 b， ABC 中 AB=AC，ADBC，M 为 AD 中点， DFCE ，AC=9cm ，则 AE= 3.已知图 c，在梯形 A
21、BCD 中 ADEFBC ，AE=EB ，EM DC 且 EM=3.5cm，则 DF= 4.已知图 d， ABC 是等边三角形，AFAB，EF DC，AE=3.5cm，则 AD= 第 12 页 共 19 页 12二、证明题：1.已知:如图 a，ABBD，DCBD，O 为 AC 中点，求证：OB=OD 2.已知：如图 b，AD 平分BAC，BDAD，DE AC，求证：E 是 BC 的中点3.已知：如图 c， ABCD 中 E、F 分别为 AB、DC 中点，AF、EC 交 BD 于 M、N ，求证：BM=MN=ND4.已知：如图 d，四边形 ABCD 中 AD=BC，M、N 分别为 AB、CD 的
22、中点 MN 所在直线与AD、BC 的延长线交于 P、Q ，求证：APM=BQM三角形中位线定理1、 “中点四边形”的形状与原四边形的对角线的特征相关（1）原四边形的对角线无特殊性“中点四边形”的形状是平行四边形（2）原四边形的对角线相等“中点四边形”的形状是菱形（3）原四边形的对角线互相垂直“中点四边形”的形状是矩形（4）原四边形的对角线相等且互相垂直“中点四边形”的形状是正方形2、 “中点四边形”的周长等于原四边形的两条对角线的和3、 “中点四边形”的面积等于原四边形的面积的一半。练习题：1、已知：如图 14，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点。
23、求证：（1）四边形 EFGH 是平行四边形（2）请添加一个条件，使四边形 EFGH 为菱形，并说明理由2、 如 图 13， 四 边 形 ABCD 中 ， AC=6， BD=8 且 AC BD 顺 次 连 接四 边 形 ABCD 各 边 中 点 ， 得 到 四 边 形 A1B1C1D1； 再 顺 次 连 接 四 边 形A1B1C1D1 各 边 中 点 ， 得 到 四 边 形 A2B2C2D2如 此 进 行 下 去 得 到 四 边形 AnBnCnDn .（ 1） 证 明 ： 四 边 形 A1B1C1D1 是 矩 形 ； （ 2） 写 出 四 边 形 A1B1C1D1 和 四 边 形 A2B2C2D
24、2 的 面 积 ； （ 3） 写 出 四 边 形 AnBnCnDn 的 面 积 ；A B C B1 C1 D D1 A1 D2 C2 B3 A3 C3 B2 D3 A2 （ 图 13） A B C D E F G H 图 14 第 13 页 共 19 页 13MAB CDEFGH（ 4） 求 四 边 形 A5B5C5D5 的 周 长 . （三）三角形内接矩形问题有效结论是： AHMBDF1、 在直角三角形中截取一个正方形，如何截取，面积最大？2、 （2005 年全国高考第 16 题 ）已知在ABC 中，ACB=90，BC=3 ，AC=4，P 是 AB 上的点，则点 P 到 AC、BC 的距离乘
25、积的最大值是 （四）梯形中的平行辅助线问题1、如图，在梯形 ABCD 中，ABDC， AD=BC，延长 AB 到 E，使 BE=DC，连结A BCDEABC C BAD EFDEFG第 14 页 共 19 页 14AC、CE求证：AC=CE2、梯形的两条对角线分别为 17cm、10cm，高为 8cm，则它的面积是_cm 23、如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90， CD=BC+AD，问：在 AB 上是否存在一点 P，使CPD=90？若存在，请把这点找出来，并给予证明；若不存在，请说明理由练习题1在梯形 ABCD 中，ADBC，过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于 E，若梯形周
26、长为52cm，AD=7cm ，则CDE 的周长是_2等腰梯形的上底与腰相等，下底是上底的 2 倍，梯形的周长是 35cm，则下底中点到上底两顶点的距离都是_3已知梯形的上底为 2，下底为 5，一腰长为 4，则另一腰 x 的取值范围是_4等腰梯形中，已知一个底角为 45，高为 h，中位线长为 m，则梯形上底是_5如图，EF 是ABC 的中位线，BD 平分ABC 交 EF 于D，若 DE=2，则 EB=_6如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，且 ADBC=35，梯形 ABCD 的面积是 8cm2，点 M、N 分别是 AD 和 BC 上的点，E、F 分别是 BM、CM 的中点，则四边形 MENF
27、的面积是_AB CDAB CDE FAB CDE FMN第 15 页 共 19 页 15（五）知二求二问题学习相似形时，早就感觉到有一类图形反复出现，那就是如图 1-1，在线段 AD，BF，BC ，AC 中，只要知道任意两条线段上的比值，其它两条线段上的比值也就可以求出来。我们把这类题型叫做“知二求二” ，请同学们写命题论文知二求二 。要求：（1）收集已做过的“知二求二”题。（2）探究这类题的“相同”与“不同” ， “变”与“不变” 。（3）自编“知二求二”题。1、已知在ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，BE 的连线交 AC 于 F，求证：AF= AC31如图 1，ABC
28、 中，D 是 BC 上的一点， ，E 为 AD 上一点，2DCB，求41EAFA,E FD CBA1-1GACBFEDACBFEDM第 16 页 共 19 页 16A BFECD3、已知：如图在ABC 中，M 为 AC 的中点，D、E 分 BC 为三等分，AD、AE 分别交 BM于 P、N。求证： 1、 （梅涅劳斯定理的简介：）如果在ABC 的三边 BC、CA 、AB 或其延长线上有点 D、E、F 且 D、E 、F 三点共线，则 =1FBAECD如下图，过ABC 的顶点 C 作一直线，与边 AB 及中线 AD 分别相交于点 F 和点 E，求证: FBAE2（六）三角形角平分线分线段（ ）成比例
29、问题分 终起 分第 17 页 共 19 页 17AB CDEAB CED内角平分线：外角平分线：对角线互相垂直的四边形的面积张现立 对角线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长的积的一半。下面我们证明这个结论。已知：四边形ABCD中，对角线 ACBD于E，如图1。求证：SABCD四 边 形 12证明：在四边形ABCD中， B于E所以 SABCD四 边 形EACBD12()第 18 页 共 19 页 18对于对角线互相垂直的四边形的面积求解问题，这是一个十分方便的公式。 练习1. 菱形ABCD 的对角线AC、BD 相交于O， AB的周长为 360， ABC，求菱形ABCD的面积。 （如图2）2. 等腰梯形ABCD的两条对角线互相垂直，垂足为O，梯形的高为a，求梯形ABCD的面积。解：设梯形ABCD的腰为AB、CD，则 ABCD， CB，BCCB （如图3）图33. 已知：在 ABC中，BD 和CE分别是两边上的中线，并且 BDCE， ，812，求的面积。第 19 页 共 19 页 194. 已知梯形ABCD中， ADBCACBD/， ， ， ，1434，求 SABCD梯 形 。
