1、第 1 页 共 5 页函 数【知识精要】1对于抽象函数，常见的处理途径包括：（1）赋值；（2）联想对应的具体函数；（3）模拟画像，即数形结合。如练习 1。2若函数 为单调的奇函数，且 ，则 。若遇两个式子()fx12()0fxf120x结构相同，不妨依此构造函数，若刚好函数能满足上述性质，则可解之。如例 2 及练习2。3对于一元二次方程的韦达定理，和一元二次函数的图象有关的对称、最值问题要了如指掌。同时要弄清一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间关系，如已知一元二次方程 的根为 ，则可设20axbc12,x。如例 4 及练习 4。1()()f4若遇到条件是不等式，结论是等式，往往是利用
2、两个模型解决：（1） ，Aa则 ，如例 5；（2） ，则 。Aa22()()0xayb,xayb【例题精讲】+【习题精练】例 1：（第二届美国数学邀请赛） 定义在实数集上，且对于一切实数 满足等式：()f x和 ，设 是 的一个根，记(2)()fxf(7fx0x()f在区间 中的根个数为 ，求 的最小值。010,N解： ()(3)(3)(4)fxfxfxf，故 是以 10 为周期的函数。22有 ，即 ，在 内方程至少有两个根，()()0ff(4)0f,1)而 计 200 个周期，所以至少有 =401 个根，即 。10, 2min401N练习 1：（2005 广东高考第 19 题）设函数 在 上
3、满足()fx,， 且在闭区间 上，只有(2)()fxf(7)fxf,7。30（1）试判断函数 的奇偶性；()yfx（2）试求方程 在闭区间 上根的个数，并证明你的结论。20,第 2 页 共 5 页解：（1）若函数 有奇偶性，则无论奇偶，由 有 ，又()yfx(1)0f()f，令 ，则 ，与在闭区(2)(fxf3(1)235ff间 上，只有 矛盾，故函数 无奇偶性。0,71)(0f ()yx(II)由 )14()14()7()(2 xfffxffxf 10又 0)9(7)3(,)(3fffff故 f(x)在 0,10和-10,0上均有有两个解 ,从而可知函数 在0,2005上有 402 个解,(
4、xfy在-2005，0 上有 400 个解,所以函数 在-2005,2005上有 802 个解。)(xfy例 2：求 的图象与 轴交2 2(31)96513413)yxxxx点坐标。解： 2 2()()4()()令 ，可知 是奇函数，且严格单调，所以2)1fttft，当 时， ，(3(3)yxf0y(31)(23)(2)fxfxfx所以 ，故 ，即图象和 轴交点坐标为245x4,05练习 2：已知实数 满足 ，求,y5()4yxycos()xy解：由已知有 ，令 ，可知该函数是奇函5(3)30x5)F数，且严格单调递增，故 ，即 ，()(Fxy(30xycs(4)1xy例 3：设函数 且严格递
5、增，当 互质时， ，若:,fN,mn)fnfmn求 的值。(19),f(19)(8f解：由 及 ，得 ，又 取值为整数且严格19),(1)f()f单调递增，所以 ，(2),(3,(8fff又 ，从而必有(9)1)f第 3 页 共 5 页，所以 =(20),(1)2,(98)fff(19)(8ff19)f又 19 和 98 互质， = ，即 =1862。1)62f )(练习 3：设函数 且严格递增， ，求:,fN(3fn)(36ff解：由 ，将 换为 ，有 ，又将原式两边取函()fn()fn)()数值有 ，故 。()(3)ff()3(ff若 ，则 矛盾，故设 ，111)a，此时 ，所以 ，()(
6、ffa()f(2f()(1)3ff， 中间必有36()329,f4)7,58，(9)18ff(4)1(36(163fff所以 ()f例 4：已知 ，试判断实数 的大小关系，并证明之。37,5abab,ab解：令 ，则 ， ，可见 。猜想1411下面利用反证法证明：若 ，则ab3,5abab73,7ab即 而函数 和15(),()1,ab31()()7xxf在 R 上均为减函数，且xxg3652(1)(), 1()711f faggb这与 矛盾，故 。,.abbb练习 4：已知 ，0329l0.3,.4720l3.4721求 的首位数字。1972解： =1979lglg1(lg)。故 为位数，由
7、653.791972062.871970第 4 页 共 5 页，得lg51l2,6lg30.69870.98714l5l0.73691.837lg6说明 的首位数字是。1972例 5：（第 15 届美国数学邀请赛）已知 为非零实数， ，且 。若当,abc(),axbfRcd(19),(7)9ff时，对于任意实数 ，均有 ，试求出 值域以外的唯一数。dx()fxx解：当 时，有 ，则 ，化简得c()fxabcdx，由于该方程对 恒成立，故22()()()0adxabdc则 。0,又 ，即 19，97 是方程 的两根，即 19，97 是方程(19)(7)9ff axbcd的两根，由韦达定理得 结合
8、2cxdab16,843,cda得 ，从而58,43,58cd8521()xf x故 取不到 58 这个数，即 58 是 的值域外的唯一数。()fx练习 5：已知函数 ，方程 的两个根为 ，且2()fxbc()fx12,12x（1） 求证： 也是方程 的根；12,()f（2） 设 的另两个根是 ，且 ，试判断 的大小。()fx34,x34x12,x34解：（1）易证。（2）由方程 的两个根为 ，设()0f12, 12()()f所以 1)()fxfxfxx12 22121()()()()x记 ，则 是 的两根，而12()gxx34,x()0g第 5 页 共 5 页，且 ，1221()0,()0gxgx34x故 。431
