1、四、时钟问题解法与算法公式解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为 12 大格，按“分”分为 60 小格。每小时，时针走 1 大格合 5小格，分针走 12 大格合 60 小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？分析：两点钟的时候，分针指向 12，时针指向 2，分针在时针后5210（小格） 。而分针每分钟可追及 1（小格） ，要两针重合，分针必须追上 10 小格，这样所需要时间应为（10）分钟。解： （52）（1）1010（分）答：2 点 10 分时，两针重合。2、在 4 点钟至 5 点钟之间，分针
2、和时针在什么时候在同一条直线上？分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差 30 小格。在 4 点钟的时候，分针指向 12，时针指向 4，分针在时针后 5420（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20 小格）并超过时针（30 小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（2030）小格。解： （5430）（1）5054（分）答：在 4 点 54 分时，分针和时针在同一条直线上。3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？分析：分针与时针成直角，相差 15 小格（或在前或在后） ，一点时分针在时针后 515 小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追
3、及（5115）小格或追及（5145）小格。解： （5115）（1）2021（分）或（5145）（1）5054（分）答：在 1 点 21 分和 1 点 54 分时，两针都成直角。4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。 （每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午 12 点以后。12 点以后时针与分针：第一次成一条直线时刻是：（030）（1）3032（分）
4、即 12 点 32 分。第二次成一条直线时刻是：（5130）（1）3538（分）即 1 点 38 分。第三次成一条直线的时刻是：（5230）（1 ）4043（分）即 2 点 43 分。如果从 12 点 32 分开始，到 1 点 38 分，只敲 2 下，到 2 点 43 分，就共敲 5 下（不合题意）如果从 1 点 38 分开始到 2 点 43 分，共敲 3 下。因此，小明应从 1点 38 分开始看书，到 2 点 43 分时结束的。5、一只挂钟，每小时慢 5 分钟，标准时间中午 12 点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午 5 点 30 分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到 5 点 30
5、 分？分析：1、这钟每小时慢 5 分钟，也就是当标准钟走 60 分时，这挂钟只能走 60555（分） ，即速度是标准钟速度的 。2、因每小时慢 5 分，标准钟从中午 12 点走到下午 5 点 30 分时，此挂钟共慢了 5（1712）27（分） ，也就是此挂钟要差 27 分才到 5 点 30 分。3、此挂钟走到 5 点 30 分，按标准时间还要走 27 分，因它的速度是标准时钟速度的，实际走完这 27 分所要时间应是 27。解： 5（1712） 27 （分） 2730（分）答：再经过 30 分钟，该挂钟才能走到 5 点 30 分。时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相
6、关的问题。关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有 60 个小格，这里计算就以小格为单位。1 分钟时间，分针走 1 个小格，时针指走了 1/60*5=1/12 个小格，所以每分钟分针比时针多走 11/12 个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。例 1：从 5 时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?5 时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为 25 个小格(表面上每个数字之间为 5 个小格)
7、 ，如果要成直线，则分针要超过时针 30 个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了 55 个小格。由每分钟分针比时针都走 11/12 个小格可知，此段时间为 55/(11/12)=60 分钟，也就是经过 60 分钟时针与分针第一次成了直线。例 2：从 6 时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?6 时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为 30 个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为 0，那么分针要比时针多走 30 个小格，此段时间为 30/(11/12)=360/11 分钟。例 3：在 8 时多少分，时针与分针垂直?8 时整时，分针指向正上方，时针指向左
8、下方，两者之间间隔为 40 个小格。如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为 15 个小格(分针落后时针)，也就是分针比时针多走了 25 个小格，此段时间为 25/(11/12)=300/11 分钟; 另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为 15 个小格(但分针超过时针) ，也就是分针比时针多走了 55 个小格，此段时间为 55/(11/12)=60 分钟，时间变为 9 时，超过了题意的 8 时多少分要求，所以在 8 时 300/11 分时，分针与时针垂直。由上面三个例题可以看出，求解此类问题(经过多少时间，分针与时间成多少夹角)时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题
9、过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。例 4：从 9 点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?9 时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为 45 个小格。如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为 30个小格，那么分针要比时针多走 15 个小格，此段时间为 15/(11/12)=180/11 分钟。例 5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?9 时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为 45 个
10、小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为 0 个小格，那么分针要比时针多走 45 个小格，此段时间为 45/(11/12)=540/11 分钟。例 6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?时针和分针重合，也就是两者间隔为 0 个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为 30 个小格，那么分针要比时针多走 30个小格，此段时间为 30/(11/12)=360/11 分钟。【针对性练习】1. 十点与 11 点之间，两针在什么时刻成直线(不包括重合情况) ？( )A. 10 时 21 分 B. 10 时 22 分 C.10 时 21 D.10 时 21 分2 现在
11、是下午 3 点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？3。分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？4。钟面上 5 点零 8 分时，时针与分针的夹角是多少度？5。在 4 点与 5 点之间，时针与分针什么时候成直角？6.9 点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？【参考答案详解】1. 答案 A 满足. 分针：6 度/分 时针 0.5 度/分，十点时，两针夹角为 60 度，设需要时间为 x 分，则如图有 60-0.5x=180-6x，x= 分，即 10 时分两针成直线。答案 A 满足。2. 现在是下午 3 点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？
12、解析：分针：6 度/分 时针 0.5 度/分3 点整，时针在分针前面 15 格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走 15 格，即 90 度， 用追及问题的处理方法解：90/(6-0.5)度/分=16 分钟，所以下午 3 点 16 分钟，时针和分针第一次重合。3. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？解析：分针：6 度/分 时针 0.5 度/分当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转 360 度。所以两针再次重合需要的时间为：360/(6-0.5)=720/11 分，一昼夜有：2460=1440 分，所以两针在一昼夜重合的次数：1440 分/(720/11)
13、分/次=22 次4. 钟面上 5 点零 8 分时，时针与分针的夹角是多少度？解析：分针：6 度/分 时针 0.5 度/分5 点零 8 分，时针成角：530+80.5=154 度，分针成角：86=48 度，所以夹角是 154-48=106 度。5 在 4 点与 5 点之间，时针与分针什么时候成直角？解析：整 4 点时，分针指向 12，时针指向 4。此时，时针领先分针 20 格。时，分两针成直角，必须使时针领先分针 15 格，或分针领先时针 15 格。因此，在相同时间内，分针将比时针多走 (20-15)格或(20+15)格。(20-15)/(1-1/12)=60/11,即 4 点 5 分， (20
14、+15)/(1-1/12)=38 分，即 4 点 38 分。6. 9 点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？解析：设经过 X 分，0.5X=270-6X ,解得 X=540/13 分，所以答案是 9 点过 41 分。行测数学运算：时钟问题作者:公务员考试网 时间:2010-01-08 | 公务员考试论坛 | 来源:中国公务员考试信息网行测数学运算：时钟问题基本知识点：1.设时钟一圈分成了 12 格，则时针每小时转 1 格，分针每小时转 12格。2.时针一昼夜（24 小时）转 2 圈，分针一昼夜转 24 圈。3.钟面上每两格之间为 30，时针与分针成某个角度一般都有对称
15、的两种情况。4.时针与分针一昼夜重合 22 次，垂直 44 次，成 180也是 22 次。【例 1】清晨 5 点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？（）A. 30 度 B. 60 度 C. 90 度 D. 150 度答案D解析清晨 5 点时，时针和分针相差 5 格，则 530150。【例 2】中午 12 点整时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚12 点时，时针与分针还要重合了多少次？（）A. 10 B. 11 C. 12 D. 13答案B解一从中午 12 点到晚上 12 点，时针走了 1 圈，分针走了 12 圈，比时针多走了 11 圈。因此，时针与分针重合了 11 次。选择 B。解二根据基
16、本知识点：由于时针和分针 24 小时内重合 22 次，所以 12 小时内重合 11 次。【例 3】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了 1 小时多少分？（） #中国公务员考试信息网 A. 51 B. 47 C. 45 D. 43答案A解析根据题意，会议开了 1 个多小时，那么分针应该转了 1 圈多不到 2 圈，时针转了 1 格多不到 2 格。由于“时针和分针恰好互换了位置” ，所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈。假设这个过程经过了 T 小时，时针 12 小时转一圈，那么 T 小时应该转了T/12 圈；分针 1
17、小时转一圈， T 小时应该转了 T 圈，那么T+T/122，得到 T 24/13 小时，约合 1 小时 51 分。【例 4】某时刻钟表时针在 10 点到 11 点之间，此时刻再过 6 分钟后分针和此时刻 3 分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为几点几分？（）A. 10 点 15 分 B. 10 点 19 分 C. 10 点 20 分 D. 10 点 25 分答案A解析代入 B、C 、D，很明显，这三个时刻的 3 分钟之前都还是10 点多，因此时针在钟面上的“10”与“11”之间，而这三个时刻6 分钟之后已经至少是 25 分了，即分针已经在钟面上的“5”上或者之后了。我们知道，钟面
18、上的“10”与“11”之间反过来对应的是“4”与“5”之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择 A。核心提示钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式 TT0+111T0，其中：T 为追及时间，即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到条件要求”的时间。 例 5 从钟表的 12 点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是（） 。A. 43 分钟 B. 45 分钟 C. 49 分钟 D. 61 分钟 答案C解析从 12 点整往后，时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间 T045（分钟） ，根据公式，其间隔时间TT0+T
19、0/1149（分钟） 。【例 6】 （国家 2006 一类-45、国家 2006 二类-45 ）从 12 时到 13 时，钟的时针与分针可成直角的机会有多少次?（）A. 1 次 B. 2 次 C. 3 次 D. 4 次答案B解一从 12 时到 13 时，时针旋转了 30；分针旋转了 360。分针与时针所成的角度从 0变化到 330（其中包括 90和 270），因此有 2 次成直角的机会。选择 B。解二根据公式：从 12 点开始算，时针与分针成直角的“静态时间”为 15 分钟或 45 分钟，追及时间为15+1511=16411、45+4511=49111 分钟，所以垂直两次。【例 7】 （广东
20、2008 年）时针与分针在 5 点多少分第一次垂直？（）A. 5 点 10 分 B. 5 点 101011 分 C. 5 点 11 分 D. 5 点 12 分答案B解析根据公式：时针与分针 5 点后第一次成直角的“静态时间”为 10 分钟，追及时间为 10+1011=101011 分钟，所以选择 B。 强华公务员 【例 8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？（）A. 32 B. 32811 分 C. 33 分 D. 34 分答案B解一根据公式：时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为 30分钟，代入公式算得追及时间为 30+3011=32811 分钟，所以选择B。解二根据基本知识点：时针与分针
21、 24 小时内垂直 44 次，所以垂直间隔为：246044=32811 分钟。核心提示当时钟问题涉及“坏表”时，其本质是“比例问题” 。解题的关键是抓住“标准比” ，按比例计算。【例 9】 （国家 2005 二类-46）有一只钟，每小时慢 3 分钟，早晨 4点 30 分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午 10 点 50分的时候，标准时间是多少?（）A. 11 点整 B. 11 点 5 分 C. 11 点 10 分 D. 11 点 15 分答案C解析标准比：标准时间走 60 分钟时，慢钟走 57 分钟。此时，慢钟从 4 点 30 分走到 10 点 50 分，一共走了 6 小时 20 分
22、，合 380分钟，假设标准时间走了 x 分钟，那么：x380=6057，可得：x400（分钟） 。说明标准时间比慢钟快 400-38020 分钟，慢钟走到了 10 点 50 分，实际上应该是 11 点 10 分了。【例 10】 （国家 2005 一类-46）一个快钟每小时比标准时间快 1 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢 3 分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在 24 小时内，快钟显示 10 点整时，慢钟恰好显示 9 点整。则此时的标准时间是多少？（） A. 9 点 15 分 B. 9 点 30 分 C. 9 点 35 分 D. 9 点 45 分答案D解析快钟、慢钟与标准时间的差的标准比为
23、 13。假设现在是9 点 x 分（快钟显示 10 点整，慢钟显示 9 点整） ，那么（60-x）（x-0 ）13，解得：x45。所以标准时间是 9 点 45 分。 时钟问题的关键点：时针每小时走 30 度分针每分钟走 6 度分针走一分钟（转 6 度）时，时针走 05 度，分针与时针的速度差为 55 度。请看例题：【例题 1】从 12 时到 13 时，钟的时针与分针可成直角的机会有：A1 次 B2 次 C3 次 D4 次【解析】时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为 90 度或者为 270度，理论上讲应为次，还要验证：根据角度差/速度差 =分钟数，可得 90/55= 16 又 4/1160，表
24、示经过 16 又 4/11 分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/5 5 = 49 又 1/1160，表示经过 49 又 1/11 分钟，时针与分针第二次垂直。经验证，选 B 可以。【例题 2】在某时刻，某钟表时针在 10 点到 11 点之间，此时刻再过 6 分钟后的分针和此时刻 3 分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为A10 点 15 分B10 点 19 分C10 点 20 分D10 点 25 分【解法 1】时针 1011 点之间的刻度应和分针 2025 分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上 6 分钟后在这一范围的只有 10 点 1
25、5 分，所以答案为 A。【解法 2】常规方法设此时刻为 X 分钟。则 6 分钟后分针转的角度为 6（X+6）度，则此时刻 3 分钟前的时针转的角度为 05（3）度，以 0 点为起始来算此时时针的角度为 05（3）+1030 度。所谓“时针与分针成一条直线”即 05（3）+10306（+6）=180 度，解得=15 分钟。 著名数学难题：时钟的时针和分针由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许多有趣的数学问题，下面介绍几例，并研究它们的解法。例 1 在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？它们分别表示什么时刻？解：钟表上把一个圆分成了 60 等分，假如时针从 12 点开始走过了x 个刻
26、度，那么分针就要走过 12x 个刻度，即分针走了 12x 分钟。两针在 12 点重合后，当分针比时针多走 60 个刻度时，出现第一次分针和时针重合；当分针又比时针多走 60 个刻度时，出现第二次分针和时针重合；直至回到 12 点两针又重合后，又开始重复出现以上情况。用数学式子来表示，即为：12xx=60m，其中 m=1，2，度为 1 小时，对分针来说 1 个刻度就是 1 分钟。所以，12 点以后出现第 出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出，它们 如果用 m=11 代入，解得 x=60，出现第十一次重合的时间是 12 点，这样就回到了开始的时刻，可见，以上共有 11 次出现两针重
27、合的时间。例 2 已知：挂钟比标准时间每小时慢 2 分钟；台钟比挂钟每小时快2 分钟，闹钟比台钟每小时慢 2 分钟，手表比闹钟每小时要快 2 分钟。试问：手表走时是否标准，若不标准时，判断是快还是慢，快多少或慢多少？为什么？解：(1) 标准时间走 60 分钟时，挂钟时间走 58 分。(2)因为台钟比挂钟每小时快 2 分钟，所以挂钟走 60 分钟时，台钟走62 分钟。设当标准时间走 60 分时，即挂钟走 58 分，台钟走 x1 分钟，则(3)因为闹钟比台钟每小时慢 2 分钟，所以台钟走 60 分钟时，闹钟走58 分钟。设当标准时间走 60 分，台钟走 x1 分时，闹钟走 x2 分，则(4)因为手
28、表比闹钟每小时快 2 分钟，所以闹钟走 60 分钟时，手表走62 分钟。设当标准时间走 60 分时，闹钟走 x2 分，手表走 x3 分，则答：手表走时不准，走慢了，每小时慢 0.133 分，即大约慢 8 秒。例 3 一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需多少分钟？解：设在钟盘面上时针转过 x 格后，它与分针重叠，这时分针转动了(45 x) 分，由于分针转动的速度是时针的 12 倍，所以有方程例 4 时钟的分针和时针在 24 小时中，形成过多少次直角？解：因为时针 1 小时转动 30，所以 1 分钟转动 0.5，分针每分钟转动 6设 x 分钟后，时针与分针成直角，则有方程x(60.5)=90针 2
29、4 小时会有多少次差 90的倍数呢？设有 n 次，则由此解得 n=88在这 88 次中，时针与分针所成角度分别为 90，180，270，360，其中 180，360不合要求，因此总共有 44 次直角。(注：我们用两针重合的方法也可算出同样的结果。)例 5 时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟后，可以成为一条直线？直线上。也可这样解：设经 x 分钟后两针在一直线上，这时分针转动了 x 分的刻度，而时 例 6 在早上不到 6 点时，某人看了一下手表，发现分针与时针很接近，还差 3 分钟就重合了，问此时是什么时间？解：设此时是 5 时 x 分，在手表面上，因为分针 1 分钟转动 6，时针
30、1 小时转动 30，则 1 分钟转动 0.5，时针从 0 点到 5 点 x分转动了(1500.5x) 度，分针从 0 分到 x 分转动了 6x 度。因为此时分针还差 3 分钟与时针重合，即还差 36=18，所以有方程1500.5x6x=18 解之，得 x=24所以，此时为 5 时 24 分。下面是关于时钟的一个更精彩的算题。我们知道爱因斯坦是一位伟大的物理学家，他是相对论的奠基人，他的科学成就使人类跨越了一个时空。有一次爱因斯坦卧病在床，他的一位朋友来探望他，为解除他的烦闷，他的朋友出了一个问题让他思考。设想钟表的位置在 12 点整，这时把长短针对调一下，它们的位置还是合理的。但是，在 6 点
31、整时，如果把长短针对调，就成了一个笑话，因为这时短针正指在 12，而长针正指在 6，这种情况不可能发生。那么，钟表的长短针在什么位置，它们对调后能使得在新的位置上所指的仍是实际上可能的时间？爱因斯坦悠然地对他朋友说，这个问题对病床上的人确是一个很好的消遣，只可惜它消磨不了我太多时间。说着他坐起身来，在纸上画了一个草图，然后写出了问题的解答，所花的时间比你们听这个故事的时间还短。问题是怎样解决的呢？第一类情况，当时针与分针重合时，它们可以对调。这种情况在例1 中已经解决，总共在钟面上有 11 个位置。除此以外还有没有其他可能呢？设时钟走了 x 个刻度，分针走了 y 个刻度，仿照例 1 有方程当两
32、针对调后，就变成时针走了 y 个刻度，分针走了 x 个刻度。如果设分针已在此之前走了 n 圈，又可得方程把 m，n 看成已知数解这个方程组，得由 0x，y60，m，n 为正整数，可知 m，n 只能取从 0 到 11，总共有 144 组解。其中当 m=0，n=0 与 m=11，n=11 时，两针都是在12 这个位置, 当 m=n 时，就是第一类情况中的 11 个重合的位置。当 mn 时，可求出其余的两针不重合时的另外的 132 个位置。对一个卧病之人，爱因斯坦的思维仍这样敏捷，不禁使后人为这位巨匠的天赋而惊叹。行测试题精选解答：时钟问题常见种类与解法时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,生活中
33、也时常会遇到与时钟相关的问题。 关于时钟的问题有： 求时间差： 例：从上午五点十五分到下午两点四十五分之间，共有多少时间？ A.8 小时 B.8 小时 30 分 C.9 小时 30 分 D.9 小时 50 分 解析：这种属于最简单的时钟问题。答案是 14.45-5.15=9.30 C 求慢（快）表在几小时后显示什么时间？ 例：有一只钟，每小时慢 3 分钟，早晨 4 点 30 分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午 10 点 50 分的时候，标准时间是( ) 。A11 点整 B11 点 5 分 c1l 点 1O 分 D11 点 15 分 解析：慢表显示经过的时间是：10：50-4：30=
34、6 小时 20 分钟=380分钟，实际经过的时间应该是：380（60-3）/60=400 分钟=6 小时 40 分钟，答案为 C：4：30+6：40=11 ：10。 例：一个快钟每小时比标准时间快 1 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢 3 分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在 24 小时内，快钟显示 10 点整时，慢钟恰好显示 9 点整。则此时的标准时间是( ) 。A9 点 15 分 B 9 点 30 分 c9 点 35 分 D 9 点 45 分 解析：这是 2 个不准确的时钟问题，也是这种问题的一个延伸。 我们可以看到，在一个小时内，快钟与慢钟有 4 分钟的差距，而 4分钟里面，1 分钟
35、时快走造成的，3 分钟时慢走造成的。所以当它们（快慢钟）的差距有 60 分钟时，那么一样，1/4 的时间=15 分钟时快走造成的，3/4 的时间（45 分钟）时慢走造成的。所以标准时间为 9 点 45 分，答案为 D。 戴晓东总结：其实这种类型题是较为简单的，关键把握一点，就是不准确的时钟与标准时间的比例关系，也就是常说的一小时慢（快）多少，然后再推广到几个小时后，而这种比例是不变的。 延伸：通过第二道例题，大家可以多少感觉到，有点像路程问题，其实这正是解决时钟问题中较困难问题的一个核心思想。下面，我们继续往下看，来看看时钟问题中较为困难的类型。 求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直
36、，两针成直线等类型。 例：中午 12 点，时针与分针完全重合，那么到下次 12 点，时针与分针重合多少次？ 万学金路戴晓东强调要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。 一个钟表一圈有 60 个小格，这里计算就以小格为单位。1 小时时间，分针走 60 个小格，时针只走了 5 个小格，所以每小时分针比时针多走 55 个小格。 解析：就此题而言，可以看作是跑道同向相遇问题： 时针: v1=5 格/小时 分针：v2=60 格/小时 n*60=（v2-v1）*12 即：重合一次，多走 60 个格，假设重合了 N 次，所以多走了 n*60；再有，一小时多走（60-5）个格，总共走了 12
37、小时，所以多走了（60-5）*12 个格。 解出：n=11 例：从 6 时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？ 解析：6 时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为 30 个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为 0，那么分针要比时针多走 30 个小格，此段时间为 30/55=6/11 小时=360/11 分钟。 例：一个指在九点钟的时钟，多少分钟后时针与分针第一次重合？ 解析：9 时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为 45 个小格。如果要分针与时针重合，也就是两者之间间隔变为0 个小格，那么分针要比时针多走 45 个小格，此段时间为 45/55
38、 小时=540/11 分钟。 总结：这类题型其本质就是追击问题。我们知道在追击问题中，关键是要知道路程差，速度差。而在时针与分针重合问题中，路程差就是时针分针之间有多少个小格，速度差就是一小时差 55 格（前面已经分析过） 。所以本着这两点，这类问题可以迎刃而解。 大家可以看看下面这两个问题：供大家思考，也是对这类问题的延伸。 例：爷爷家的老式钟的时针与分针每隔 66 分钟重合一次,这只钟每昼夜慢多少分钟? 解析：正常的钟每隔(12/11)小时=(720/11)分钟重合一次， 爷爷家的老式钟是 726/11 分钟重合一次，慢了 6/11 分钟。 每小时这个钟就会慢【(6/11)/(720/11
39、)】*60=1/2 分钟。 一昼夜共慢了 1/2*24=12 分钟。 时针分针讨论了不少，我们稍微换一换，看看分针和秒针的问题。 例：1 个小时内分针和秒针共重叠（ ）次。 A.60 B.59 C.61 D.55 这个题目很多人认为是 61 次，我们来讨论一下： 首先，从一个理想状态来研究，因为理想状态也是其中的符合条件的情况，比如正点时刻 分针和秒针都是在 12 上 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 。 。 。 。 。 。 。58，59，60 我们来仔细分析 当 0 分钟时刻，分针秒针都是在一起，算 1 次重叠。但是在 01 之间却是没有重合的，因为当秒针从 12 转一圈之后回到 1
40、2，此时的分针已经偏离 12，1 格子的角度了。从 12 分钟时刻开始，秒针和分针就开始在其每分钟的间隙之间重叠了。当到了 5960 分钟之间，最后是分针和秒针同时到达 12 上，形成了最后一次重复。在5960 间隙里面也是没有重合的。 这样我们就可以把开始 0 位置上的重合看作是 01 上的重合，60上的重合看作是 5960 之间的重合，整个过程就发现就是 60 次。 其次：如果不是理想状态。这个题目就出现了 2 个结果。就是看间隔。59 个间隔至少有 59 次相遇。第一次的间隔没有。 这里有一个问题，很多人认为 当出现整点到整点时刻是不是不包含两端的端点时刻。如果题目没有交代的情况下是包涵
41、的，跟植树问题是样的。如果交代了，自然按照题目交代的情况来做。时钟问题经典例题详解例：现在是 2 点，什么时候时针与分针第一次重合？析：2 点时候，时针处在第 10 格位置，分针处于第 0 格，相差 10 格，则需经过 10 / 11/12分钟的时间。例：中午 12 点，时针与分针完全重合，那么到下次 12 点时，时针与分针重合多少次？析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了 60 格，则分针追赶时针一次，耗时 60 /11/12 720/11 分钟，而 12 小时能追随及 12*60 分钟/ 720/11 分钟/次=11 次，第 11 次时，时针与分针又完全重合在 12 点。如果不算中
42、午 12 点第一次重合的次数，应为 11 次。如果题目是到下次 12 点之前，重合几次，应为 11-1 次，因为不算最后一次重合的次数。2.分针与秒针秒针每秒钟走一格，分针每 60 秒钟走一格，则分针每秒钟走 1/60 格，每秒钟秒针比分针多走 59/60 格例：中午 12 点，秒针与分针完全重合，那么到下午 1 点时，两针重合多少次？析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了 60 格，则秒针追分针一次耗时，60 格/ 59/60 格/秒= 3600/59 秒。而到 1 点时，总共有时间 3600 秒，则能追赶，3600 秒/ 3600/59 秒/次=59 次。第 5
43、9 次时，共追赶了，59 次*3600/59 秒/次=3600 秒，分针走了 60 格，即经过 1 小时后，两针又重合在 12 点。则重合了 59 次。3.时针与秒针秒针每秒走一格，时针 3600 秒走 5 格，则时针每秒走 1/720 格，每秒钟秒针比时针多走 719/720格。例：中午 12 点，秒针与时针完全重合，那么到下次 12 点时，时针与秒针重合了多少次?析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针 60 格，每秒钟追719/720 格，则要一次要追 60 /719/720=43200/719 秒。而 12 个小时有 12*3600 秒时间，则可以追12*3600/43200/7197
44、10次。此时重合在 12 点位置上，即重合了 719 次。4.成角度问题例：在时钟盘面上，1 点 45 分时的时针与分针之间的夹角是多少？析：一点时，时针分针差 5 格，到 45 分时，分针比时针多走了11/12*4541.25 格，则分针 此时在时针的右边 36.25 格，一格是 360/606 度，则成夹角是,36.25*6=217.5 度。5.相遇问题例：3 点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？析：作图，此题转化为时针以每分 1/12 速度的速度，分针以每分 1 格的速度相向而行，当时针和分针离 3 距离相等，两针相遇，行程 15 格，则耗时 15 / 1+
45、1/12 =180/13 分。例：小明做作业的时间不足 1 时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？析：只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧 B-A，时针走了小弧 A-B，即这段时间时针和分针共走了 60 格，而时针每分钟 1/12 格，分针 1 格，则总共走了60/ (1/12+1)=720/13 分钟，即花了 720/13 分钟。钟表上的追及问题新课标提倡，数学走进生活，教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。例如：在 3 点和 4 点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。许多同学面对此
46、题，束手无策，不知如何解决。实际上，因为分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：一. 格数法钟表面的外周长被分为 60 个“分格” ，时针 1 小时走 5 个分格，所以时针一分钟转 分格，分针一分钟转 1 个分格。因此可以利用12时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。解析 （1）设 3 点 x 分时，时针与分针重合，则分针走 x 个分格，时针走 个分格。因为在 3 点这一时刻，时针在分针前 15 分格x2处，所以当分针与时针在 3 点与 4 点之间重合时，分针比时针多走15 个分格，于是得方程 ，解得 。x125x1
47、64所以 3 点 16 分时，时针与分针重合。41（2）设 3 点 x 分时，时针与分针成平角。因为在 3 点这一时刻，时针在分针前 15 分格处，而在 3 点到 4 点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前 30 分格处，此时分针比时针多走了 45 分格，于是得方程 ，解得 。x1245x491所以 3 点 分时，时针与分针成平角。9（3）设 3 点 x 分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前 15分格处，所以在 3 点到 4 点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了 30 分格，于是得方程 ，解得 。x1230x3281所以 3 点 分时，时针与分针成直角。281二. 度数法对钟表
48、而言，时针 12 小时旋转一圈，分针 1 小时旋转一圈，转过的角度都是 360，所以时针 1 分钟转过的角度是 0.5，分针 1分钟转过的角度是 6。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。解析 （1）设 3 点 x 分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是 0.5x，分针旋转的角度是 6x。整 3 点时，时针与分针的夹角是 90，当两针重合时，分针比时针多转了 90，于是得方程，解得 。6059x.x164（2）设 3 点 x 分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了 90+180=270，于是得方程 ，解得 。60527x.x491（3）设 3 点 x 分时，时针与分针成直角。此
49、时分针比时针多转了 ，于是得方程 ，解得 。901860518x.x3281练一练1. 钟表上 9 点到 10 点之间，什么时刻时针与分针重合？2. 钟表上 5 点到 6 点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？3. 钟表上 3 点到 4 点之间，什么时刻时针与分针成 40的角？4. 钟表上 2 点到 3 点之间，什么时刻时针与分针成一直线？（参考答案：1. 9 点 49 分； 2. 5 点 43 或 5 点 10 分；171103. 3 点 9 分或 3 点 23 分； 4. 2 点 43 分。 ）171、钟表指针重叠问题 时钟问题详细讲解我只是在论坛看到相关内容，并加以整理：一、重合问题1、钟表指针重叠问题中午
