1、分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 1 页 （共 10 页） 2019 年 5 月 3 日星期五 智愛高中數學 抽象函数的周期与对称轴一. 内容：抽象函数的周期与对称轴二. 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。三. 具体内容1. 若 )()Txff则 (f的周期为 T。2. 若 ba则 )x的周期为 ab证：令 )(ff3. )()(xfxf则 的周期 2证：令 )(xff 令 b )ba 由得： (aff )(xaxf bT24. 若 bf则 (f图象的对称轴为 x证：要证原结论成立，只需证 )2()2afba令 xa2
2、代入 ()(xff 则 )2(xbafxb5. 若 )(bf则 的图象，以 )0,(为对称中心 。证：方法一：要证原结论成立只需证 )2( xfxaf令 2ax代入 )(bxf 则 )2()(bafb方法二：设 y它的图象为 CP),(0则 P 关于点 )0,2(a的对称点 ),(0yxP() 0fbfxbfxbaf 分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 2 页 （共 10 页） 2019 年 5 月 3 日星期五 0)(yxf 0)(yxbaf CP【典型例题】例 1 对于 f， R有下列命题。（1）在同一坐标系下，函数 )1(fy与 )1(xf的图象关于直线 1
3、x对称。（2）若 )()(xff且 2ff均成立，则 )(f为偶函数。（3）若 1x恒成立，则 )(为周期函数。（4）若 f为单调增函数，则 xafy（ 0且 1a）也为单调增函数，其中正确的为？解：（2） （3 ）例 2 若函数 3)()xfR有 )()1(xfxf求 )2(f。解： R， 1ff知 f的图象关于 0,1对称而 3)()axf的对称中心 )0,(aP 则 26312(f例 3 设 f是定义在 R 上的函数， Rx均有 )()xf当1x时 12)(x，求当 时， (f的解析式。解：由 有 )(ff得 4T设 3,则 ,)(24()( xfxfxff 51)(2 1时 5)f例
4、4 已知 )(f是定义在 R 上的函数且满足 1)(f，当,0x时有 2x则（1） f是周期函数且周期为 2（2）当 ,时， )(xf（3） 4350(f其中正确的是？分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 3 页 （共 10 页） 2019 年 5 月 3 日星期五 解：（1） （2 ） （3 ）例 5 已知 )(xf满足 )2()(xff， )4()(xff，当 6时， cb2且 13，若 )3(bfm，)(cfn，)1(fp求 m、 n、 p的大小关系？解：由已知得 4T，对称轴 4x 也为一条对称轴 28b 由 13)(f 1346c c fm，)2(fn，
5、)(ffp pmn例 6 定义在 R 上的函数 x既是偶函数又是周期函数，若 )(xf的最小正周期是 ，且当 ,0x时， fsi)(求 )35(f的值。解： 23sin)(232)5( ffff例 7 设 y定义在 R 上， nm， 有 )(fm且当0x时， 1xf（1）求证： )0(且当 0x时， 1)(xf （2）求证： f在 R 上递减。解： （1）在 )(nfn中，令 ， 0n得)()(ff 0 10f设 x，则 x令 xm， 代入条件式有 )()(ff而 (f 1)()xff（2）设 21则 01 (12令 xm， xn则 12x代入条件式得)()(1212ff分享智慧泉源 智愛學習
6、 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 4 页 （共 10 页） 2019 年 5 月 3 日星期五 即 1)(02xf )(12xff )(xf在 R 上递减【模拟试题】一. 选择1. 已知 )(xf满足 )(3(xff， R且 )(xf是奇函数，若 2)1(f则20f（ B ）A. B. 2 C. 2 D. 232. 已知 )(f是定义在 R 上的偶函数，且 )(4(ff对任何实数均成立，当 x时， x，当 0398x时， x（ C ）A. 40 B. C. D. x983. 若函数 )sin()(f， 都有 )6()(ff则)6(f等于（ D ）A. 0 B. 3 C. 3 D. 3
7、 或4. 函数 )2cos(xy是（ C ）A. 周期为 的奇函数 B. 周期为 的偶函数 C. 周期为 的奇函数 D. 周期为 4的奇函数5. )sin()(xf的图象关于 y 轴对称的充要条件是（ C ）A. 2kB. k C. 2kD. k6. 如果 )()(ff且 )(xff则 (f可以是（ D ）A. xsin B. xcos C. in D. xsin7. )(3)(y为偶函数的充要条件是（ B ）分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 5 页 （共 10 页） 2019 年 5 月 3 日星期五 A. 32kB. 6kC. 62kD. 6k8. 设 )(
8、xf是 R 上的奇函数， )()(xfxf当 10时， xf)(，则 5.7（ B ）A. 0.5 B. 5.0 C. 1.5 D. 5.9. 设 cbf2)(， t有 )2()(tftf那么（ A ）A. )4(1f B. 4)1 C. )1(4ff D. 4ff10. )(xy定义在 R 上，则 (xfy与 )1(xfy的图象关于（D ）A. 0对称 B. 0x对称 C. 对称 D. 1对称二. 填空1. )(xf是 R 上的奇函数，且 )(2(xff，则 )3(2)(fff230 。2. 函数)sin(y的图象的对称轴中最靠近 y 轴的是 。 1x3. )(xf为奇函数，且当 x时， 2
9、)(xf则当 0时 )(f 。 24. 偶函数 f的定义域为 R，且在 0,上是增函数，则（1）)1()43(2af（2 ）)1()43(2aff（3）f（4 ）中正确的是 （2） 。三. 解答题1. 设 )(xf是定义在 R 上的偶函数，图象关于 1x对称， 1x、21,0都有 )()2121fxf且 0af 分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 6 页 （共 10 页） 2019 年 5 月 3 日星期五 （1）求 )2(f、 41f（2）证明： )(xf是周期函数解：（1） ,0,1x都有 )(2121xf )2()(ff ,0x 2)(ff 21)(af，
10、41()f 41)(af（2）由已知 x关于 对称 ()xfxf即 )(ff， R 又由 是偶函数知 ff， Rx )(， 将上式中 以 代换得 )2() xf是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期2. 如果函数 y的图象关于 ax和 )(b都对称，证明这个函数满足 )()(2fbaf证： 关于 a和 b对称 xfxf， )2(ff )(令 Ax，则 Abax)(2 2fAf即 )fbaf3. 已知 cbx对任意实数 t 都有 1(ttf，比较)1(f与 f的大小。解：由 )1()tft知抛物线 cbxf2)(的对称轴是 1 23(f而 根据)x在 ),(上是增函数得 )23(ff即 )
11、2(ff4. 定义在实数集上的函数 xf，对一切实数 x 都有 1x成立，若方程 0(f仅有 101 个不同实根，求所有实根之和。分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 7 页 （共 10 页） 2019 年 5 月 3 日星期五 解：设 xu2即 u )3()uff R有 3()xff 所有实根之和为 2301注：一个结论：设 y， R都有 )2()xaf且 (f有 k 个实根 2k，则所有实根之和为 k分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 8 页 （共 10 页） 2019 年 5 月 3 日星期五 练 习一. 选择1. 已知 )(xf
12、满足 )(3(xff， R且 )(xf是奇函数，若 2)1(f则20f（ ）A. B. 2 C. 2 D. 232. 已知 )(f是定义在 R 上的偶函数，且 )(4(ff对任何实数均成立，当 x时， x，当 0398x时， x（ ）A. 40 B. C. D. 983. 若函数 )sin()(f， 都有 )6()(xff则)6(f等于（ ）A. 0 B. 3 C. D. 3 或 4. 函数 )2cos(xy是（ ）A. 周期为 的奇函数 B. 周期为 的偶函数 C. 周期为 的奇函数 D. 周期为 4的奇函数5. )sin()(xf的图象关于 y 轴对称的充要条件是（ ）A. 2kB. k
13、C.2kD. k6. 如果 )()(ff且 )(xff则 (f可以是（ ）A. xsin B. xcos C. in D. xsin7. )(3)(y为偶函数的充要条件是（ ）A. 2kB. 6kC. 62kD. 6k8. 设 )(xf是 R 上的奇函数， )()(xfxf当 10时， xf)(，则 5.7（ ）A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. 1.59. 设 cbf2)(， t有 )2()(tftf那么（ ）分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 9 页 （共 10 页） 2019 年 5 月 3 日星期五 A. )4(1)2(ff B. )4(2)1
14、(ff C. D. 110. xfy定义在 R 上，则 xfy与 xfy的图象关于（ ）A. 0对称 B. 0x对称 C. 对称 D. 1对称二. 填空1. )(xf是 R 上的奇函数，且 )(2(xff，则 )3(2)(fff23 。2. 函数)sin(y的图象的对称轴中最靠近 y 轴的是 。3. )(xf为奇函数，且当 0x时， 2)(xf则当 0时 )(xf 。4. 偶函数 的定义域为 R，且在 ,上是增函数，则（1）)1()43(2aff（2 ）)1()43(2aff（3）（4 ）中正确的是 。三. 解答题1. 设 )(xf是定义在 R 上的偶函数，图象关于 1x对称， 1x、21,0都 有 )()2121fxf且 0af（1）求 )(、 4（2）证明： )(xf是周期函数2. 如果函数 xfy的图象关于 x和 b都对称，证明这个函数满足 )()(2baf分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐 Wisdom&Love 第 10 页 （共 10 页） 2019 年 5 月 3 日星期五 3. 已知 cbxf2)(对任意实数 t 都有 )1()(tftf，比较)21(f与 f的大小。4. 定义在实数集上的函数 )(xf，对一切实数 x 都有 )2()1(xff成立，若方程 0)(xf仅有 101 个不同实根，求所有实根之和。
