1、高中数学函数的周期性一、知识回顾1周期函数：对于函数 yf (x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x T)f( x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期2最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期3关于函数周期性常用的结论(1)若满足 ，则 ，所)fafx (2)()()fafxafxf 以 是函数的一个周期( )；2a0(2)若满足 ，则 ，所以1(fxf ()()ff 1()fxa(f是函数的一个周期( )；a(3)若函数满足 ，同理可得 是函数的一个周期
2、 ( ). (fxfx -2a0（4）如果 是 R 上的周期函数，且一个周期为 T，那么)fy()(ZnxTxf（5）函数图像关于 轴对称 bxa, )(2ba（6）函数图像关于 中心对称 0T（7）函数图像关于 轴对称，关于 中心对称 x0, )(4ba二、方法规律技巧1求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如 yAsin(x)，用公式T 计算递推法：若 f(xa)f(x)，则 f(x2a)f(xa)a f(xa)f(x)，所以2|周期 T2a.换元法：若 f(xa)f(xa)，令 xat，xt a，则 f(t)f(t2a)，所以周期 T2a 2判断函数的周期只需证明 f(xT
3、)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为 T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题3根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想三、例题讲解：1、设定义在 上的函数 满足 ，若 ，则Rfx201fx2f9_f2、已知 f（x）是 R 上的奇函数，对 xR 都有 f（x+4）=f （x）+f（2）成立，若 f（1）=2，则 f（2013 ）等于（ ）A2 B
4、 2 C1 D20133、定义在 R 上的函数的图象关于点 成中心对称，且对任意的实数 x 都有 f(x)3,04f ，f(1)1，f(0)2，则 f(1)f(2) f(2013)( )xA0 B2C1 D44、已知周期函数 f(x)的定义域为 R，周期为 2，且当1x1 时，f(x)1x 2.若直线yxa 与曲线 yf(x)恰有 2 个交点，则实数 a 的所有可能取值构成的集合为( )Aa|a 2k 或 2k ，kZ345Ba|a2k 或 2k ，k Z1Ca|a2k1 或 2k ， kZDa|a 2k 1，kZ5、设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1上，f(x)
5、 ，1,02axb其中 a，bR.若 f f ，则 a3b 的值为_123四、新题变式探究【变式一】已知定义在 R 上的函数 fx满足条件； 对任意的 xR，都有4fxf；对任意的 121212,0, f且 ， 都 有 f； 函数2的图象关于 y 轴对称.则下列结论正确的是( )A. 76.54fff B. 74.56.fffC. 4. D. .【变式二】设 g(x)是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若函数 f(x)=x+g(x)在区间0,1上的值域为-2,5, 则 f(x)在区间0,3 上的值域为 .【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键
6、五、易错试题常警惕易错典例 1：若函数 f(x) 在定义域上为奇函数，则实数 k_.k 2x1 k2x易错典例 2：定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数，又是周期函数， T 是它的一个正周期若将方程 f(x)0 在闭区间T，T上的根的个数记为 n，则 n 可能为 ( )A0 B1 C3 D5【变式】设 是连续的偶函数，且当 时， 是单调函数，则满足fx0xfx的所有 之和为 ( )()4fA3 B3 C8 D 8练习：A 基础测试1.【江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研】设函数 是定义在 上的偶函数，当fxR时， .若 ，则实数 的值为 .0x21xf3faa2.【2014 届
7、吉林市普通高中高中毕业班复习检测】给出下列函数 cosyx2sinyx 2yx xye，其中是奇函数的是（ ）A. B. C. D. 3.【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则满足 的)(xfyR),0)1(fmf实数 的范围是 m4.【吉林市普通中学 2013-2014 学年度高中毕业班摸底测试理】 ()tansifxx，若 2)(bf，则 )(bf（ ）A. 0 B. 3 C. -1 D. -25. 【安徽省示范高中 2014 届高三上学期第一次联考数学（理） 】已知偶函数 对任意()fx均满足 ，且当 时，
8、 ，则xR(2)()fxf20x3()log1fx的值是 .(014)fB 能力提升训练1. 【江西省 2014 届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数 是周期为 2 的周()yfx期函数，且当 时， ，则函数 的零点个数是（ 1,x|()21xf()|lgFx）A9 B10 C11 D122. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校 2014 届高三第二次联考】定义在 R 上的奇函数 满足 ，且不等式 在 上恒成立，)(xfy0)3(f )()(xff),0则函数 = 的零点的个数为（ ）)(xg1lgfA. 4 B. 3 C. 2 D. 13. 【广东省中山市一中 2014
9、届高三第二次统测】奇函数 满足对任意 都有fxxR成立，且 ，则 的值为 （ 2fxfx18f(01)(3)(204)ff）A 2 B 4 C 6 D 84. 【广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学理试题】已知函数 是定义在)(xf上的奇函数，若对于任意的实数 ，都有 ，且当(,)0x)2(fxf时， ，则 的值为 0x)1(log)(2xf 1)2(f（ ）A.1B.C.D.5 【2014 届山东省日照市高三校际联考】已函数 是定义在 上的奇函数,在fx1上时0,2ln1xf（）求函数 的解析式;（）解不等式 2(21)()0fxfxC 思维扩展训练1. 【湖北孝感高中 20
10、14 届高三年级九月调研考试】已知 是定义在 R 上周期为 4 的()yfx奇函数，且 时， 则 时， =_02x2()fx102xf2. 【2014 届新余一中宜春中学高三年级联考数学（理） 】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 都有 f(x2)f(x)当 0x1 时， f(x)x 2.若直线 yxa 与函数yf(x) 的图像在0,2内恰有两个不同的公共点，则实数 a 的值是( ) ( )A0 B0 或 C 或 D0 或12 14 12 143. 定义在 上的奇函数 ，满足 ， ，则函数 在区间 内R()fx(3)(fxf)f()yfx0,6零点个数的情况为（ ）A 个 B 个 C 个 D至少 个2464. 已知定义在 R 上的函数 ()yfx对任意的 都满足 (1)(fxf，当 1x 时， 3()fx，若函数 logag至少 6 个零点，则 a的取值范围是 5. 【2014 届上海市青浦区高三上学期末】定义在 R 上的奇函数 ()fx有最小正周期 4，且0,2x时， 142)(xf（1）判断并证明 ()fx在 0,2上的单调性，并求 ()fx在 2,上的解析式；（2）当 为何值时，关于 的方程 ()fx在 6,上有实数解？
