1、.对数及对数函数练习题讲解知识梳理：1、对数的定义：如果a(a0,a 1) 的 b 次幂等于 N,b就是 a =N，那么数 b 叫做 a 为底 N的对数，记作 log aN=b， a 叫做对数的底数，N叫做真数。（ N 0 ）2、指数和对数的关系：a bNloga Nb3、对数恒等式： log a 10 ，log a a 1 ， alog aNNlog a (MN)log a Mlog a N4、运算法则： log aMlog a Mlog a NNlog a M nnlog a M(nR)5、换底公式： log a blog c alog c b6、两个较为常用的推论：1 log a b l
2、og b a12log am b n n log a b （ a, b 0 且均不为1）m7、 对数函数定义：函数y log ax (a0且 a1) 叫做对数函数；它是指数函数 ya x(a 0且 a 1) 的反函数。8、对数函数图象和性质：aa10a1图象定义域值 域定 点单调性典型例题：例 1、求下列各式中的x ;.(1) log 4 x1(2) log x 53(3) log x2 ( x2；5213解： (1) x ( 4) 255(2) x 25，得 x554222x2)0 23325 (3)由对数性质得xx 22x21解得 x3 20, x21变式 ：计算： (1)(log x 4
3、) 29 ；(2) log( x1) ( x 28x7)1；（ 3） log 23 23（解析 (1) log x 43，得 x34 或 x31(2) 由对数性质得x84（ 3） 令 xlog 2323 = log 23231, 23x231 , x1 ）例 2：计算（ 1）计算： log155log 1545+(log 153)2（ 2）lg 8lg 125lg 2lg 5lg10lg 0.1（ 3） lg 522 lg 8lg 51g 20(lg 2) 23= log 155(log 153+1)+(log 153)2=log 155+log 153(log 155+log 153) =l
4、og 15解：（ 1）解一：原式5+log153 log1515=log 155+ log 153= log 1515解二：原式=log 1515log 15 (153)(log 15 3)2153)(1+log151523=(1-log3)+(log 3)=1-(log 153)2 +(log 153) 2=1lg( 8 125)（ 2）252lg(2222lg102421 lg 2105 )（ 3）原式 2 lg 5 2 lg 2(1lg 2)(1lg 2)(lg 2) 22(lg 5lg 2)1(lg 2)2(lg 2)23变式 ： 计算：（1） lg 5lg 8000(lg 23 )
5、2lg1lg 0.06（ 1）6（2） (log 4 3log 8 3)(log 3 2log9 2)log 14322;.5解：原式(log 2 23 log 233)(log 3 2log 32 2)log 1 242( 1 log 2 31 log 2 3)(log 3 21 log 3 2)55 log 2 3 3 log 3 255552324624442例 3：已知 log18 9a ， 18b5 ，求 log 36 45解：由 log 18 9a 可知 alog18181log18 2，又由 18b5 ，可得2blog 18 5 ，故 log 3645log18 45log18
6、9log18 5ablog18 361 log18 22a变式 ： 若 log8 3 = p ,log3 5 = q,求 lg 5解： log8 3 = p log 2 33 plg 33p lg 23p(1lg 5)又 log3 5lg 5 lg 5q lg 33 pq(1lg 5)qlg 3 (13pq) lg 5 3 pq lg 53 pq13 pq例 4：比较下列各组数的大小：(1) ln 0.99 与 ln 0.9(2)p0.95.1 ， m5.10.9 ， nlog 0.9 5.1(3) 若 1xd, alog d2x,blog dx 2 , clogd (log d x) 解：
7、(1)由 yln x 在 0,上单调递增，且 00.990.9，故 ln 0.99 0 , alog m a1log0.23（ 2） log4 3 log 9 2log 24 32 6、计算：（1）5；解：（ 1）原式=55515 ；5log 0.2 3115log 5 331 log 21 log 3 25 log 2 2153（ 2） 原式 =32244427 设 3x4 y6zt1 ，求证：111zx2y证明： 3x4y6zt1，xlg t ， ylg t ， zlg t ，lg 3lg 4lg 611lg 6lg 3lg 2lg 41zxlg tlg tlg t2 lg t2 y8 若
8、 log 8 3p ， log3 5q ，求 lg 5;.解： log8 3p ， log 2 33plg 3 3 p lg 23 p(1lg 5) ，又 log 3 5lg 5q ，lg 5q lg 33pq(1 lg 5) ， (13pq ) lg 53pqlg 3lg 53 pq13 pq9 若 log 3 4log 4 8 log 8 m log 42 ，求 m 解：由题意可得：lg 4lg 8lg m1 ， lg m1 lg 3， m3 lg 3lg 4lg 82210 已知 log m 4log n 4 ，比较 m ， n 的大小。解： log m 4log n 4 ，11，当 m
9、1， n111时，得 0，log 4 mlog 4 nlog 4 mlog 4 n log 4 nlog4 m ， mn1当 0m1， 0 n1时，得110 ，log 4 nlog 4 m log 4 nlog4 m ， 0nm1 当 0m1， n1时，得 log 4 m0， 0log4 n ， 0 m 1 ， n 1 ， 0 m 1 n 综上所述， m ， n 的大小关系为mn1或0nm1 或0m1n 11 求下列函数的值域：（1） ylog 2 (x3) ；（ 2） ylog 2 (3x2 ) ；（3） ylog a ( x24x7)（ a0 且 a1 ）解：（ 1）令 tx3 ，则 yl
10、og 2 t ， t0 ， yR ，即函数值域为 R （ 2）令 t3x2 ，则0t3 ， ylog 2 3 ，即函数值域为 (,log 2 3 （ 3）令 tx24x7( x2) 233，当 a1时， yloga 3 ， 即值域为 log a 3,) ，当 0a1时， ylog a 3 ， 即值域为 (,log a 3 12 判断函数f ( x)log 2 (x21x) 的奇偶性。解：x21x 恒成立，故 f(x) 的定义域为 (,) ，f (x)log 2 ( x21x);.log 2x21log 2x21xlog2x21 xf ( x) ，所以， f (x)1 x( x21) 2x2为奇函数。13 求函数 y2log 1 ( x23x2) 的单调区间。3解：令 ux23x2(x3 )21在 3 ,) 上递增，在 (, 3 上递减，2422又 x23x 20 ， x 2 或 x 1，故 u x23x2 在 (2,) 上递增，在 (,1) 上递减，又 y2log 1u 为减函数，3所以，函数 y2log 1 ( x23x2) 在 (2,) 上递增，在 (,1) 上递减。3说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。14 若函数 ylog 2 ( x2axa) 在区间
