1、第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程,【自主预习】主题1:椭圆的定义1.将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1,F2上,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上能得到怎样的图形?提示:得到一个椭圆.,2.在椭圆的形成过程中,有哪些不变的量?用文字语言描述:细绳的_不变,即动点到两定点 的_不变.,长度,距离和,用符号语言描述: _(其中_为动点, F1,F2为定点,_为定长),|MF1|+|MF2|=2a,M,2a,椭圆的定义:_ _ _ _.,平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于,常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.,两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距,
2、离叫做椭圆的焦距,主题2:椭圆的标准方程1.根据椭圆的几何特征,如何建立坐标系求椭圆的方程?提示:以两定点F1,F2所在的直线为x轴,F1F2的中点为坐标原点建立坐标系,然后按照求轨迹方程直接法的步骤求出椭圆方程.,2.在推导椭圆的标准方程的过程中,如何处理等式中的两个根式?提示:将其中一个根式移到另一端,两边平方然后再次平方即可.,通过以上探究试写出椭圆的标准方程焦点在x轴上: (ab0).焦点在y轴上: (ab0).a,b,c的关系:c2=_.,a2-b2,【深度思考】结合教材34例1,你认为如何求椭圆的标准方程?第一步:_.第二步:_.第三步:_.第四步:_.,先确定焦点位置,设出标准方
3、程,寻求题目条件中a,b,c的等量关系,求a,b的值,得标准方程,【预习小测】 1.平面内一动点M到两定点F1,F2距离之和为常数2a,则点M的轨迹为()A.椭圆 B.圆C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹,【解析】选D.当2a|F1F2|时,轨迹为椭圆;当2a=|F1F2|时,轨迹为线段;当2a|F1F2|时,轨迹不存在.,2.若椭圆的焦点在x轴上,焦距为2,且经过( ,0),则椭圆的标准方程为_.【解析】由题意知,椭圆的焦点在x轴上,c=1,a= ,所以b2=4,故椭圆的方程为 =1.答案: =1,3.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k=_.【解析】把方程化为标准形式为x2
4、+ =1,因为其中一个焦点为(0,2),所以焦点在y轴上,且c=2,即 =2,解得k=1.答案:1,4.已知 =1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为_.【解析】由题意知0m216,即0m4或-4mb0).因为2a=10,所以a=5,又因为c=4.所以b2=a2-c2=52-42=9.故所求椭圆的标准方程为 =1.,(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆的标准方程为 (ab0).由椭圆的定义知,2a= 所以a= .又因为c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6.故所求椭圆的标准方程为 =1.,【互动探究】1.当动点P与两定点F1,F2的距离和满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,
5、点P的轨迹是什么?,提示:如图,当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,点P在线段F1F2上,所以点P的轨迹是线段F1F2.,2.判断一个点的轨迹是否是椭圆,应该满足什么条件?提示:需满足两个条件:一是该点到两个定点的距离的和是常数,二是该常数要大于两定点间的距离.,3.椭圆的标准方程中,参数a,b(ab0)与c满足的关系能否用图表示?方程 与 有何不同?,提示:a表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半,a,b,c的关系如图.,当ab0时,方程 表示焦点在x轴上的椭圆,方程 表示焦点在y轴上的椭圆,即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:椭圆标准方程的求法1.
6、待定系数法:即通过设出标准方程,然后依条件确定待定的系数a,b.2.相关点法(代入法):即先找到动点的相关点,然后通过相关点的轨迹方程,确定动点的轨迹方程.,【题型探究】类型一:椭圆的定义【典例1】(1)下列说法正确的是()A.已知F1(-4,0),F2(4,0),到两点F1,F2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆,B.已知F1(-4,0),F2(4,0),到两点F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于从点(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D.到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆,(2)椭圆 上一点P到
7、一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为_.,【解题指南】(1)根据椭圆的定义进行验证.(2)由椭圆的方程求出a,再利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a求解.,【解析】(1)选C.选项A中虽满足到两定点的距离之和大于8,但未指明到两定点距离之和是常数,故轨迹不是椭圆;选项B中这样的点的轨迹不存在;选项C中点(5,3)到F1,F2的距离之和为4 |F1F2|,适合该条件的点的轨迹是椭圆;选项D中点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.,(2)由椭圆方程 知:a=5,设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,令|PF1|=5,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=10.所以|PF2|=5.答案:5,
8、【规律总结】椭圆定义的双向运用(1)判断:符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆.(2)求值:椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a.,提醒:在判断点的轨迹时,易出现只注意到距离之和为常数,而忽视此常数要大于两定点距离的条件作出错误的判断.,【巩固训练】已知ABC的顶点B,C在椭圆 +y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是_.,【解析】设A为椭圆左焦点,而BC边过右焦点F,如图.可知|AB|+|BF|=2a,|CA|+|CF|=2a,两式相加得|AB|+|BF|+|CA|+|CF|=|AB|
9、+|CA|+|BC|=4a,而椭圆标准方程为 +y2=1,因此a=2,故4a=8.答案:8,【补偿训练】1.设F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是()A.椭圆 B.直线C.圆 D.线段【解析】选D.因为|MF1|+|MF2|=|F1F2|,所以动点M的轨迹是线段.,2.椭圆 上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于_.,【解析】设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=10,知|MF2|=10-2=8.又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON|= |MF2|=4.答案:4,类型二:定义
10、法求椭圆的标准方程【典例2】已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程.,【解题指南】根据两圆内切的特点,得出|PA|+|PB|=10,根据A,B点的坐标,可以判定点P的轨迹方程是以A,B为焦点的椭圆,这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2,b2的问题.,【解析】设圆P的半径为r,又圆P过点B,所以|PB|=r,又因为圆P与圆A内切,圆A的半径为10.所以两圆的圆心距|PA|=10-r,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.,所以2a=10,2c=|AB|=6,所以a=5,c=3.所以
11、b2=a2-c2=25-9=16.即点P的轨迹方程为 .,【延伸探究】(变换条件)典例中条件改为已知圆A: (x+3)2+y2=100,圆B:(x-3)2+y2=4,圆P与圆A内切,与圆B外切,求圆心P的轨迹方程.,【解析】设圆P的半径为r,则所以|PA|+|PB|=126=|AB|,故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且所以a=6,b2=27,所以点P的轨迹方程是 =1.,【规律总结】定义法求椭圆的标准方程(1)先根据动点具有的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是否是一常数,且该常数(定值)大于两定点间的距离.(2)若符合,则动点的轨迹为椭圆,且两定点间的距离为焦距2c,距
12、离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方程.,【巩固训练】如图,圆C:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,求点M的轨迹方程.,【解析】由垂直平分线性质可知|MQ|=|MA|,所以|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|.所以|CM|+|MA|=4.又因为|AC|=2,所以M点轨迹为椭圆.由椭圆的定义知:a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3.所以所求轨迹方程为: =1.,类型三:待定系数法求椭圆的标准方程【典例3】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0).(2)焦点在y轴上
13、,且经过两个点(0,2)和(1,0).(3)经过点A( ,-2)和点B(-2 ,1).,【解题指南】根据条件设出椭圆的标准方程,代入已知点确定椭圆的系数.,【解析】(1)由于椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 (ab0).因为2a= =10,所以a=5.又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.故所求椭圆的标准方程为 .,(2)由于椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为 (ab0).由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),所以故所求椭圆的标准方程为 +x2=1.,(3)方法一:当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为 (ab0).依题意有故所求椭圆的标准方程为,当焦点在y轴上时,设椭圆
14、的标准方程为 (ab0).依题意有因为ab0,所以无解.所以所求椭圆的标准方程为,方法二:设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn),依题意有 解得 所以所求椭圆的标准方程为,【规律总结】待定系数法求椭圆标准方程的方法(1)正确判断焦点的位置.(2)设出标准方程后,运用待定系数法求解：焦点在x轴上的椭圆的标准方程为(ab0),焦点在y轴上的椭圆的标准方程为(ab0).,不能确定焦点位置时可设为 =1(mn)或设为Ax2+By2=1(A0,B0,且AB).,【补偿训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在x轴上,且a=4,c=2.(2)经过点A(0,2)和B,【解析】(1)
15、a2=16,c2=4,所以b2=16-4=12,且焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为,(2)设所求椭圆的标准方程为Mx2+Ny2=1(M0,N0,MN).因为椭圆经过A(0,2)和B 两点,所以 所以所求椭圆方程为x2+ =1.,拓展类型:椭圆定义的应用【典例】(2015济宁高二检测)如图所示,已知椭圆的方程为 =1,若点P在第二象限,且PF1F2=120,求PF1F2的面积.,【解题指南】求PF1F2的面积需要用= |PF1|F1F2|sin 120;椭圆可以提供|PF1|和|PF2|的等量关系;求解本题可由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程,解方程组求得|PF1|,
16、再用面积公式求解.,【解析】由已知得a=2,b= ,所以c= ,|F1F2|=2c=2.在PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|F1F2|cos 120,即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.,由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4,即|PF2|=4-|PF1|.将代入解得|PF1|= .所以 = |PF1|F1F2|sin 120= 即PF1F2的面积是 .,【延伸探究】在例题题设条件不变的情况下,求点P的坐标.,【解析】设P(x,y),由例题可知 = 又 = |F1F2|y|= 2|y|,所以|y|= 代入椭圆方程 =1得x= ,又
17、因为点P在第二象限,所以点P的坐标为,【规律总结】1.椭圆定义的应用(1)实现两个焦点半径之间的相互转化.(2)将两个焦点半径之和看成一个整体,求解定值问题.,2.椭圆定义解题的团体思想对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2构成的F1PF2,求三角形的面积时注意整体思想的应用,如已知F1PF2,可利用S= absinC把|PF1|PF2|看成一个,整体,运用公式|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|,而无需单独求出|PF1|和|PF2|,这样可以减少运算量.,【拓展延伸】椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1
18、,F2构成的PF1F2,称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解.,【巩固训练】设P是椭圆 =1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若F1PF2=60,求F1PF2的面积.,【解析】由椭圆方程知,a2=25,b2= ,所以c2= ,所以c= ,2c=5.在PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60,即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|.由椭圆的定义得10=|PF1|+|PF2|,即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|.-,得3|PF1|PF2|=75,所以|PF1|PF2|=25,所以 = |PF1|PF2|sin60= .,
