1、可控算子对的谱配置问题第 20 卷第 3 期纺织高校基础科学2007 年 9 月 BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESVo1.20.No.3Sept.,2007文章编号:1006-8341(2007)03 025304可控算子对的谱配置问题任芳国,麦安婵(1_陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安 710062;2.西安陆军学院军事运筹教研室,陕西西安 710108)摘要:设和为复 Hiblert 空间,给定算子 A纺(),B 纺.当算子对(A,B) 是可控算子对时,通过空间分解,极分解及构造算子矩阵的技巧,利用数学归纳法给出着名谱配置定理的一个
2、比较清晰的证明,然后给出这个定理的一个应用.关键词:谱;谱配置;可控算子对中图分类号:0177.1 文献标识码:A0 引言设是两个复 Hilbert 空间,纺 ()为到的有界线性算子全体组成的 Banach 空间,而记纺(=纺.对算子 A,分别用(A),D(A), 玖(A),A) 表示算子 A 的谱,预解集,值域,核;J 表示 Hilbert空间上的恒等算子.缺项算子矩阵的补问题在算子理论的研究中有重要意义,所谓缺项算子矩阵的补问题,就是讨论缺项算子矩阵何时存在具有给定性质的补.近年来,许多作者对缺项算子矩阵补问题如逆补,谱补,正算子补,投影补,压缩补,幂等补,平方零补等问题进行了研究 n.,
3、而谱配置问题是算子谱补的重要研究课题之一,所谓谱配置问题就是研究对给定二元算子对(A,B)纺)纺),任取算子 F纺(),形如 A+BF 算子的可能谱是什么.本文主要利用空间分解及构造算子矩阵的技巧,利用数学归纳法,把有限,无限两种情况统一起来,给出着名谱配置定理的一种清晰证明.1 定义及引理定义 1 设(A,B)纺纺),称二元算子对(A,B)是可控的,若玖(AHB)一嬲称二元算 f 一 1子对(A,B) 是完全可控的,若 jPN+,使得玖(A 卜 B)一称二元算子对(A,B) 是 P阶可控的,若 P 一1是使得玖(AB)一成立的最小正整数,并称 P 是算子对(A,B)的可控性指标,记为coin
4、d(A,B)一 f 一 1P.定义 2 设 T 是一个算子,T:UITI 是 T 的极分解,其中 ITI 一(T*T)/2,ITI:rlI“AdEa 是ITI 的谱分解.v.0,令 ITI.一 rII“dE,Tl:UITI,称 TE 是 T 的一个.一限制.一引理 1 若(A,B)且 dim_一,则下列命题是等价的 :(1)(A,B)是可控的.收稿日期:20070413基金项目:国家自然科学基金资助项目(10571114);陕西师范大学重点基金资助项目(995881)通讯作者:任芳国(1969 一),男,陕西省乾县人,陕西师范大学副教授,博士,主要从事算子论方面的研究.E-mail:rfang
5、guosnnu.edu.an254 纺织高校基础科学第 2O 卷(2)(A,B)是完全可控的.证明(1)(2)若(A,B)是可控的,即叨(AHB)一令一(AHB),则有一 H,又由于是第二纲的,则由 Baire 纲引理知,必N+,使得 叨(AHB)是第二纲的,再由开映射定理知叨(A 卜 B)一.i(2)(1)显然.引理 2En 设,是一个 Hilbert 空间,其中 i=1,2.如果 A,Y1),B ,Y1),则下列条件等价:(1)叨(A)叨(B).(2)C ,),使得 ABC.引理 3 设是 Hilbert 空间,那么对复平面上的任一个非空紧集,存在一个正规算子 N国,使得(N)= .证明由
6、于是紧集,则可取以中的元素作一个序列),使得)oo;一,再作一个以)作为对角线元素的对角算子 N,显然 N 是正规算子且(N)一)=.引理 48 设 Mo=(量)是定义在空间.上的算子矩阵,如果(A)n(B)没有内点,那么a(Mo)一(A)U(B).引理 5r 如果 Tt 是算子 T 的 e 一限制,是 T 的广义逆,则有盯 T=Tt.2 定理及证明定理 1 设 A国),B四(),如果算子对(A,B)是可控的,那么(1)如果 dim 一.,那么 V 维复向量,.;l),jF国)算子,使得 a(A+BF)一1,).(2)如果 dimf=,那么对复平面上的任意非空紧集 ,F伤)算子,使得 a(A+
7、BF)=.定理 1 就是着名的谱配置定理.当 dimgf=,2时,Wonham 在文献 El 中证明了该定理.当 dim-时,Echstein 在文献2中讨论了该定理.随后 Takahashi 在文献31 中给出该定理的等价条件,并对其进行了证明.本文将利用数学归纳法来证明谱配置定理.证明由引理 1,不妨设(A,B)是完全可控的.现在通过对算子对(A,B) 的可控指标COind(A,B)作数学归纳法来证明该定理.设 co-ind(A,B)一 P.若 P 一 1 时,那么 (B)=进而 VQ国(,有(Q-A)(B),因此由引理 2 可知,jF国(),使得 QABF,即就是 QA+BF,特别地,由
8、引理 3 可知,对复平面 C 上的任意一个非空紧集,取 Q 是一个正规算子且(Q)一 A,那么有(A+BF) 一 A.于是,P=1 时,定理 1 成立.假设定理 1 对可控指标 P,z 时成立,现在证明 P 一的情况.下面分两种情况进行证明.(1)(B)是闭子空间.设在空间分解=叨(B)上叨(B) 下,A 有算子矩阵表示 A=f 竺:2212,B 为从到:玖(B)上 0(B)的算子有算子矩阵形式 B,并设 F 作为从=(B)上 0(B)到的算子有算子D0,rA,矩阵形 F 一(F1F2).这时有A+BF:=IA+.FA.+XlB2.F.1由于 B.是从到(B)的满射,当 F 任意选取时,由引理
9、 2 可知,勿(B)上,(B)=Az+B.F:F1第 3 期可控算子对的谱配置问题 255(B)上 ,(B)一A22+BoF2:(B),.令 xA+BoF,yA+B.F2,于是 A+卯可表示为算子矩阵 A+卯一 fAv121,显然当F1,F2 任意选取时,X,Y 可分别取纺(觋(B)上,觋(B)与纺(B)中的任一个算子,并由B.是满射及引理2 可知,F 与 X,F2 与 y 相互确定,进而 F 与算子对(X,y)相互确定; 此外,取 G纺(B)上,觋(B),有(;-1()(;)一 fx+All+A1 一 GGyA121.现在来证明(AA12) 是可控的目.COind(AA12)721.事实上,
10、由于i=l觋(AHB)一显然 P 髫 c 日 J.(觋(AHB)PJ-又骞 A1.1A12H(奎 i=1,=P 口(B)J-于是 COind(AAl2)721.如果 dirn=72.假设 dim(B)上=k,那么由归纳假设可知,G纺(觋(B)上,觋(B)使得 a(A.+AzG)一.,),然后很容易选择一个算子 Y纺(B),使得 yGA 是正规算子且(yGA.2)一蚪“,),最后再取 x纺(B)上,观(B)使得 X=一 YG+GA.+GA.G,即存在算子 F纺,A+BFr 十 0Ay.测由引理 4 知 A+)=a(All+AlzG)Ua(Y-一l,).如果 dirn=.是可逆的且曰不是紧算子,于
11、是dimfft)=.令如 (B)上一 q(有限或无限).取中的一个紧子集且 I.Iq.由归纳假设可知存在一个算子 G国(B)上,织(B)使得 a(A.+A.2G)一 A.;令是集合 的闭包,显然是紧集且n.没有内点,然后再由引理 3,选择一个正规算子 M纺(B) 使得(M) 一,取 YM+GA.,最后选择一个算子 x纺(B)上,织(B)使得 x 一一 YG+GA.+GA.2G,于是由引理4 可知,(A+朋)一(Al1+Al2G)U(YGAl2)一 A.r(2)觋(B)不是闭子空间.假定 B=UP 是 B 的极分解,l;tdE是 P 的谱分解,即 PldE.现在 J0J0r取一个充分小的 e0
12、使得 B 的 e 一限制 B 一 UP 是无穷维的且觋(B) 是闭集,其中 P 一 IdE.这时 J用 B 代替上述证明过程中的 B,可得存在 Fo纺(),使得 a(A+BF.)一 A.再由引理5 可知,有 a(A+BFo)一(A+BB+,B.Fo),令 FBBFo,可得 a(A+卯) 一 A.综上所证,定理 1 得证.推论 1 若(A,B)纺(oOf,.(1)如果算子对(A,B)可控, 则 np(A+BF)一 j2;(2)如果 B 是右可逆的,则 np(A+BF)一.证明假设 n.p(A+BF)j2 ,取np(A+BF)一 j2.即 VF纺(),A+BF是可逆的;此外,由于(A,B)是可控的
13、,)是复平面上的一个紧集,则由定理 1 知,Fo纺(,使得(A+BF.),这与 A+BFo是可逆的矛盾,从而 np(A+BF)一 j2.F露()(2)由于 B 是右可逆的,则有(B)= 于是算子对(A,B)是可控的,则由(1)知(2)成立.参考文献:E13WONHAMWM.Onpoleassignmentinmulti-inputcontrollablelinearsystemsJ.IEEETransAutomatControl,1967,12:660-665.,AL=A,此因.LA眙HA么那=,BA,砑于由256 纺织高校基础科学第 20 卷23ECKSTENG.Exactcontrolla
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18、iventheoperatorsA,BwithA,BactingoncomplexHilbertspacesandrespectively.Firstly,usingthespacedecomposition,thepolardecompositionandtheconstuctiontechniqueinoperatormatrix,aclearproofisgivenforthewellknownspectrumassignmenttheorembythemathematicalinductionwhenthepairoperator(A,B)iscontrollable.Secondly
19、,anapplicationisobtainedforthistheory?Keywords:spectrum;spectrumassignment;controllableoperatorpairs(上接第 252 页)编辑,校对:黄燕萍PositiveperiodicsolutionsofaclassofLogisticsystemswithdistributeddelaysandimpulsesLVWeidong(CollegeofMathematicsandInformationScience,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,China)
20、Abstract:Withthehelpofacontinuationtheorem,basedonGainesandMawhinscoincidencedegree,aLogisticsystemwithdistributeddelaysandimpulsesisinvestigatedandasetofsufficientconditionsareobtainedfortheexistenceofatleastonepositiveperiodicsolutions.Keywords:coincidencedegree;positiveperiodicsolution;distributeddelay;impulse编辑,校对:黄燕萍
