1、第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程,1.椭圆的定义(1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于_(大于|F1F2|)的点的轨迹.(2)焦点:两个定点F1,F2.(3)焦距:两焦点间的距离|F1F2|.(4)几何表示:|MF1|+|MF2|=_(常数)且2a_|F1F2|.,常数,2a,2.椭圆的标准方程,(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),a2=b2+c2,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)椭圆的两种标准方程中,虽然焦点位置不同,但都有a2=b2+c2.()(2)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.()(3)椭
2、圆的特殊形式是圆.(),【解析】(1)正确.无论在哪种标准方程中,一定都有a2=b2+c2.(2)错误.只有常数大于|F1F2|时,点的集合才是椭圆.(3)错误.椭圆与圆的概念不同,没有特殊情况.答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)a=5,c=3,焦点在x轴上的椭圆标准方程为 .(2)方程4x2+9y2=1的焦点坐标为 .(3)椭圆的方程为 则a=,b=,c=.,【解析】(1)由a2=b2+c2，得b2=52-32=42=16,所以椭圆的方程为答案： (2)由4x2+9y2=1，得 所以所以焦点坐标为答案：,(3)由 所以a2=9,b2=4,c2=5.所以a=
3、3,b=2,c=答案：3 2,【要点探究】知识点 1 椭圆的定义1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.(2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.,2.椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|),则动点M的轨迹是椭圆.(2)若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a.,【知识拓展】椭圆的焦点三角形设M为椭圆 上任意一点(不在x轴上).F1,F2为焦点，则MF1F2为椭圆的焦点三角形.,【微思考】在椭圆的定义中,
4、动点M到两定点F1,F2的距离之和等于常数(2a)且2a|F1F2|,若2a=|F1F2|,则M的轨迹是什么?若2a|F1F2|,则M的轨迹是什么?提示:当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当2ab,ac,且a2=b2+c2.(如图所示),【微思考】(1)在椭圆的标准方程中abc一定成立吗?提示:不一定,只要ab,ac即可,b,c大小关系不定.(2)根据椭圆方程,如何确定焦点位置?提示:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就在相应的轴上.,【即时练】椭圆25x2+16y2=400的焦点坐标为,焦距为_.【解析】把方程化为标准式: 可知焦点在y轴上,则a2=25,b2=
5、16,所以c2=25-16=9,则c=3,所以焦点为(0,3),焦距为2c=6.答案:(0,3)6,【题型示范】类型一 求椭圆的标准方程【典例1】(1)(2014邵阳高二检测)过点(-3，2)且与 有相同焦点的椭圆的方程是( ),(2)求适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5，0).焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1,0).经过点 和点,【解题探究】1.题(1)焦点在哪个轴上？2.题焦点在x轴上的椭圆的标准方程是怎样的？题焦点在y轴上的椭圆的标准方程是怎样的？题焦点位置不确定，椭圆的标准方程应如何求？,【探究提示】1.椭圆的焦点在x
6、轴上,因为已知方程中x2项的分母较大.2. (ab0); (ab0)；应分焦点在x轴上，y轴上两种情况讨论求解.,【自主解答】(1)选A.由方程 可知，其焦点的坐标为 即设所求椭圆方程为 (ab0).因为过点(-3，2)，代入方程为 解得a2=15(a2=3舍去).故方程为,(2)由于椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 (ab0).因为 所以a=5.又c=4，所以b2=a2-c2=25-16=9.故所求椭圆的标准方程为,由于椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为 (ab0).由于椭圆经过点(0,2)和(1，0),所以故所求椭圆的标准方程为,方法一：当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为
7、(ab0).依题意有 解得故所求椭圆的标准方程为,当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为 (ab0).依题意有 解得因为ab0，所以无解.综上，所求椭圆的标准方程为,方法二：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn)，依题意有 解得所以所求的椭圆方程为：,【方法技巧】1.求椭圆方程的方法,2.椭圆方程的设法技巧若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).,【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于6,求椭圆的方程.(2
8、)椭圆的焦点为F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点,求椭圆的方程.,【解析】(1)由椭圆的焦点坐标为(-2,0)，(2,0),所以可设椭圆的方程为: (ab0).因为2a=6,2c=4，所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=5,所以所求点的轨迹方程为：,(2)因为焦点为F1(0，-5)，F2(0，5),可设椭圆方程为2a=所以a= c=5,b2=40-25=15，所以椭圆方程为,【补偿训练】已知椭圆 (ab0)上一点P(3,4)，且两焦点分别为F1,F2,若PF1PF2,试求椭圆方程.【解题指南】由PF1PF2，可得出 求出c的值.再根据点P在椭圆上，且a2=b
9、2+c2，建立a,b的方程组，求出a,b的值.,【解析】因为椭圆经过点P(3,4),所以又a2=b2+c2, 设F1(-c,0),F2(c,0),则因为PF1PF2,所以,所以即9-c2=-16.所以c2=25.所以c=5.由可得所以a2=45，b2=20.故所求椭圆方程为,类型二 与椭圆有关的轨迹问题【典例2】(1)已知点M在椭圆 上，MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P，并且M为线段PP的中点，则P点的轨迹方程为_.(2)(2013新课标全国卷改编)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.,【解题探
10、究】1.题(1)动点P与哪个动点有关?本题可采用什么方法求动点P的轨迹方程?2.两圆外切时能得到什么条件?内切时能得到什么条件?【探究提示】1.动点P与点M有关.因为点M在已知椭圆上运动,所以本题可采用代入法求动点P的轨迹方程.2.两圆外切,两圆的圆心距等于半径之和;两圆内切,两圆的圆心距等于半径差的绝对值.,【自主解答】(1)设点P的坐标为(x,y)，M点的坐标为(x0,y0).因为点M在椭圆 上，所以因为M是线段PP的中点，所以把 代入 得即x2+y2=36.所以点P的轨迹方程为x2+y2=36.答案：x2+y2=36,(2)由已知得圆M的圆心为M(-1,0)，半径r1=1；圆N的圆心为N
11、(1,0)，半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为 (x-2).,【方法技巧】求解与椭圆相关的轨迹问题的方法,【变式训练】已知两定点F1(-1,0),F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是( ),【解析】选C.因为|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=22=4|F1F2|.所以P的
12、轨迹应是以F1,F2为焦点的椭圆.这里c=1,a=2.所以轨迹方程为,【补偿训练】求过点P(3,0)且与圆x2+6x+y2-91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程.【解析】圆方程配方整理得(x+3)2+y2=102,圆心为C1(-3,0),半径为R=10.设所求动圆圆心为C(x,y),半径为r,依题意有 消去r得R-|PC|=|CC1|PC|+|CC1|=R,即|PC|+|CC1|=10.,又P(3,0),C1(-3,0),且|PC1|=60,B0,事实上,当A=B时,方程表示的曲线为圆而非椭圆.,【类题试解】(2014大理高二检测)若方程 表示椭圆，则实数k的取值范围是_.【解析】由方程 表示椭圆，可得解得2k5且即当2k 或 k5时，方程 表示椭圆.答案：,
