1、第二章点、直线、平面之间的位置关系,2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,2.1.1平面,1.平面,2.点、线、面的位置关系的表示A是点,l,m是直线,是平面.,做一做1如图,点A平面ABC;点A平面BCD;BD平面ABD;平面ABC平面BCD=.答案:BC,3.平面的基本性质,做一做2两个平面重合的条件是()A.有三个公共点B.有无数个公共点C.有一条公共直线D.有两条相交公共直线解析:两条相交直线确定一个平面.答案:D,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)平面就是平行四边形. ()(2)若Aa,a,则A. ()(3)经过三点有且只有一个平面.
2、()(4)两个平面的交线可能是一条线段. ()答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,证明点、线共面【例1】 证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.已知:如图所示,l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.思路分析:先由l1与l2确定一个平面,再证明l3在这个平面内.也可以证明l1,l2确定的平面与l2,l3确定的平面重合.证法一:(纳入平面法)l1l2=A,l1和l2确定一个平面.l2l3=B,Bl2.又l2,B.同理可证C.Bl3,Cl3,l3.直线l1,l2,l3在同一平面内.,探究一,探究二,探究三,思想方
3、法,当堂检测,证法二:(辅助平面法)l1l2=A,l1,l2确定一个平面.l2l3=B,l2,l3确定一个平面.Al2,l2,A.Al2,l2,A.同理可证B,B,C,C.不共线的三个点A,B,C既在平面内,又在平面内.平面和重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练1已知直线ab,la=A,lb=B.求证:a,b,l共面.证法一:如图所示,由已知ab,过a,b有且只有一个平面.al=A,bl=B,A,B,且Al,Bl,l,即a,b,l共面.证法二:ab,过a,b有且只有一个平面.la=A,过l与
4、a有且只有一个平面.又al=A,bl=B,A,A,B,B.Ba,平面与重合,即a,b,l共面.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,证明点共线【例2】已知ABC在平面外,AB=P,AC=R,BC=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.思路分析:证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面内,即得P,Q,R共线.也可以证明Q点既在平面APR内,也在平面内,即点Q在平面APR与平面的交线PR上.证法一:AB=P,PAB,P平面.又AB平面ABC,P平面ABC.由公理3可知点P在平面ABC与平面的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面的交线上,P,Q,R三点共线.,探究一,探究二,探究三,
5、思想方法,当堂检测,证法二:APAR=A,直线AP与直线AR确定平面APR.又AB=P,AC=R,平面APR平面=PR.B平面APR,C平面APR,BC平面APR.QBC,Q平面APR.又Q,QPR,P,Q,R三点共线.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C平面ABC1D1=E.则B,E,D1三点的关系为.(填“共线”或“不共线”),探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,解析:如图所示,连接A1B,BD1,CD1.A1C平面ABC1D1=E,EA1C,E平面ABC1D1.
6、A1C平面A1BCD1,E平面A1BCD1.平面A1BCD1平面ABC1D1=BD1,EBD1,B,E,D1三点共线.答案:共线,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,证明多线共点【例3】如图所示,三个平面,两两相交于三条直线,即=c,=a,=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.,思路分析:由a,b都在平面内且不平行,得a,b相交,再证明交点在c上,即证明交点在以c为交线的两个平面,内.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,证明:=b,=a,a,b.直线a和b不平行,a,b必相交.如图所示,设ab=P,则Pa,Pb.a,b,P,P.又=c,Pc,即交线c经
7、过点P.a,b,c三条直线相交于同一点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,转化思想在文字语言、图形语言与符号语言中的应用典例(1)用符号语言表示下列语句,并画出图形.三个平面,相交于一点P,且平面与平面相交于PA,平面与平面相交于PB,平面与平面相交于PC;平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.(2)用文字语言和符号语言表示右图.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,【审题视角】 (1)根据条件,适当确定其中的某一个平面,然后根据点、线、面的位置关系,将其附着于固定平面上,注意图形的立体感,要将被遮挡
8、部分用虚线表示.(2)用文字语言、符号语言表示一个图形时,应仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,解:(1)符号语言表示:=P,=PA,=PB,=PC;图形表示如图所示.符号语言表示:平面ABD平面BDC=BD,平面ABC平面ADC=AC;图形表示如图所示.,(2)文字语言:平面内的直线m和n相交于点A;符号语言:m,n,且mn=A.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是()解析:选项A错误,理由是两平面的交线没画出
9、,且被遮挡的部分未用虚线画出;选项B,C都错误,理由是被遮挡的部分未用虚线画出.D正确.答案:D,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,1,2,3,4,1.(2016安徽蚌埠一中高二期中)经过空间任意三点作平面 ()A.只有一个B.可作两个C.可作无数多个D.只有一个或有无数多个解析:当三点在一条直线上时,过这三点的平面能作无数个;当三点不在同一条直线上时,过这三点的平面有且只有一个.故选D.答案:D,探究一,探究二,探究三,当堂检测,1,2,3,4,思想方法,2.(2016河北唐山高二期中)下列图形中不一定是平面图形的是()A.三角形B.平行四边形C.梯形D.四边相等的四边形解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形.故选D.答案:D,探究一,探究二,探究三,当堂检测,1,2,3,4,思想方法,3.已知平面平面=l,点P,P,则点P与直线l的关系是.答案:Pl,探究一,探究二,探究三,当堂检测,1,2,3,4,思想方法,4.不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定个平面.解析:三条直线相交于一点,最多可确定3个平面,如图所示,直线a,b,c相交于点A,直线a,b确定平面,直线b,c确定平面,直线a,c确定平面,共3个平面.答案:3,
