1、4.1.2圆的一般方程,1.正确理解圆的一般方程及其特点.2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化.3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.,1,2,(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤:根据题意,选择标准方程或一般方程;根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.,1,2,归纳总结1.圆的一般方程的特点:(1)x2,y2项的系数相等且不为零(如果x2,y2项的系数为不是1的非零常数,只需在方程两边同时除以这个数,系数就可变为1);(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F0.2.关于x,y的二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+E
2、y+F=0表示圆的条件是:(1)A=B0;(2)C=0;(3)D2+E2-4AF0.,1,2,【做一做1-1】 圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ()A.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2),1,2,【做一做1-2】 圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ()A.3B.4C.5D.25,1,2,2.轨迹方程点M的坐标(x,y)满足的关系式称为点M的轨迹方程.,知识拓展当动点M的变化是由点P的变化引起的,并且点P在某一曲线C上运动时,常用中间量法(又称为相关点法)来求动点M的轨迹方程,其步骤是:(1)设动点M(x,y);(2)用点M的坐标来表示点P的坐标;(3)
3、将所得点P的坐标代入曲线C的方程,即得动点M的轨迹方程.,1,2,【做一做2】 已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是.答案:x2+y2=1,1,2,1.圆的标准方程和一般方程的对比剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),可以直接看出圆心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显.(2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显.(3)相互转化,如图所示.,1,2,2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系剖析:已知点M(x0,y0
4、)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则其位置关系如下表:,题型一,题型二,题型三,【例1】 判断关于x,y的方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆,若能表示圆,求出圆心坐标和半径.解法一:由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,则D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2,当m=2时,D2+E2-4F=0,原方程表示一个点;当m2时,D2+E2-4F0,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心坐标为(2m,-m),半径为r=,题型一,题型二,题型三,解法二:原方程可化为(
5、x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,当m=2时,原方程表示一个点;当m2时,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心坐标为(2m,-m),半径为,题型一,题型二,题型三,反思形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义判断D2+E2-4F是否为正.若D2+E2-4F0,则方程表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方变形成“标准”形式后,根据圆的标准方程的特征,观察是否可以表示圆.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 若关于x,y的方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆.求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和
6、半径.解:(1)根据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)0,即4m2+4-4m2-20m0,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思当给出的条件与圆心坐标、半径有关,或者由已知条件容易求得圆心坐标和半径时,一般用圆的标准方程比较方便;否则,用圆的一般方程较好,特别是当给出圆上的三点坐标时,用一般方程可以得到关于D,E,F的三元一次方程组,这比用圆的标准方程简便得多.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【例3】 等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.解:设另一端点C的坐标为
7、(x,y).依题意,得|AC|=|AB|,由两点间的距离公式,得,这是以点A(4,2)为圆心 如图所示,又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合且B,C不能为圆A的一条直径的两个端点.,题型一,题型二,题型三,因为点B,C不能重合,所以点C不能为(3,5).又因为点B,C不能为一条直径的两个端点,题型一,题型二,题型三,反思1.求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法:根据题目条件,建立平面直角坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简、证明.(2)定义法:动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用圆的定义写出动点的轨迹方程.(3)代入法:若动点P(x,y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1,y1)而运动,先把x1,y1用x,y表示,再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中,得出点P的轨迹方程.,题型一,题型二,题型三,2.求曲线的轨迹方程要注意以下三点:(1)根据题目条件,选用适当的求轨迹方程的方法.(2)看准是求轨迹,还是求轨迹方程,轨迹是轨迹方程所表示的曲线(图形).(3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 已知点A(-1,1),B(3,3)是圆C的一条直径的两个端点,又点M在圆C上运动,点N(4,-2),求线段MN的中点P的轨迹方程.解:因为A,B是圆C直径的两个端点,
