1、3.3.2均匀随机数的产生,【知识提炼】1.均匀随机数的定义如果试验的结果是区间a，b内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是_，则称这些实数为均匀随机数.2.均匀随机数的特征(1)随机数是在_内产生的.(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性_.,等可能的,一定范围,相等,3.均匀随机数的产生(1)计算器产生区间0，1上的均匀随机数的函数是_.(2)Excel软件产生区间0，1上的均匀随机数的函数为“_”.(3)产生方法：由几何概型产生；由转盘产生；由_或_产生.,RAND,rand(),计算器,计算机,4.用模拟方法近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟法：做两个转盘模型，进行模拟试验，
2、并统计试验效果，进行近似计算.(2)计算机模拟法：用Excel软件产生0，1上的均匀随机数进行模拟，注意操作步骤.,【即时小测】1.思考下列问题：(1)随机数只能用计算器或计算机产生?提示：错误.随机数还可以通过转盘等其他方法产生.(2)计算机或计算器只能产生0，1的均匀随机数，对于试验结果在2，5上的数，无法用均匀随机数进行模拟估计试验.提示：错误.通过变量变换可以产生2，5上的均匀随机数.,2.设x是0,1内的一个均匀随机数，经过变换y2x3，则x对应变换成的均匀随机数是( )A0 B2 C4 D5【解析】选C.当x 时，y2 34.,3.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗
3、黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32,【解析】选C.矩形的面积S=64=24，设椭圆的面积为S1，在矩形内随机地撒黄豆，黄豆落在椭圆内为事件A，则 解得S1=16.32.,4.在区间-1，2上随机取一个数x，则x0，1的概率为.【解析】-1，2的长度为3，0，1的长度为1，所以所求概率是答案：,5.b1是0，1上的均匀随机数，b=3(b1-2)，则b是区间上的均匀随机数.【解析】0b11，则函数b=3(b1-2)的值域是-6b-3，即b是区间-6，-3上的均匀随机数.答案：-6，-3,【知识探究
4、】知识点 随机数的理解和产生方法观察图形，回答下列问题：,问题1：将均匀的粒子撒在正方形中，你能判断粒子落在四个图中的阴影部分区域的概率的大小关系吗?问题2：x是a，b上的均匀随机数，那么x的取值是连续的，还是离散的?,【总结提升】1.均匀随机数与整数值随机数的异同点(1)相同点：随机产生的随机数.在一定的“区域”长度上出现的几率是均等的.(2)不同点：整数值随机数是离散的单个整数值.相邻两个整数值随机数的步长为1，而均匀随机数是小数或整数，是连续的，相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的.,2.a，b上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生01之间的均匀随机数x1=RAND，然后利用伸缩和平移
5、变换，x=x1(b-a)+a就可以得到a，b内的均匀随机数，试验的结果是a，b上的任何一个实数，并且任何一个实数的出现都是等可能的.,【题型探究】类型一 用随机模拟方法估计长度型几何概型【典例】1.将区间0，1内的均匀随机数a1，转化为-3，4内的均匀随机数a，需要实施的变换为()A.a=7a1B.a=7a1+3C.a=7a1-3D.a=4a12.取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1m的概率.,【解题探究】1.典例1中，如果试验的基本事件构成的总区域为a，b，如何产生a，b上的随机数，进行模拟试验.提示：先利用计算器或计算机随机函数产生0，1
6、上的均匀随机数x，再利用变换公式y=(b-a)x+a，得到a，b上的随机数.,2.典例2中，利用模拟方法对长度型几何概型进行概率估计的关键是什么?对于本题应如何理解?提示：(1)关键是先设计模拟方案，然后利用计算机或计算器产生随机数.,(2)在任意位置剪断绳子，则剪断位置到某一端点的距离取遍0，3内的任意数，并且取到每一个实数都是等可能的.因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应0，3上的均匀随机数，其中取得的1，2内的随机数就表示剪断位置与端点距离在1，2内，也就是剪得两段的长都不小于1m.这样取得的1，2内的随机数个数与0，3内的随机数个数之比就是事件发生的频率.,【解析】1.选C
7、.因为a10，1，所以07a17，-37a1-34，所以a=7a1-3满足题意.2.方法一：设“剪得两段长都不小于1m”为事件A.(1)利用计算器或计算机产生一组0，1的均匀随机数a1=RAND.(2)经过伸缩变换，a=3a1.(3)统计出1，2内随机数的个数N1和0，3内随机数的个数N.(4)计算频率fn(A)= 即为概率P(A)的近似值.,方法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度0，3(这里3和0重合).转动圆盘记下指针指在1，2(表示剪断绳子位置在1，2范围内)的次数N1及试验总次数N，则fn(A)= 即为概率P(A)的近似值.,【方法技巧】用随机模拟方法估计长度型几何概型的
8、概率的步骤(1)利用计算器或计算机产生一组0，1上的均匀随机数a1=RAND.(2)经过平移和伸缩变换y=(b-a)x+a，得到一组a，b上的均匀随机数.(3)统计出试验总次数N和满足所求概率事件的随机数个数N1.(4)计算频率fn(A)= ，即为所求概率的近似值.,【提醒】用随机模拟的方法估计事件的概率，首先要确定所求的几何概型与哪个量有关系，然后产生相应的随机数，并严格按照试验步骤进行.,【变式训练】1.b1是0，1上的均匀随机数，b=6(b1-0.5)，则b是区间上的均匀随机数.【解析】当b1=0时，b=-3；当b1=1时，b=3.答案：-3，3,2.在长为12cm的线段AB上任取一点M
9、，并以线段AM为边作正方形，用随机模拟方法求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率.【解题指南】正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段上取一点M，求使得AM的长度介于6 cm与9 cm之间的概率.,【解析】步骤：(1)用计算机产生一组0，1内的均匀随机数，a1=RAND.(2)经过伸缩变换，a=12a1得到0，12内的均匀随机数.(3)统计试验总次数N和6，9内随机数的个数N1.(4)计算频率记事件A=面积介于36cm2与81cm2之间=边长介于6cm与9cm之间，则P(A)的近似值为,类型二 用随机模拟方法估计面积型几何概型【典例】1.(2014重庆高考)某
10、校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50之间到校，且每人在该时间段内的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为(用数字作答).,2.解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16 m，宽为14 m的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1 m、2 m、5 m.若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格.若一位特种兵随意跳下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率.,【解题指南】1.典例1中，用随机模拟方法估计面积型
11、几何概型与长度型几何概型有何区别?提示：用随机模拟方法估计长度型几何概型只需产生一组均匀随机数，而面积型几何概型需产生两组均匀随机数.,2.典例2中，利用随机模拟方法对面积型几何概型进行概率估计的关键是什么?对于本题应如何理解?提示：(1)关键是利用两组均匀随机数，分别表示横坐标、纵坐标，确定点的位置.(2)本题为面积型几何概型，所求的概率为面积之比，若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置.,【解析】1.设小张与小王到校的时刻分别为7：30之后x，y分钟，则由题意知小张比小王至少早5分钟到校需满足y-x
12、5，其中0x20，0y20.所有的基本事件构成的区域为一个边长为20的正方形，随机事件“小张比小王至少早5分钟到校”构成的区域为阴影部分.,由几何概型的概率公式可知，其概率为答案：,2.设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”.(1)利用计算器或计算机产生两组0，1上的均匀随机数，a1=RAND，b1=RAND.(2)经过伸缩和平移变换，a=16a1-8，b=14b1-7，得到-8，8与-7，7上的均匀随机数.(3)统计满足-8a8，-7b7的点(a，b)的个数N.满足1a2+b2y即图中的阴影部分，面积为SA=0.5.这是一个几何概型，所以P(A)=SA/S=0.5/4=0.125.答：小王
13、离家前不能看到报纸的概率是0.125.,(2)用计算机产生随机数模拟试验，x是01之间的均匀随机数，y也是01之间的均匀随机数，各产生100个.依序计算，如果满足2x+62y+7，那小王离家前不能看到报纸，统计共有M个，则M/100即为估计的概率.,类型三 用随机模拟方法近似计算不规则图形的面积【典例】1.(2014福建高考)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为.,2.利用随机模拟法计算图示的由曲线y=2x与x轴、x=1围成的阴影部分的面积.,【解题探究】1.利用随机模拟方法求概率的实质是什么?提示：利用随机模拟方法求概率，实质是先求
14、频率，用频率近似代替概率.2.利用随机模拟近似计算不规则图形的面积时的关键是什么?提示：关键是先计算与之相应的规则图形的面积，然后利用随机模拟的方法求出几何概率，并对阴影部分的面积进行估算.,【解析】1.设阴影部分的面积为S.随机撒1000粒豆子，每粒豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即所以可以估计阴影部分的面积为0.18.答案：0.18,2.利用计算机产生两组01之间的均匀随机数，a1=RAND，b1=RAND；进行平移和伸缩变换，a=2(a1-0.5)，b=2b1，得到一组-1，1上的均匀随机数和一组0，2上的均匀随机数；统计试验总次数N和
15、落在阴影内的次数N1(满足条件b2a)的点(a，b)；计算频率 ，即为点落在阴影部分的概率的近似值；,用几何概型的求概率公式求得点落在阴影部分的概率为 所以 所以即 为阴影部分面积的近似值.,【方法技巧】 利用随机模拟方法估计图形面积的步骤（1）把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)的一部分，并用阴影表示.（2）利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率（3）设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S，则有解得 则所求图形面积的近似值为,【变式训练】设函数y=f(x)在区间0，1上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0f(x)1，可以用随机模拟方法近
16、似计算由曲线y=f(x)及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间0，1上的均匀随机数x1，x2，xN和y1，y2，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i=1，2，N).再数出其中满足yif(xi)(i=1，2，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为.,【解析】这种随机模拟的方法是在0,1内生成了N个点，而满足围成的区域内的点是N1个，所以根据比例关系 而矩形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为答案：,易错案例 随机变换公式的应用【典例】用计算器或计算机产生20个0，1之间的随机数x，但是基本事件都在区间-1，3上，则需要经过的线性变换是( )A
17、.y=3x-1B.y=3x+1C.y=4x+1D.y=4x-1,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗?提示：错误的根本原因是没有求出函数的定义域.实际上本题函数的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数.,【自我矫正】选D.因为随机数x0，1，而基本事件都在区间-1，3上，其区间长度为4，所以把x变为4x，因为区间左端值为-1，所以4x再变为4x-1，故变换公式为y=4x-1.,【防范措施】理解a，b上随机数产生的变换随机数x是0，1上的数，因a，b的区间长度为b-a，所以首先xx(b-a).再将新区间左端值变到a即可以了，所以y=(b-a)x+a.牢记公式能帮助我们快速解题.,
