1、杭州商学院2008/2009学年第二学期期末考试试卷班级： 学号： 姓名： .一、 填空题（每小题3分，共15分）1、 设，则 2、 求过点,且与直线平行的直线方程 3、 设D为面上的域，则二重积分 4、求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为 5、若是由曲面所围成的空间闭区域, 则在球面坐标系下的累次积分表达式 二、选择题（每小题3分，共15分）1、在空间直角坐标系中,方程表示( )(A) 双叶双曲面(B) 单叶双曲面(C)抛物柱面 (D) 双曲柱面2、过原点与平面垂直的直线方程为( )(A) (B) (C) (D) 3、函数的极值( ).(A) 等于 (B) 不存在 (C)存在且不为零 (
2、D) 是4、下列级数中，发散的是( )(A) (B) (C) (D)5、和存在是函数在点连续的（ ）。 A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件； C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。三、计算下列各题（每小题8分，共48分）1、设，其中f具有二阶连续偏导数，求 .2、求3、计算，其中为与所围立体.4、求幂级数的收敛区间与和函数.5、求过直线且与曲面在点(1,2,0)的法线平行的平面方程.6、将函数展开成关于的幂级数，并求其收敛区间.四、应用题（每小题8分，共16分）1、在第一挂限内作球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求切点坐标.2、非均匀立体由曲线
3、绕轴旋转一周而成的旋转面与平面所围成的立体，其体密度为，求该立体的质量.五、证明题（本题6分）若满足(1) ,(2) 收敛，则收敛.杭州商学院2008/2009学年第二学期期末考试试答案一填空题（每小题3分，共15分）1. 2. 3. 4. 195.二、选择题（每小题3分，共15分）1. A 2. C 3. B 4.D 5. D三、计算下列各题（每小题8分，共48分）1、解：（3分） =（8分）2、解：（3分）（4分）（7分）（8分）3、解; (4分)（8分）4、解：(1) ,故当时收敛,当时发散,即收敛半径为,（3分）在端点处,由于,故发散,即收敛区间为;（4分）(2) 设（5分）,（8分） 5、解: 直线方向量， 曲面的法线的方向向量为所求平面的法向量为 直线上一点为所求平面方程：另解：过直线的平面束为：（3分）其法向量为，曲面的法线的方向向量为（5分）即，所求平面方程：（8分）6、解：=(3分)（6分）（8分）四、计算下列各题（每小题8分，共16分）1、解：设切点为，则切平面方程为 即 （3分）四面体的体积V为约束条件设 (5分)令得到，即切点为 （8分）2、解（2分）（5分）=（8分）五、（本题6分）证明： 因为级数收敛，所以收敛，又因为 所以都收敛，且收敛到同一极限。所以收敛。
