1、 小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅http:/ 13 大市 2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、（常州市 2013 届高三期末）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线 m，那么另一条直线也与直线 m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，所有真命题的序号为 答案： 、 、 1342、（连云港市 2013 届高三期末）已知正方形 ABCD 的边长为 2
2、，E，F 分别为 BC，DC 的中点，沿AE，EF，AF 折成一个四面体，使 B，C，D 三点重合，则这个四面体的体积为 .答案：133、（南京市、盐城市 2013 届高三期末）现有如下命题：过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；如果两个平行平面和第三个平面相交, 那么所得的两条交线平行；如果两个平面相互垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.则所有真命题的序号是 答案：4、（南通市 2013 届高三期末）已知正四棱锥的底面边长是 6，高为 ，这个正四棱锥的7侧面积是 答案：48.5、（徐州、淮安、宿迁市 2013
3、 届高三期末）若一个长方体的长、宽、高分别为 、 、1，则它的外接球的表32面积是 .答案： 6 A1 B1D CBAD1 C1小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅http:/ （苏州市 2013 届高三期末）如图，在长方体中， ， ，则三棱锥 的体积为 1ABCD3ABDcm12Ac1ABD3cm答案：37、（泰州市 2013 届高三期末）在空间中，用 a,b,c 表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列四个命题：（1）若 ，则 （2）若 ，则,abcAaA,bca(3) 若 ， ，则 （4）若 ， ，则bA则所有真命题的序号是 答案：8、（扬州市 2013 届高三期末）设 是两
4、条不同的直线， 、 是两个不同的平面，ab、 则下列四个命题若 ，则 ， 若 ，则 ,ab/ ,a/a若 若 ，则 ,则,/ b其中正确的命题序号是 答案：二、解答题1、（常州市 2013 届高三期末）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD 底面ABCD，AD AB，CD AB， ， ，直线 PA 与底面 ABCD 所成2ABD3C角为 60，点 M、N 分别是 PA，PB 的中点（1）求证：MN平面 PCD；（2）求证：四边形 MNCD 是直角梯形；（3）求证： 平面 PCB D证明：（1）因为点 M，N 分别是 PA，PB 的中点，所以MNAB2 分因为 CDAB，所以 MNCD又 CD 平
5、面 PCD， MN 平面 PCD，所以 MN平面 PCD. 4 分（2）因为 ADAB，CDAB ，所以 CDAD，又因为 PD底面 ABCD， 平面 ABCD，CD所以 CDPD，又 ，所以 CD平面 PAD6 分AP因为 平面 PAD，所以 CDMD ，MD小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅http:/ MNCD 是直角梯形8 分（3）因为 PD底面 ABCD，所以PAD 就是直线 PA 与底面 ABCD 所成的角，从而PAD= 9 分60在 中， ， ， ， RtPDA26PD2A2MD在直角梯形 MNCD 中， ， ， ，1MN3C，22()CN从而 ，所以 DNCN 1
6、1 分DC在 中，PD= DB= ， N 是 PB 的中点，则 DNPB13 分RtPB6又因为 ，所以 平面 PCB 14 分ND2、（连云港市 2013 届高三期末）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AC，点 D 为 BC中点，点 E 为 BD 中点，点 F 在 AC1 上，且 AC14AF.(1)求证：平面 ADF平面 BCC1B1；(2)求证：EF /平面 ABB1A1.证明：(1) 因为直三棱柱 ABC-A1B1C1，所以 CC1平面 ABC,而 AD平面 ABC, 所以 CC1AD. 2 分又 AB=AC,D 为 BC 中点,所以 ADBC,因为 BCCC1=C,B
7、C平面 BCC1B1,CC1平面 BCC1B1,所以 AD平面 BCC1B1, 5 分因为 AD平面 ADF,所以平面 ADF平面 BCC1B1. 7 分(2) 连结 CF 延长交 AA1 于点 G，连结 GB.因为 AC14AF，AA 1/CC1,所以 CF=3FG,又因为 D 为 BC 中点，点 E 为 BD 中点，所以 CE=3EB,所以 EF/GB, 11 分而 EF平面 ABBA1,GB 平面 ABBA1,所以 EF /平面 ABBA1. 14 分3、（南京市、盐城市 2013 届高三期末）在直三棱柱 中, ABC, D为1ABCABCC1A1B1FED(第 16 题图)小升初 中高
8、考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅http:/ 1C上任一点.(1)求证：直线 1AB平面 D；(2)求证：平面 平面 1.(1)证明:由直三棱柱 ,得 1/AB4 分1CAB而 ,EFD面 面 ,所以直线 EF平面 D7 分(2)因为三棱柱 为直三棱柱,所以 1,又 ABC,1而 1B面 1C, B面 1C,且 1B,所以 A面 11 分又 D面 ,所以平面 A平面 114 分4、（南通市 2013 届高三期末）如图，在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，E 是侧面 AA1B1B 对角线的交点，F 是侧面 AA1C1C 对角线的交点，D 是棱 BC 的中点求证：（1） 平面 ABC；/E（
9、2）平面 AEF平面 A1AD解：（1）连结 1BC和因为 分别是侧面 和侧面 的对角线的交点，EF、 1B1AC所以 分别是 的中点、 A和所以 3 分/B又 平面 中， 平面 中，CEF故 平面 6 分/EF（2）因为三棱柱 为正三棱柱，1ACBAB CDE FA1B1 C1(第 15 题)AB CDE FA1B1 C1(第 15 题)小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅http:/ 平面 ，所以 1ABC1A故由 ，得 8 分/EFBC1又因为 是棱 的中点，且 为正三角形，所以 DD故由 ，得 10 分/D而 ， 平面 ，所以 平面 12 分1A1,A1AEF1A又 平面
10、，故平面 平面 14 分EFEFD5、（徐州、淮安、宿迁市 2013 届高三期末）如图，在四棱柱 中，已1DCB知平面 平面 且 ,CA1,B3CA.D（1） 求证： ;1（2） 若 为棱 的中点，求证： 平面E/E.1C在四边形 中，因为 ， ，所ABDABCD以 ，2 分又平面 平面 ，且平面 平1C1面 ，平面 ，所以 平面 ，BAB1AC4 分又因为 平面 ，所以 7 分11C1D在三角形 中，因为 ，且 为 中点，所以 ，9 分EBBCAE又因为在四边形 中， ， ，AB3CA1D所以 ， ，所以 ，所以 ，12 分60C30因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 14 分D1E1EA1
11、6、 （苏州市 2013 届高三期末）如图，在三棱锥中， 平面 已知 ，点 ，PABPABD分别为 ， 的中点EC（1）求证： 平面 ；（2）若 在线段 上，满足 平面 ，求F/PEF1AECDBA1DB1C第 16题图APBCDEF小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅http:/ 2013 届高三期末）在三棱锥 S-ABC 中，SA 平面 ABC，SA=AB=AC=,点 D 是 BC 边的中点，点 E 是线段 AD 上一点，且 AE=4DE,点 M 是线段 SD 上一3BC点，（1）求证：BC AM(2)若 AM 平面 SBC，求证：EM 平面 ABS (1)AB=AC，D 是
12、BC 的中点，AD BC, 2 分AMBCSADMBCASABCS 面平 面面面7 分（证到 SA平面 SAD 得 5 分）（2）AM 面 SAB， AM SD，EM面DEAMS4平 面平 面SBS/ABS14 分8、（无锡市 2013 届高三期末）如图，四棱锥 PA BCD小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅http:/ ABCD 为菱形，BD面 PAC,A C=10，PA=6,cos PCA= ，M 是 PC 的中点45（）证明 PC平面 BMD;（）若三棱锥 MBCD 的体积为 14，求菱形 ABCD 的边长9、（扬州市 2013 届高三期末）如图，在四棱锥 中， 平PABC
13、D面 ， 于 。ABCDO（）证明：平面 平面 ；PAC（）设 为线段 上一点，若 ，求证： 平面EE/E（）证：因为 平面 ，BD平面 ， 2 分又 ， 是平面 内的两条相交直线，ACBD,PA平面 ， 4 分而 平面 ，所以平面 平面 6 分PAC（）证： ， ， 和 为平面 内ECBDEBED两相交直线， 平面 ， 8 分连接 ， 平面 ， ， 10 分EOO平面 ， 平面 ， ，PABA又 共面， ， 12 分,C/又 平面 ， 平面 ， 平面 14 分EB/PABE10、（扬州市 2013 届高三期末）在四棱锥 中，侧面 底面 ，CDPABCD小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅http:/ 是直角梯形，PDCABD， ， ， 设/ABCD21AB2为侧棱 上一点， ，试确定 的值，使得二面QPQP角 为 45B解：因为侧面 底面 ，平面 平面 ， ，CDABCDABCDP所以 平面 ，所以 ，即三直线 两两互相垂直。PP,如图，以 为坐标原点， 分别为 轴建立直角坐标系，,xyz则平面 的一个法向量为 ， BD(1,0)n2 分，所以(0,21),(,)PCPQC，设平面 的一个法向量为QBD，由 ， ，(,)abcm00m得 ，02(1)所以 6 分,所以 ，即|cos45nm22()1注意到 ，解得 10 分(0,1)
