1、第6讲,例： 控制系统如图所示，其中输入 ，证明当时，稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。,解：,控制系统的方块图,闭环传递函数,只要令,，就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。,4.5 线形定常系统的稳定性,对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。 分析系统的稳定性问题。 提出保证系统稳定的措施。,4.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件,有关稳定性的定义和理论较多。控制系统稳定性的严格定义和理论阐述是由俄国学者李雅普诺夫于1892年提出的，它主要用于判别时变系统和非线性系统的稳定性。设一线性定常系统原处于某
2、一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。由此可知：线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。,零输入系统的稳定性问题,基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。如果脉冲响应函数是收敛的，即有,表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可知，系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。,由于单位脉冲函数的拉氏反变换等于1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函
3、数的拉氏反变换。 令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则 有下式，其中q+2r=n,将上式展开得：,对上式取拉氏反变换，求得系统的脉冲响应函数为,若系统稳定，则闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面,如果系统的特征根中只要有一个正实根或一对实部为正的复数根，则其脉冲响应函数就是发散形式，系统永远不会再回到原有的平衡状态，这样的系统就是不稳定系统。,物理系统的输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线性微分方程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现为等幅振荡。,系统稳定性示意图,非零输入系
4、统的稳定性问题,一个在零输入下稳定的系统，不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏,则系统的输出为：,用部分分式展开，得,对上式求反变换得,由该式可见，等号右方第一项A0是系统的稳态分量，它表示在稳态时，系统的输出量r(t)完全受输入量r(t)的控制。第二、第三项为系统响应的瞬态分量，它们是由系统的结构和参数确定的。,结论,控制系统稳定与否完全取决于它本身的结构和参数，即取决于系统特征方程式根实部的符号，与系统的初始条件和输入无关。如果系统特征方程式的根都具有负实部，则系统是稳定的。若系统特征方程式的根中有一个或一对以上实部为正的根，则对应的瞬态分量将随着时间的推移而不断地增大，并成为
5、输出响应的主要成分，而稳态分量与之相比都变得无足轻重，这种系统是不稳定的。,如果系统特征方程式的根中有一对共轭虚根，其余的根均在S的左半平面，则对应的系统为临界稳定。此时系统的响应函数中含有等幅振荡的分量，基于系统的参数和外部环境的变化，这种等幅振荡不可能持久地维持下去，系统最后很可能会不稳定。因此，在控制工程中通常把临界稳定亦当作不稳定处理。,4.5.2劳斯稳定判据,线性系统稳定的充要条件是闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。能否找到一种不用求根而直接判别系统稳定性的方式，称为稳定判据。 劳斯稳定判据就是这种间接的方法（不用直接求根，因为求根很复杂），它是由劳斯于1877年首先提出的。
6、,劳斯表,令系统的闭环特征方程为,如果方程式的根都是负实部，或其实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。,证明：设 为实数根， 为复数根,因为上式等号左方所有因式的系数都为正（数）值，所以它们相乘后与各次项的系数必然仍为正值，且不会有系数为零的项。反之，若方程中如有一个根为正实根，或有一对实部为正的复数根，则对应方程式与各项的系数不会全为正值，即一定会有负系数项或缺项出现。,对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的系数全为正值，是系统稳定的充分条件和必要条件。但对于三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。,劳斯表,设系统特征方
7、程式如 下,将各项系数，按右面的格式排成劳斯表,这样可求得n+1行系数,劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。,例： 已知一调速系统的特征方程式为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表,由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。,例：已知某调速系统的特征方程式为求该系统稳定的K值范
8、围。解：列劳斯表,由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：,劳斯判据特殊情况,劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。,例： 已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。解：列劳斯表,由于表中第一列E上面的符号与其下面
9、系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定,劳斯表中出现全零行 表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行，完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。,例：一个控制系统的特征方程为,由于S3这一行全为0，用上一行组成辅助多项式,由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。令 F(s)=0，,显然这个系统处于临界稳定状态,4.6 线性系统的稳态误差计算,前提：
10、系统稳定 控制系统的性能是由动态性能和稳态性能两部分组成的。动态性能 稳态性能,稳态误差的不可避免性,输入量（控制量），扰动量不同，输入函数的形式不同（阶跃、斜坡、或加速度），控制系统的输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当，也不可能在任何形式的扰动作用下都准确地恢复到原平衡位置。控制系统中不可避免存在摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素，都会造成附加的稳态误差。,无差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统称之无差系统。有差系统：在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统称之有差系统。,4.6.1 稳态误差的定义,输出的实际值,输出的希望值,系统的稳态误差，不仅与开环传递函数的结构有
11、关，还与输入形式密切相关 。,对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描述的系统结构。因此，按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。,4.6.2 系统类型,令系统开环传递函数为,4.7生物系统模型,细菌增长模型感受器肿瘤细胞生长模型CO2感受器系统半规管功能血液透析二室模型,小结,1、时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。2、 二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼取值适当（如左右），则系统既有响应的快速性
12、，又有过渡过程的平稳性，因而在控制系统中常把二阶系统设计为欠阻尼。,3、 如果高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的瞬态响应就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。,4、 稳定是系统所能正常工作的首要条件。线性定常系统的稳定是系统固有特性，它取决于系统的结构和参数，与外施信号的形式和大小无关。不用求根而能直接判断系统稳定性的方法，称为稳定判据。稳定判据只回答特征方程式的根在s平面上的分布情况，而不能确定根的具体数值。,5、 稳态误差是系统控制精度的度量，也是系统的一个重要性能指标。系统的稳态误差既与其结构和参数有关，也与控制信号的形式、大小和作用点有关。,6、 系统的稳态精度与动态性能在对系统的类型和开环增益的要求上是相矛盾的。解决这一矛盾的方法，除了在系统中设置校正装置外，还可用前馈补偿的方法来提高系统的稳态精度。,
