1、问题1：博弈方2就如何分10000元钱进行讨价还价。假设确定了以下原则：双方提出自己要求的数额和，。如果设博弈方1和，则两博弈方的要求都得到满足，即分得和；但如果，则该笔钱就被没收。问该博弈的纯策略纳什均衡是什么？如果你是其中一个博弈方，你会选择什么数额，为什么？解：，那么，那么，它们是同一条直线，上的任意点，都是本博弈的纯策略的Nash均衡。假如我是其中一个博弈方，我将选择元，因为是比较公平和容易接受的。它又是一个聚点均衡。问题2：设古诺模型中有家厂商。为厂商的产量，为市场总产量。为市场出清价格，且已知（当时，否则）。假设厂商生产产量的总成本为，也就是说没有固定成本且各厂的边际成本都相同，为
2、常数。假设各厂同时选择产量，该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？解：，令，解得：，当趋向于无穷大时，这是一个完全竞争市场，上述博弈分析方法其实已经失效。问题3：两寡头古诺模型，但两个厂商的边际成本不同，分别为和。如果，问纳什均衡产量各为多少？如果，但，则纳什均衡产量又为多少？解：双方的反应函数联立求解，解得：当，就是这个博弈的Nash均衡。如果，但，当然可以推得。那么厂商1就变成垄断商它的最佳产量当然是，它的利润是：。问题4：如果双寡头垄断的市场需求函数是，两个厂商都无固定成本边际成本为相同的常数。如果两个厂商都只能要么生产垄断产量的一半，要么生产古诺产量。证明：这是
3、一个囚徒困境型的博弈。解：古诺产量，垄断产量的一半，那么分别有四种情况：，厂商二厂商一古诺产量垄断产量的一半古诺产量，垄断产量的一半，双方都有偷步的行为，直至达到古诺产量，达到均衡。问题5：两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为，设厂商1和厂商2都没有固定成本。若他们在相互知道对方边际成本的情况下，同时作出产量决策是分别生产20单位和30单位。问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？解：，令，代入，所以：。问题6：两个企业1、2各有一个工作空缺，企业的工资为，并且。设有两个工人同时决定申请这两个企业的工作，规定每个工人只能申请一份工作，如果一个企业的工作只有一个工人申
4、请，该工人肯定能得到这份工作；但如果一个企业的工作同时有两个工人申请，则企业无偏向地随机选择一个工人，另一个工人则会因为错过向另一个企业申请的时机而失业（这时收益为0）。该博弈的纳什均衡是什么？该博弈的结果有多少种可能性，各自的概率是多少？解：工人2工人1企业1企业2企业1，企业2，有两个纯策略均衡，还有混合策略均衡。，问题7：五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。每只鸭子的收益是鸭子总数的函数，并取决于是否超过某个临界值；如果，收益；如果时，。再假设每只鸭子的成本为元。若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？问题7：是第个农户养鸭子的数量，当时，那么，那么（1）如果，则上
5、述临界条件成立，五户居民每户养8只鸭子，就是该博弈的Nash均衡。（2）如果，那么上述条件不成立，问题8：应用均衡概念和思想讨论下列得益矩阵表示的静态博弈。博弈方2博弈方1LRU6，62，7D7，20，0解：有两个纯策略Nash均衡。（U，R）和（D，L），但还有一个混合策略Nash均衡。，。但效率不高，双方的期望收益都是；不如（U，L）的效率高，（U，L）是Pearto均衡。应该设置一种机制，促使该Pearto均衡实现。问题9：三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？矩阵1：妻子丈夫活着死了活着1，1
6、-1，0死了0，-10，0矩阵2：妻子丈夫活着死了活着1，11，0死了0，10，0矩阵3：妻子丈夫活着死了活着-1，-11，0死了0，10，09解：矩阵1有两个Nash均衡（活着，活着），（死了，死了）和混合策略Nash均衡。两人的感情很好，同生死，共患难，极度恩爱，单独活着反而更加痛苦。矩阵2有三个Nash均衡，（活着，活着），（活着，死了），（死了，活着）。说明两人感情恶化，生活很不幸福。一方死了，另一方更好，但没有到相互不可容忍的地步。这说明夫妻感情很不好，处于相当危险的状态。矩阵3有两个Nash均衡，（活着，死了），（死了，活着）。达到你死我活、势不两立的程度。这说明这对夫妻感情状态极
7、度恶化，已经相互仇恨到了不共戴天的程度。问题1：如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能肯定，即下图中、数值不确定。试讨论本博弈有哪几种可能的结果。如果本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的，或应满足什么条件？乙甲乙借不借分不分打不打（1，0）（2，2）（a，b）（0，4），不借不分不打；，且，借不分打；，且，借不分打；，且，借分（2，2）问题2：三寡头市场需求函数，其中是三个厂商的产量之和，并且已知三个厂商都有常数边际成本2而无固定成本。如果厂商1和厂商2同时决定产量，厂商3根据厂商1和厂商2的产量决策，问它们各自的产量和利润是多少？代入，得。问题3：设两个博弈方之间的三阶段动态博弈
8、如下图所示。（1）若和分别等于100和150，该博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？（2）是否可能成为该博弈的子博弈完美纳什均衡路径，为什么？（3）在什么情况下博弈方2会获得300单位或更高的得益？121LRMNST300，0200，200（a，b）50，300（1）博弈方1在第一阶段选择R，在第三阶段选择S，博弈方2在第二阶段选择M。（2）不可能。带来的利益50明显小于博弈方1在第一阶段R的得益300；无论和是什么数值，该路径都不能构成Nash均衡，不能成为子博弈完美Nash均衡。（3）由于不是本博弈的子博弈完美Nash均衡，因此博弈方2不可能通过该路径实现300单位的得益，唯一有可能实现300
9、单位及以上的得益的路径为，要使该路径成为子博弈完美Nash均衡而且博弈方2得到300单位及以上的得益必须。问题4：企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。如果企业甲先于企业乙进行产品选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。（1）用扩展型表示这一博弈。（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？企业乙企业甲高档低档高档500，5001000，700低档700，1000600，600扩展型表示的博弈甲乙乙高低低低高高（500，500）（1000，700）（700，1000）（600，6
10、00）若甲选择高档，乙选择低档，甲得1000元，乙得700元；若甲选择低档，乙选择高档，那么甲得700元，乙得1000元，所以：甲的策略为：选择生产高档产品；乙的策略是：若甲选择高档，乙选择低档；若甲选择低档，乙选择高档。本博弈的子博弈Nash均衡是：甲选择生产高档彩电，乙选择生产低档彩电。问题5：乙向甲索要1000元，并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。当然甲不一定相信乙的威胁。请用扩展型表示该博弈，并找出纯策略纳什均衡和子博弈完美纳什均衡。两个纯策略Nash均衡：（给，实施），（不给，不实施）实施的威胁不可信，甲在第一阶段选择不给，乙在第二阶段不实施（生命诚可贵）；这是子博弈完美纳什均衡；另
11、一个（给，实施）不可信。甲乙不给给实施不实施（-1000，1000）（0，0）（-，-）问题6：两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是，企业2的利润函数是，其中是企业1的价格，是企业2的价格。求：（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；（3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；（4）是否存在参数的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？解：（1），解得：（2），代入得到，得，企业1的子博弈完美纳什均衡企业1的定价，企业2的定价，利润也与（1）相同。与同时选择无异。（3）将代入，解得，代入得，（4）只有先决策的利润大于后决策时的利润时才有激励。当
12、，企业2希望先决策；当时，企业1希望先决策，只要都希望自己先决策。，因此当和时都能满足，这样才参数范围都希望自己先决策。问题7：三寡头市场有倒转的需求函数为，其中，是厂商的产量。每一个厂商生产的边际成本为常数，没有固定成本。如果厂商1先选择产量，厂商2和厂商3观察到后同时选择和，问它们各自的产量和利润是多少？解：，代入得令，代入得：问题8：考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业1和企业2目前情况下的生产成本都是。企业1可以引进一项新技术使单位成本降低到，该项技术需要投资。在企业1作出是否投资的决策（企业2可以观察到）后，两个企业同时选择产量。假设市场需求函数为，其中是市场价格，是两个企业的总产
13、量。问上述投资额处于什么水平时，企业1会选择引进新技术？解：以未引进技术为基准，令，得如果引进技术，令，得只有引进技术后得到的利润大于未引进技术的总利润时，即，即时企业1才会引进新技术。问题9：如果学生在考试之前全面复习，考好的概率为90%，如果学生只复习一部分重点，则有50%的概率考好。全面复习花费的时间小时，重点复习只需要花费小时。学生的效用函数为：，其中是考试成绩，有高低两种分数和，为努力学习的时间。问老师如何才能促使学生全面复习？解：学生全面复习的期望得益学生重点复习的期望得益根据激励相容的条件，所以有所以：故：奖学金与学习成绩全面挂钩，才能激励学生的学习；单靠成绩没有这么大的力度。学
14、生成绩成绩全面重点低分0.1高分0.9Wh-200Wl-200Wh-40Wl-40高分0.5低分0.5问题10：某人正在打一场官司，不请律师肯定会输，请律师后的结果与律师的努力程度有关。假设当律师努力工作（100小时）时有50%的概率能赢，律师不努力工作（10小时）则只有15%的概率能赢。如果诉讼获胜可得到250万元赔偿，失败则没有赔偿。因为委托方无法监督律师的工作，因此双方约定根据结果付费，赢官司律师可获赔偿金额的10%，失败则律师一分钱也得不到。如果律师的效用函数为，其中是报酬，是努力小时数，且律师有机会成本5万元。求这个博弈的均衡。解：第三阶段，律师努力的期望得益：不努力的期望得益：满足
15、激励相容约束第二阶段：接受委托并努力工作第一阶段：委托，接受委托，代理人努力工作，那么委托是必然的选择。打官司的人提出委托，律师接受委托并努力工作。12100委托不委托接受拒绝努力不努力赢0.5赢0.15输0.85输0.5（0，5）（0，5）（225，20）（0，-5）（225，24.5）（0，-0.5）第四章习题一、如果T次重复齐威王田忌赛马，双方在该重复博弈中的策略是什么？博弈结果如何？答：因为这是零和博弈，结论比较具体。重复Nash均衡，均以1/6的概率选择各个策略，期望收益分别为1和-1。因为这是竞争性的零和博弈，无论是有限次重复博弈还是无限次的重复博弈，均不能达成合作的条件。二、举出
16、现实生活中的一个重复博弈与一次性博弈效率不同的例子。答：火车站和机场餐饮业的服务的顾客往往是一次性的，回头客和常客也比较少，价格高，质量差，一次性博弈。效率也比较低。商业区和居民区的餐饮业和商业服务业，回头客和常客比较多，比较注重信誉，质优、价廉，重复博弈。效率也比较高。三、有限次重复博弈和无限次重复博弈有什么区别？这些区别对我们有什么启发？答：动态博弈的逆向归纳法可以用于有限次重复博弈，但不能用于无限次重复博弈，主要用逆向归纳法。无限次重复博弈的效率往往高于有限次重复博弈。当重复次数较少不一定考虑贴现问题，但无限次重复博弈必须考虑贴现问题。启发：重视有限次与无限次的区别，区分和研究这两类博弈
17、，在实践方面重要启发是促进和保持经济的长期稳定和可持续发展，提高社会经济效率是非常有意义的。四、判断下列表述是否正确，并作简单讨论：（1）有限次重复博弈的子博弈完美纳什均衡每次重复采用的都是原博弈的纳什均衡。答：不一定。对于有两个以上纯策略纳什均衡的条件下就不一定。如“触发策略”就不是。（2）有限次重复博弈的子博弈完美纳什均衡的最后一次重复必定是原博弈的一个纳什均衡。答：是，根据子博弈完美纳什均衡的要求，最后一次必须是原博弈的一个纳什均衡。（3）无限次重复博弈均衡解的得益一定优于原博弈均衡解的得益。答：错。如严格竞争的零和博弈就不优于。（4）无限次重复古诺产量博弈不一定会出现合谋生产垄断产量的
18、现象。答：正确。合谋生产垄断产量是有条件的，由贴现率来反映，当不满足条件时，就不能构成激励。（5）如果博弈重复无限次或者每次结束的概率足够小，而得益的时间贴现率充分接近1，那么任何个体理性的可实现得益都可以作为子博弈完美纳什均衡的结果出现。答：这就是无限次重复博弈的民间定理。（6）触发策略所构成的均衡都是子博弈完美纳什均衡。答：错误。触发策略本身并不能排除重复博弈中不可信的威胁和承诺，因此由触发策略构成的不一定是子博弈完美纳什均衡。五、为什么消费者偏好去大商店买东西而不太信赖走街穿巷的小商贩？答：去大商店买东西，重复博弈合作诚信问题；走街穿巷的小商贩，一次性博弈没有合作的必要，存在不诚信和欺诈
19、。建立信用制度和诚信档案的必要性。六、寡头的古诺产量博弈中，如果市场需求，边际成本且没有固定成本，贴现因子。如果该市场有长期稳定性，问两个厂商能否维持垄断产量？解：，古诺产量，利润为：垄断产量，市场长期稳定的，如果一厂商偏离：，那么：因此，坚持垄断产量是明智的。七、如果上一题厂商1的边际成本该为10，厂商2的边际成本仍然是30。假设市场仍然是长期稳定的，而且两个厂商已经达成了厂商1生产3/4，厂商2生产1/4的垄断产量分配协议，问这种协议是否能够长期维持？解：，古诺产量，利润为：垄断产量，产量分别为：，；如果两个厂商均不偏离：厂商1偏离：，不偏离厂商2偏离：，偏离还可以计算出不同的，可以进一步
20、讨论。八、两个人合作开发一项产品，能否成功与两个人的工作态度有关，设成功概率如下：BA努力偷懒努力9/163/8偷懒3/81/4再假设成功时每人有4单位的利益，失败则双方都没有利益，偷懒本身有1单位的利益。问该博弈无限次重复博弈的均衡是什么？解：根据问题的假设，该博弈的得益矩阵如下：BA努力偷懒努力9/4，9/43/2，5/2偷懒5/2，3/22，2一次性博弈显然是囚徒困境式博弈，唯一的纳什均衡两人都偷懒，双方的期望得益都是2。在无限次重复博弈中，假设双方为了在共同努力方面实现合作采取如下的触发策略：开始时努力，一旦发现对方不努力，则自己也偷懒。我们可以分析当贴现因子符合什么条件时，该策略构成
21、子博弈完美纳什均衡。不偏离：偏离：当满足：，也就是时采取这种触发策略是正确的，否则，偏离是正确的。当时，两博弈方都采用这样的触发策略是本博弈的子博弈完美纳什均衡；如果，则上述触发策略组合不是子博弈完美纳什均衡，两人都会采取偷懒的策略。第六章习题一、判断下列表述是否正确，并作简单分析（1）完全但不完美信息动态博弈中各博弈方都不清楚博弈的进程，但清楚博弈的得益。答：不一定，不是所有博弈方都不清楚博弈的进程，只要有一个博弈方都不完全清楚博弈的进程。（2）不完美信息动态博弈中的信息不完美性都是客观因素造成的，而非主观因素造成。答：错。信息不完美很多是人为因素所造成的，因为出于各自的动机和目的，人们在市
22、场竞争或合作中常常会故意隐瞒自己的行为。（3）在完全但不完美信息动态博弈中，若不存在混合策略，并且各博弈方都是主动选择且行为理性的，则不完美信息从本质上说是“假的”。答：正确。因为只包含理性博弈方的主动选择行为，利益结构明确，而且不同路径有严格优劣之分，从不需要用混合策略的动态博弈来说，所有博弈方选择的路径都可以通过分析加以确定和预测，根本无须观察。从这个意义上说，这种博弈的不完美信息实际上都是假的。（4）子博弈可以从一个多节点信息集开始。答：不能从多节点信息集开始，因为多节点必然分割信息集。（5）不完美信息是指至少某个博弈方在一个阶段完全没有博弈进程的信息。答：不是完全没有博弈进程的信息，而
23、是没有完美的信息，只有以概率判断形式给出的信息。二、用柠檬原理和逆向选择的思想解释老年人投保困难的原因。答：“柠檬原理”是在信息不完美且消费者缺乏识别能力的市场中，劣质品赶走优质品，最后搞垮整个市场机制。“逆向选择”是在同样不完美市场和消费者缺乏识别能力的市场中，当价格可变时，价格和质量循环下降，市场不断向低端发展的机制。老年人投保的分析：大致思路是由于信息不对称，费用越来越高，投保人的健康状况好的比例越来越小，最终发展成为只有身体不好的人才参加投保。如果允许调整费率，保险公司为了避免亏损降低风险，上调保费率，健康状况相对好一些的退出市场，整个市场状况恶化。这就是逆向选择机制在老年保险市场上作
24、用的结果。三、用完全但不完美信息动态博弈的思想，讨论我国治理假冒伪劣现象很困难的原因。答：商品交易中的质量问题可以用完全但不完美信息动态博弈来描述。商品交易中的假冒伪劣现象正是这种市场低效率均衡的表现形式。主要因素包括：（1）信息不完美程度比较严重。信誉的建立有差距，信息不对称现象严重等；（2）消费者识别能力低下而且麻木。不法商贩的造假成本低，消费者识别能力低下，而且容忍麻木，知假买假，很难治理（如盗版等）；（3）暴力空间的存在。价格水平不合理，定价过高，垄断暴利，造价者利润空间大。（4）对造价者打击不力。执法部门、政府管理部门打击力度不够，而且保护甚至纵容（“激励的悖论”）；（5）我国社会经
25、济环境的变化太大，稳定性比较差。根治假冒伪劣必须解决好以上问题。四、假设买到劣质品的消费者中只有一半事后会发现商品的低劣量并索赔，那么有退款承诺的二手车交易模型的均衡会发生怎样的变化？111高价差高价低价低价好买买买买不买不买不买不买 2 2 2(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)市场完全成功完美Bayes均衡条件变为:还可以进一步讨论其他情况.五、证明本章最后一节最后一部分给出的策略组合在给定条件下构成一个市场成功类型的完美贝叶斯均衡。并讨论时可能出现的变化。答:（1）卖方的策略:车况好，卖高价;车况差卖低价。买方的策略：因为在高价情况买的得益：在低价情况买的得益：（2）如果，那么搞假冒
26、伪劣也能获利，因此可能有部分厂商尝试搞假冒伪劣。不过由于低价低档次市场的利润比搞假冒伪劣要高，因此这种假冒伪劣不会太长久，最终会转向被市场淘汰。六、在现实中常常是既有部分卖假冒伪劣的厂商打出“质量三包”、“假一罚十”等旗号，也有一些卖假冒伪劣的厂商声明“售出商品概不退换”。问这两类厂商有什么不同，它们各自策略的根据是什么？答：前一类厂商作出的承诺是虚假的，根本不会兑现。通常这些厂商既不会主动承诺，市场环境也缺乏有效的监督机制和管理机构迫使他们兑现承诺。后一类厂商一般是销售价值较低而且易坏易耗的商品，或者侵犯其他厂商的专利权、冒其他厂商的商标，对消费着来说商品的使用价值与价格基本符合也属于此列。
27、七、实现四种类型市场均衡的条件是什么？要促使市场均衡向较好的类型转化，可以在哪些方面下功夫？答：市场完全成功型均衡：市场部分成功型均衡：市场完全失败型均衡：市场接近失败的条件：EU=0设法提高C的水平，提高市场上好商品的比例使；调整价格或价格差。八、假设在一价二手车模型中元，元，元，差车的概率是0.6。再假设政府可以控制厂商的伪装成本，但每一单位政府自己有0.5单位成本，而政府的效用是交易中买方的利益减去政府自己的成本。问该博弈的完美贝叶斯均衡是什么？111好差卖卖不卖不卖不买不买不买不买（0，0）（0，0）（0，0）（0，0）（3000，2000）（3000-C，-2000）解：假设C3000刚好如C=3000，是完全成功型：好车卖，差车不卖，买方选买因此把C提高到3000以上，构成市场完全成功型的完美Bayes均衡。
