1、这个公式所表示的定理叫做二项式定理 右边的多项式叫做 a b n的二项展开式 其中叫做二项式系数 一般地 对于任意正整数n 一 知识梳理 1 二项式定理 特点 1 共n 1有项 2 二项式系数是从n个不同元素中取出0 1 2 3 n个元素的组合数 即 3 a按降幂排列 b按升幂排列 每一项中a与b的指数和为n 2 通项公式 式中的叫做二项展开式的通项 用表示 即 注意 1 表示第r 1项 2 通项公式中的a与b的位置不能换 3 要得到即在 a b n中 有r个因式取b 余下n r个因式取a 3 二项式系数与某项系数的区别 二项式系数是 某项的系数包括二项式系数和二项式中a b系数及常数展出部分
2、 第项 4 二项式系数的性质 1 对称性 到首末距离相等的两项的二项式系数相等 即 2 增减性即最大值 3 二项式系数和为奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等于2n 1 即 1 若 x 1 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 则a0 a2 a4的值为 A 9B 8C 7D 6 B 2 计算并求值 1 2 原式 3 若 n的展开式中各项系数之和为64 则展开式的常数项为 A 540B 162C 162D 540 A 4 2010 上海春 在的二项展开式中 常数项是 答案 60 二 题型与方法 通项公式中含有a b n r Tr 15个元素 只要知道了其中的4个元素 就可以求出第
3、5个元素 在求展开式中的指定项问题时 一般是利用通项公式 把问题转化为解方程 或方程组 这里必须注意隐含条件n r均为非负整数且r n 已知在的展开式中 第6项为常数项 1 求n 2 求含x2的项的系数 3 求展开式中所有的有理项 变式求展开式中的有理项 规律小结 1 对求指定项 常数项问题 常用待定系数法 即设第r 1项是指定项 常数项 利用通项公式写出该项 对同一字母的指数进行合并 根据所给出的条件 特定项 列出关于r的方程 求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件 即n r均为非负整数 且n r 第二步是根据所求的指数 再求所求解的项 2 求二项展开式中的有理项 一般是根据通项公式所得到
4、的项 其所有的未知数的指数恰好都是整数的项 解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数 根据具体要求 令其属于整数 再根据数的整除性来求解 若求二项展开式中的整式项 则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数 求解方式与求有理项的方式一致 1 二项式系数最大的项 2 系数的绝对值最大的项 已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992 求的展开式中 变式 已知 n n N 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10 1 1 证明 展开式中没有常数项 2 求展开式中含的项 3 求展开式中所有的有理项 4 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项 课堂互动讲练 1 根据二项式
5、系数的性质 n为奇数时中间两项的二项式系数最大 n为偶数时中间一项的二项式系数最大 2 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同 求展开式中系数最大项的步骤是 先假定第r 1项系数最大 则它比相邻两项的系数都不小 列出不等式组并求解此不等式组求得 规律小结 课堂互动讲练 利用二项展开式可以解决如整除 近似计算 不等式证明 含有组合数的恒等式证明 以及二项式系数性质的证明等问题 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 4 a0 a1 a2 a7 变式 若 2x 4 a0 a1x a2x2 a3x3
6、 a4x4 则 a0 a2 a4 2 a1 a3 2的值是 A 1B 1C 0D 2 A 规律小结 对二项式展开式中系数 系数和问题 常用赋值法 一般地 要使展开式中项的关系变为系数的关系 令x 0得常数项 令x 1可得所有项系数和 令x 1可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的差 而当二项展开式中含负值项时 令x 1则可得各项系数绝对值之和 变式 1 求 x2 x 1 13展开式中x5的系数 2 求 2x 1 6 3 x 5展开式中x3的系数 求证 能被7整除 求的近似值 使误差小于 规律方法小结 1 整除性问题 余数问题 主要根据二项式定理的特点 进行添项或减项 凑成能整除的结构 展开后
7、观察前几项或后几项 再分析整除性或余数 这是解此类问题的最常用技巧 余数要为正整数 2 由 当的绝对值与1相比很小且很大时 等项的绝对值都很小 因此在精确度允许的范围内可以忽略不计 因此可以用近似计算公式 在使用这个公式时 要注意按问题对精确度的要求 来确定对展开式中各项的取舍 若精确度要求较高 则可以使用更精确的公式 这个公式所表示的定理叫做二项式定理 右边的多项式叫做 a b n的二项展开式 其中叫做二项式系数 一般地 对于任意正整数n 一 知识梳理 1 二项式定理 特点 1 共n 1有项 2 二项式系数是从n个不同元素中取出0 1 2 3 n个元素的组合数 即 3 a按降幂排列 b按升幂
8、排列 每一项中a与b的指数和为n 这个公式所表示的定理叫做二项式定理 右边的多项式叫做 a b n的二项展开式 其中叫做二项式系数 一般地 对于任意正整数n 一 知识梳理 1 二项式定理 特点 1 共n 1有项 2 二项式系数是从n个不同元素中取出0 1 2 3 n个元素的组合数 即 3 a按降幂排列 b按升幂排列 每一项中a与b的指数和为n 这个公式所表示的定理叫做二项式定理 右边的多项式叫做 a b n的二项展开式 其中叫做二项式系数 一般地 对于任意正整数n 一 知识梳理 1 二项式定理 特点 1 共n 1有项 2 二项式系数是从n个不同元素中取出0 1 2 3 n个元素的组合数 即 3 a按降幂排列 b按升幂排列 每一项中a与b的指数和为n
