1、1第六部分不等式知识点总结精华考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含绝对值的不等式考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式（4）掌握简单不等式的解法（5）理解不等式a-ba+ba+b 不不 等等 式式 知识要点知识要点三.不等式、线性规划、算法1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：若 , ,则 .即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.0ab1ab如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负
2、号,如果正负号未定,要注意分类讨论.取倒数: ； ；如 ，等价于001ab12x或1x22.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若 ,则 (当且仅当0ba2 21abab时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ”， 常用的方法为：拆、凑、平方等；ba(2) ， (当且仅当 时,取等号)；,cR22abccc(3)公式注意变形如： , ；若 ,则2()ab2)ab0m(真分数的性质)；bma4.证明不等式常用方法：比较法：作差比较： .注意：若两个
3、正数作差比较有困难,可以通过它们的平方0AB差来比较大小；综合法：由因导果；分析法：执果索因.基本步骤：要证需证,只需证； 反证法：正难则反；放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法的方法有：添加或舍去一些项,如： ； .将分子或分母放大(或缩21|a(1)n小)利用基本不等式,如： .利用常用结论： ()(1)n0；112kkk(程度大)； (程度0211()()k0321121()kk小)；换元法：减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元、代数换元.2如：知 ,可设 ； ,可设 ；22xyacos,inxya21xybcos,inxayb6.（1）
4、一元二次不等式 或 分 及b20()20()a0情况分别解之，如设 , 是方程 的两实根，且 ，则其解集如a0a12x2axbc12x下表： 20xbc2020x20abc0或1|2x或1|x1|12|x|aR |R R 如解关于 的不等式： 。x01)(2x(2)指数不等式 ；afgx()()()()1当 时 ，afxg；()()201当 时 ，afxg对数不等式 （1）当 时， ；（2）当 时，lol()aafxa)(0xgf 1a。fxg()07线性规划二元一次不等式 表示 某一侧所有点组成的平面区域。我们把0AxByC0AxByC直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。不等式 所表示的平
5、面区域边界线画成实线。说明：（1）取一个特殊点 ，从 的正负即可判断 表示直线哪0(,)0 0AxByC一侧的平面区域。（2）当两个点位于直线 =0 两侧，xy1()（或 ）2()AxBy（3）求 的最大值，将直线 平移正方向服从 ；zaxbyC0:0lab(,)nab（4） 表示直线的右侧； 表示直线上方；0ABxy（5）二元一次不等式表示的平面区域：法一：先把二元一次不等式改写成 或 的形式，前者表示直线的上方区域，ykxyk后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断； 无等号时用虚线表示不包含直线 ，有等号时用l实线表示包含直线 ；l设点 ， ，若 与 同号，则 P，Q 在直线 的1(,
6、)Pxy2(,)Q1AC2xl同侧，异号则在直线 的异侧。如 已知点 A（2，4），B（4，2），且直线 与线段 AB 恒:2lykx相交，则 的取值范围是_k（6）线性规划问题中的有关概念：满足关于 的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。,xy3关于变量 的解析式叫目标函数，关于变量 一次式的目标函数叫线性目标函数；,xy,xy求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解（ ）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；,xy使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；（7）求解线性规划问题的步骤是什么？根据实际问题的约束条件列出不等式；
7、作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义： .0;0;0 bababa（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1） ab（对称性）（2） c,（传递性）（3） （加法单调性）（4） dd,（同向不等式相加）（5） bcab（异向不等式相减）（6） 0,.（7） （乘法单调性）（8） bdacdcba,（同向不等式相乘）(9)0（异向不等式相除）11,ab（倒数关系）（11） )1,(0nZn且 （平方法则）（12
8、） 且 （开方法则）3.几个重要不等式（1） 0,|2aR则若（2） )2|(2abbb或则、若 （当仅当 a=b 时取等号）（3）如果 a,b 都是正数，那么 .a（当仅当 a=b 时取等号）极值定理：若 ,xyRSxyP则：如果 P 是定值 , 那么当 x=y 时，S 的值最小； 1如果 S 是定值, 那么当 x=y 时，P 的值最大. 2利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 43,abccR(4)若 、 、 则 （当仅当 a=b=c 时取等号）02b5若 则（当仅当 a=b 时取等号） 2(6)| ;|axxaxax时 ， 或（7） |, bbaR则、若4.几个著名不等式
9、（1）平均不等式： 如果 a,b 都是正数，那么 22.1ab（当仅当 a=b时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（ a、 b 为正数）：特别地，2()ab（当 a = b 时，2()）,(322 时 取 等cRcca幂平均不等式： 221221 ).(. nnaa注：例如： ()()cbdcd.常用不等式的放缩法： 21(2)1()nnn 12n（2）柯西不等式： 时 取 等 号当 且 仅 当（ 则若 n nnnbaba baR 321 232123121 )();,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 12,(),x有12
10、121212()()(.xfxxff f或则称 f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例 一元一次不等式 axb 解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则5()0()()0()0;fxgfxfxfgg （3）无理不等式：转化为有理不等式求解()()ffxxg定 义 域 10)()(0)(2xfxfgf 或 2)(0)(xgfxgf 2 3（4）.指数不等式：
11、转化为代数不等式 ()() ()()1;1()0,()lgfxg fxgafaafbb（5）对数不等式：转化为代数不等式 0()0log()l()1();log()l()01aa aafx fxfx fxg （6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想； 1 2应用化归思想等价转化 3 )()(0)(,0)(|)(| xgfxfgxgfxgxf 或或不 同 时 为注：常用不等式的解法举例（ x 为正数）： 2 31124()()()7x 22 323()9yy y类似于 2sincosin(1ixx， 11|()2xx与 同 号 ， 故 取 等6试题精粹江苏省 2011 年高考
12、数学联考试题2（江苏天一中学、海门中学、盐城中学 2011 届高三调研考试）已知等比数列 中，na各项都是正数，且 成等差数列，则 = （ ）231,a87109a238（江苏天一中学、海门中学、盐城中学 2011 届高三调研考试）已知点 在由不),(baM等式组 所确定的平面区域内，则 所在的平面区域的面积为 20yx ),(baN（4）14（江苏省 2010 届苏北四市第一次联考）对于任意的 )2,4(x，不等式xxp464sin2cosin恒成立，则实数 p的取值范围为 23,(13. （常州市 2011 届高三数学调研）已知 ， 是原点，点 的坐标满足)3(AO),yxP，则（1） 的
13、最大值为 ； （2）302xy|OP 3的取值范围为 .； |OPA 3,714. （常州市 2011 届高三数学调研）曲线 上的点到原点的距离的最小值1:yxC为 . 426（姜堰二中学情调查（三）若实数对（ x， y）满足约束条件 ，则023xy的最小值为 2xy112. （泰州市 2011 届高三第一次模拟考试）已知正实数 满足 ，zyx, yzx12则 的最小值为 。 ；.zxy1210（江苏省南通市 2011 届高三第一次调研测试）若圆 C： 在不等式22()(1)xhy所表示的平面区域内，则 的最小值10xy h为 28、（南通市六所省重点高中联考试卷）设 若,2,xyz2 x2，
14、2 y2，则 z 的最小值为 113. （苏北四市 2011 届高三第一次调研考试）若关于 x 的不等式 的解集中2(1)xa的整数恰有 2 个，则实数 a 的取值范围 是 95,)4讲评建议：解决此题最好的方法是观察 ，故对条件两边开方，化为 ，0 |12|xax再转化为函数数形结合解决，当然其它的方法也还是有的，教学中有必要展示学生解法，以体现学生的创造性。绝对值函数教学中要引起重视，绝对值函数即是分段函数。从二次函数角度也可以解决，主要是让学生了解决抛物线开口大小的是二次项系数绝对值的大小。若硬解二次不等式，会者也可解之，或直接解一次不等式，等等。10、（宿迁市高三 12 月联考）设 ，
15、则 的最小值是_ 0a b 21ab_；41 （无锡市 1 月期末调研）不等式 对一切非零实数 均成立，2sinxy,xy8则实数 的范围为 a1,313（徐州市 12 月高三调研）若 ，且 ，则 的最,0abc24abc2abc小值为 .410（盐城市第一次调研）设 ,xy满足约束条件 ,若目标函数120yx0,zabxy的最大值为35,则 的最小值为 . 813. （苏北四市 2011 届高三第二次调研）已知实数 满足 ，,abc9c，则 的取值范围是 24abcb15，13. （苏州市 2011 届高三调研测试）已知 的三边长 满足ABC ,abc，则 的取值范围为 .23,bcaba3
16、5,4【解析】通过 求得可行域如图230,cabab因此 可以看作是点 到原点连线的斜率， 。,ab354ba试题精粹江苏省 2010 年高考数学联考试题一、填空题:13 （江苏省南通市 2010 年高三二模）如图正六边形 ABCDEF 中 ， P 是 CDE 内(包括边界)的动 点，设 APBF（ 、 R），则 + 的取值范围是 914（江苏 省南通市 2010 年高三二模）设函数 2()3fxa，()2gxa若存在 0Rx，使得 0()f与 0g同时成立，则实数 a 的取值范围是 解析：由 2()3fxa知 ，又存在 0Rx，使得 0()fx3,14faf知 即 或 ，另 ()2ga中恒过
17、 ，故由函4026,数的图象知：若 时, 2()3fxa恒大于 0，显然不成立。2x若 时，07af若 时， ，ax对 12另 ，显然不成立。14f13（江苏省无 锡市 2010 年普通高中高三质量调研）已知 ，25()xf对一切 恒成 立，则实数 的取值范围为 2(3sin)3fmRm10。解析：由“ 对一切 恒成立”转化为“2(3sin)3fmR23m的最大值，又 知 ，可转化为求22sin1,5“ 在 上最大值”；因 在 上为5()xf1,2()xfx1,5减函数， 的最大值为 2；即 的最大值为 2，所以 2；f (3sinf23m可得 或 。4m12（江苏省泰州市 2010 届高三联
18、考试题）点 在 两直线 和 之间(,)ab1xy的带状区域内（含 边界），则 (,)fab的最小值为_224aba解析：由 ，又点 在两直线(,)f224ba42(,)a和 之间的带状区域内（含边界）得 ，根据二次函数知1xy3 31的最小值为 5.(,)fab22ba14（江苏省泰州市 2010 届高三联考试题）已知实数 满足： ，且xst、 、 89xts，则 的最小值为_ xs2()1stx解析：由 知 ，又 可化 ，所以89t)(9txts0x，从而0tx2()1xsttts11（当且仅当 时取“=”）619tt 3tx5(江苏 通州市 2010 年 3 月高三素质检测)已知 a， b(0，+)， a+b=1，则 ab 的最大值为 49(江苏通州市 2010 年 3 月高三素质检测)若不等式 2x23 x+a0 的解集为( m,1)，则实数 m 1212（2010 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查 一）若不等式 对21843 kxy于任意正实数 x， y 总成立的必要不充分条件是 ，则正整数 m 只能取 ,km
