1、 第八章点的合成运动 8 1点的合成运动的概念8 2点的速度合成定理8 3点的加速度合成定理 第8章点的合成运动 在实际问题中 往往不仅要知道物体相对地球的运动 而且有时要知道被观察物体相对于地面运动着的参考系的运动情况 例如在运动着的飞机 车船上观察其他飞机 车船的运动 在运动学中 所描述的一切运动都只具有相对的意义 在不同的参考系中观察到的同一物体的不同运动特征之间存在着一定的联系 本章利用运动的分解 合成的方法对点的速度 加速度进行分析 研究点在不同参考系中的运动 以及它们之间的联系 8 1点的合成运动的概念 8 1点的合成运动的概念 物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关 同一物体的
2、运动 在不同的参考系中看来 可以具有极为不同的运动学特征 具有不同的轨迹 速度 加速度等 1 两种参考系 8 1点的合成运动的概念 8 1点的合成运动的概念 8 1点的合成运动的概念 8 1点的合成运动的概念 8 1点的合成运动的概念 不同的观察者观察的结果不同 车上的人以车厢为参考系观察到车轮边缘一点在做圆周运动 站在地面上的人以大地为参考系观察到车轮边缘一点的轨迹如图中所示 两种参考系 静参考系 定系或静系 在分析问题中 认定不动的参考系 动参考系 动系 相对于静系运动着的参考系 一般没特别说明 常以固连于地球的参考系取为静系 8 1点的合成运动的概念 Oxyz为定参考系O x y z 为
3、动参考系研究运动的点为动点 绝对运动 absolutemotion 动点相对于定参考系的运动 相对运动 relativemotion 动点相对于动参考系的运动 牵连运动 convectedmotion 动参考系相对于定参考系的运动 2 三种运动 8 1点的合成运动的概念 3 两种运动轨迹 相对运动轨迹 动点相对于动系的运动轨迹 绝对运动轨迹 动点相对于定系的运动轨迹 定参考系 动参考系 动点 一点 二系 三运动 8 1点的合成运动的概念 绝对运动中 动点的速度与加速度称为绝对速度与绝对加速度相对运动中 动点的速度和加速度称为相对速度与相对加速度牵连运动中 牵连点的速度和加速度称为牵连速度与牵连
4、加速度 牵连点 在任意瞬时 动坐标系中与动点相重合的点 也就是设想将该动点固结在动坐标系上 而随着动坐标系一起运动时该点叫牵连点 由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点的运动 所以除非动参考系作平动 否则其上各点的运动都不完全相同 因为动参考系与动点直接相关的是动参考系上与动点相重合的那一点 牵连点 因此定义 8 1点的合成运动的概念 例7 1求圆盘边缘和点的牵连速度和加速度 其中杆长OO 为l 解 静系取在地面上 动系取在杆上 则 r 8 1点的合成运动的概念 重点要弄清楚牵连点的概念 如果没有牵连运动 则动点的相对运动就是它的绝对运动 如果没有相对运动 则动点随同动参考系所作的运动就是
5、它的绝对运动 动点的绝对运动既取决于动点的相对运动 也决定于动参考系的运动即牵连运动 动点的绝对运动可以看成是牵连运动和相对运动的合成结果 所以绝对运动也称为复合运动或合成运动 点的合成运动 8 1点的合成运动的概念 由于牵连运动的存在 使物体的绝对运动和相对运动发生了差别 几点说明 本章只研究点的复合运动理论 通过牵连运动来建立绝对运动和相对运动之间的联系 给出这些运动特征量 轨迹 速度 加速度 之间的关系 在复合运动的研究中 参考系的选择是问题的关键 恰当的选择参考系 能把复杂的运动分解为若干种简单运动 或由若干种简单运动组成各种不同的复杂运动 必须指出在这一章 绝对运动 相对运动都是指点
6、的运动 可能是直线运动 也可能是曲线运动 而牵连运动是指刚体的运动 可能是平动 定轴转动或下一章的平面运动等 8 1点的合成运动的概念 4 牵连点的概念 动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的一点 这点称为瞬时重合点或动点的牵连点 牵连运动一方面是动系的绝对运动 另一方面对动点来说起着 牵连 作用 但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬时与动点相重合的那一点 该点称为瞬时重合点或牵连点 2 进一步说明 1 定义 由于相对运动 动点在动系上的位置随时间改变 所以牵连点具有瞬时性 3 注意 8 1点的合成运动的概念 1 动点对动系要有相对运动 1 选择持续接触点为动点 2 对没有持续接
7、触点的问题 一般不选择接触点为动点 根据选择原则具体问题具体分析 基本原则 具体选择方法 5 动点和动系的选择 2 动点的相对运动轨迹要明确 容易确定 实例一 车刀的运动 绝对运动 直线运动 动点 车刀刀尖 动系 工件 牵连运动 定轴转动 相对运动 曲线运动 螺旋运动 8 1点的合成运动的概念 实例二 飞机螺旋桨上一点的运动 牵连运动 直线运动 动点 P 动系 机身 相对运动 定轴转动 绝对运动 曲线运动 螺旋运动 8 1点的合成运动的概念 实例三回转仪的运动 相对运动 圆周运动 牵连运动 定轴转动 绝对运动 空间曲线运动 动点 点 动系 框架 8 1点的合成运动的概念 动点 动参考系 绝对运
8、动 牵连运动 相对运动 练习题1 动点 动参考系 绝对运动 牵连运动 相对运动 练习题2 动点 动参考系 绝对运动 牵连运动 相对运动 练习题3 练习题4 动点 动参考系 绝对运动 牵连运动 相对运动 练习题5 动点 动参考系 绝对运动 牵连运动 相对运动 练习题6 动点 动参考系 绝对运动 牵连运动 相对运动 思考题1 思考题1 动点 动参考系 绝对运动 牵连运动 相对运动 思考题2 思考题2 动点 动参考系 绝对运动 牵连运动 相对运动 思考题3 思考题3 试比较其共同点 思考题4 思考题4 试比较其共同点 绝对速度va 动点相对于定系的速度 三种速度 牵连速度ve 动系上与动点相重合的点
9、相对于定系的速度 相对速度vr 动点相对于动系的速度 8 2点的速度合成定理 三种运动轨迹 三种运动轨迹 设动点M在动系中沿某一曲线AB作相对运动 而动系本身相对定系作运动 相应的运动轨迹如下 8 2点的速度合成定理 牵连点运动轨迹 z x y M m 绝对运动轨迹 M1 m1 三种运动轨迹 M2 m2 8 2点的速度合成定理 速度合成定理 动点M在时间 t内的绝对位移 则有 分析其中各项 代入 1 式可得 8 2点的速度合成定理 绝对速度 牵连速度 相对速度 动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和 速度合成定理 8 2点的速度合成定理 几点说明 牵连运动是指刚体 动系 的运动 而牵连
10、速度是指刚体上一点 与动系相重合的点 的速度 速度合成定理为平面矢量方程 由此可以采用投影法 即等式左右两边同时对某一轴进行投影 投影的结果相等 写出两个投影式 所以可以求解两个未知量 速度合成定理对任意形式的牵连运动都适用 8 2点的速度合成定理 应用速度合成定理时 可利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数 例1如图所示 偏心距为e 半径为R的凸轮 以匀角速度w绕O轴转动 杆AB能在滑槽中上下平动 杆的端点A始终与凸轮接触 且OAB成一直线 求在图示位置时 杆AB的速度 A B e C O q w 解 因为杆AB作平动 选取杆AB的端点A作为研究的动点 动参考系随凸轮一起绕O轴转动 点A的
11、绝对运动是直线运动 相对运动是以凸轮中心C为圆心的圆周运动 牵连运动则是凸轮绕O轴的转动 例2如图所示 曲柄OA的角速度为w 通过滑块A带动摇杆O1B摆动 已知OA r OO1 l 求当OA水平时O1B的角速度w1 解 在本题中应选取滑块A作为研究的动点 把动参考系固定在摇杆O1B上 点A的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动 相对运动是沿O1B方向的直线运动 而牵连运动则是摇杆绕O1轴的摆动 j A O1 O w B 例3水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落 如图 试求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度 解 以小环M为动点 定系取在地面上 动系取在AB杆上 动点的速度合成矢量图如
12、图 由图可得 例4求图示机构中OC杆端点C的速度 其中v与 已知 且设OA a AC b 解 取套筒A为动点 动系与OC固连 分析A点速度 有 v A q B C O vC wOC 例5AB杆以速度v1向上作平动 CD杆斜向上以速度v2作平动 两条杆的夹角为a 求套在两杆上的小环M的速度 M A B C D v2 v1 解取M为动点 AB为动坐标系 相对速度 牵连速度如图 取M为动点 CD为动坐标系 相对速度 牵连速度如图 由上面两式可得 其中 将等式两边同时向y轴投影 则动点M的绝对速度为 M A B C D v2 v1 ve1 vr1 vr2 ve2 va y 例6在水面上有两只舰艇A和B
13、均以匀速度v 36km h行驶 A舰艇向东开 B舰艇沿以O为圆心 半径R 100m的圆弧行驶 在图示瞬时 两艇的位置S 50m 30 试求 1 B艇相对A艇的速度 2 A艇相对B艇的速度 1 求B艇相对于是A艇的速度 以B为动点 动系固连于A艇 由图 b 的速度矢量 2 求A相对于B的速度 以A为动点 动系固连于B艇 可见 A相对B的速度并不一定等于B相对A的速度 例7如图车A沿半径为150m的圆弧道路以匀速行驶 车B沿直线道路以匀速行驶 两车相距30m 求 1 A车相对B车的速度 2 B车相对A车的速度 解 1 以车A为动点 静系取在地面上 动系取在车B上 动点的速度合成矢量图如图 由图可得
14、 2 以车B为动点 静系取在地面上 动系取在车A上 动点的速度合成矢量图如图 8 3点的加速度合成定理 rO O j k i y z x x y z O 设动参考系O x y z 以角速度we绕定轴转动 不失一般性 取定坐标系的z轴为其转轴 设k 的端点A的矢径为rA 则A点的速度既等于rA对时间的一阶导数 又可用矢积来表示 即 A rA we 8 3点的加速度合成定理 同样可得i j 的导数 rM rO r M M O j k i y z x x y z O 8 3点的加速度合成定理 点的加速度合成定理 动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度 相对加速度与科氏加速度的矢量和 令 称
15、为科氏加速度 于是有 8 3点的加速度合成定理 q 科氏加速度等于动系角速度矢与点的相对速度矢的矢积的两倍 aC大小为 其中q为we与vr两矢量间的最小夹角 矢aC垂直于we和vr 指向按右手螺旋法则确定 工程中常见的平面机构中we和vr是垂直的 此时aC 2wevr 且vr按we转向转90 就是aC的方向 自然现象中的科氏加速度 地球北半球上水流的科氏加速度 河流冲刷问题 河水对堤岸的冲刷 水流方向右岸冲刷的强度比左岸大 因此右岸比左岸陡 长江三峡 8 3点的加速度合成定理 当牵连运动为平移时 we 0 因此aC 0 此时有 当牵连运动为平移时 动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速
16、度与相对加速度的矢量和 点的加速度合成问题求解步骤与方法 1 选取动点和动坐标系 2 进行运动分析 3 根据速度合成定理 画出速度平行四边形 由其几何关系求出未知量 4 根据加速度合成定理 画出加速度矢量图 5 由合矢量投影定理 选择合适的投影轴 列投影方程求出未知量 例8图示曲柄滑道机构 圆弧轨道的半径R OA 10cm 已知曲柄绕轴O以匀速n 120rpm转动 求当j 30 时滑道BCD的速度和加速度 n j R O O1 A B C D j 解 取滑块A为动点 动系与滑道BCD固连 求得曲柄OA转动的角速度为 O O1 A B C D j 分析加速度得 将加速度向h轴上投影有 例9刨床的
17、急回机构如图所示 曲柄OA的角速度为w 通过滑块A带动摇杆O1B摆动 已知OA r OO1 l 求当OA水平时O1B的角速度w1 解 在本题中应选取滑块A作为研究的动点 把动参考系固定在摇杆O1B上 点A的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动 相对运动是沿O1B方向的直线运动 而牵连运动则是摇杆绕O1轴的摆动 ve va vr 由于动参考系作转动 因此加速度合成定理为 j A O1 O B w1 a1 h 为了求得aet 应将加速度合成定理向轴h投影 即 得 摇杆O1B的角加速度 A B O C w 例10偏心凸轮的偏心距OC e 半径为 以匀角速度w绕O轴转动 杆AB能在滑槽中上下平动 杆的端点
18、A始终与凸轮接触 且OAB成一直线 求在OC与CA垂直时从动杆AB的速度和加速度 q 解 选取杆AB的端点A作为动点 动参考系随凸轮一起绕O轴转动 A B O C w q 加速度分析如图 h 例11图示曲杆OBC绕O轴转动 使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动 已知OB 10cm OB与BC垂直 曲杆的角速度为0 5rad s 求当 60 时小环M的速度和加速度 解 选取小环M作为研究的动点 动参考系随曲杆OBC一起绕O轴转动 点A的绝对运动是小环M沿OA杆的直线运动 相对运动是沿着BC的直线运动 牵连运动则是曲杆绕O轴的转动 于是 由三角关系求得小环的绝对速度为 小环M的加速度分析如图所示
19、向y方向投影 有 例12平底顶杆凸轮机构如图所示 顶杆AB可沿导轨上下移动 偏心圆盘绕轴O转动 轴O位于顶杆轴线上 工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面 该凸轮半径为R 偏心距OC e 凸轮绕轴O转动的角速度为w 角加速度为e 求OC与水平线成夹角j时顶杆的速度和加速度 解1用运动方程求解 因推杆作平动 其上各点的速度和加速度都相同 现取推杆上与凸轮的接触点M分析 解2取圆盘的中心C为研究的动点 动参考系与平底推杆AB固连 分析动点的速度和加速度如图所示 可求得 B A C O j j x y 向y轴正向投影 例13牛头刨床机构如图所示 已知 求图示位置滑枕CD的速度和加速度 解 一 速度分析1
20、取套筒A为动点 动参考系与摇杆O2B固连 相对运动是套筒A沿摇杆O2B的直线运动 牵连运动是摇杆O2B绕O2的定轴转动 绝对运动是套筒A绕O1的圆周运动 绝对速度的大小是 由速度合成定理可得 2 取套筒B为动点 动参考系与滑枕CD固连 相对运动是套筒B沿滑杆的竖直直线运动 牵连运动是滑枕CD的水平平动 绝对运动是套筒B绕O2的圆周运动 由速度合成定理可得 二 加速度分析 动点和动系的选择分别同前 1 A点的加速度分析如图所示 由于动参考系O2B作定轴转动 有科氏加速度 其方向可由相对速度顺着摇杆O2B的转动方向转过得到 是垂直于O2B斜向上方 大小为 各加速度之间的关系为 向y轴投影得 2 B
21、点的加速度分析 将各加速度向水平方向投影得 即滑枕的加速度约为657mm s2 方向向左 例14图示机构 半径为R的曲柄OA以匀角速度绕O轴转动 通过铰链A带动连杆AB运动 由于连杆AB穿过套筒CD 从而使套筒CD绕E轴转动 在图示瞬时 OAOE 求此时套筒CD的角加速度 解 以铰A为动点 静系取在地面上 动系取CD上 动点的速度合成矢量图如图 由图可得 于是套筒CD的角速度为 动点的加速度合成矢量图如图 其中 建立如图的投影坐标轴 由将各矢量投影到投影轴上 得 解得 套筒CD的角加速度为 逆时针方向 例15圆盘的半径 以匀角速度 绕O轴转动 并带动杆AB绕A轴转动 如图 求机构运动到A C两点位于同一铅垂线上 且时 AB杆转动的角速度与角加速度 解 取圆盘中心C为动点 静系取在地面上 动系取在AB杆上 动点的速度合成矢量图如图所示 由图可得 所以杆AB的角速度为 动点的加速度合成矢量图如图所示 其中 建立如图的投影轴 由 将各矢量投影到投影轴上得 所以 故 转向为逆时针方向 本章结束
