1、数列求和及其综合应用1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n1)n20，bn(nN*)，且bn是以q为公比的等比数列(1) 证明：an2anq2；(2) 若cna2n12a2n，证明：数列cn是等比数列；(3) 求和：.10、将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9
2、a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn，b1a11. Sn为数列bn的前n项和，且满足1(n2)(1) 证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a81时，求上表中第k(k3)行所有项的和12、已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bn，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m.13、已知数列an的前n
3、项和Sn满足：SnSmSnm，且a11，那么a10_.14、设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x)_. 15、函数yx2(x0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*.若a116，则a1a3a5的值是_16、已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a61，则m所有可能的取值为_. 17、已知数列an的前n项和为Sn，且Snn5an85，nN*.(1) 证明：an1是等比数列；(2) 求数列S
4、n的通项公式，并求出使得Sn1Sn成立的最小正整数n.1518、设实数数列an的前n项和Sn满足Sn1an1Sn(nN*)(1) 若a1，S2，2a2成等比数列，求S2和a3；(2) 求证：对k3且kN*有0ak1ak.19、数列an、bn是各项均为正数的等比数列，设cn(nN*)(1) 数列cn是否为等比数列？证明你的结论；(2) 设数列lnan、lnbn的前n项和分别为Sn，Tn.若a12，求数列cn的前n项和20、两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且ab，则双曲线1的离心率e等于_21、在等比数列an中，前n项和为Sn，若Sm，Sm2，Sm1成等差数列，则am，am2，am1成
5、等差数列(1) 写出这个命题的逆命题；(2) 判断逆命题是否为真？并给出证明数列求和及其综合应用1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n1)n20，bn(nN*)，且bn是以q为公比的等比数列(1) 证明：an2anq2；(2) 若cna2n12a2n，证明：数列cn是等比数列；(3) 求和：.(解法1)(1) 证明：由q
6、，有q, an2anq2(nN*) .(2) 证明： anan2q2， a2n1a2n3q2a1q2n2，a2na2n2q2a2q2n2， cna2n12a2na1q2n22a2q2n2(a12a2)q2n25q2n2. cn是首项为5，以q2为公比的等比数列(3) 解：由(2)得q22n，q22n，于是.由题知q0，当q1时，n.当q1时，.故(解法2) (1) 同解法1(1)(2) 证明：q2(nN*)，又c1a12a25， cn是首项为5，以q2为公比的等比数列(3) 解：由(2)的类似方法得a2n1a2n(a1a2)q2n23q2n2， q2k2，k1,2，n. (1q2q4q2n2)
7、(下面同上)10、将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn，b1a11. Sn为数列bn的前n项和，且满足1(n2)(1) 证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a81时，求上表中第k(k3)行所有项的和(1) 证明：由已知，1，又Snb1b2b3bn，n2，bnSnSn1， 1即2(SnSn1)Sn(SnSn1)S，2Sn12SnSnSn1，又S110， SnSn10， ，
8、 数列成等差数列，且1(n1)，Sn， bn(2) 解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q0.因为121278，所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项，故a81在表中第13行第三列，因此a81b13q2.又b13，所以q2.记表中第k(k3)行所有项的和为S，则S(12k)(k3)12、已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bn，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m.解： (1) 设这二次函数f(x)
9、ax2bx (a0) ，则f(x)2axb ，由于f(x)6x2，得a3 , b2, 所以f(x)3x22x.又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上，所以Sn3n22n.当n2时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 (nN*)(2) 由(1)得知bn，故Tnbi.因此，要使(1)(nN*)成立的m，必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.13、已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm，且a11，那么a10_. 1解析：SnS1Sn1，an1a1.14、设函数f(x)(x0)，观
10、察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x)_. 15、函数yx2(x0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*.若a116，则a1a3a5的值是_32116、已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a61，则m所有可能的取值为_. 4,5,32解析：显然，an为正整数，a61，故a52，a44，若a3为奇数，则43a31，a31，若a3为偶数，则a38，若a31，则a22，a14，若a38，则a216，a15或32.17
11、、已知数列an的前n项和为Sn，且Snn5an85，nN*.(1) 证明：an1是等比数列；(2) 求数列Sn的通项公式，并求出使得Sn1Sn成立的最小正整数n.15(1) 证明：当n1时，a114；当n2时，anSnSn15an5an11，所以an1(an11)，又a11150，所以数列an1是等比数列；(2) 解：由(1)知：an115n1，得an115n1，从而Snn9090n (nN*)；由Sn1Sn，得n， 15， 使sn1sn成立的最小正整数n15.18、设实数数列an的前n项和Sn满足Sn1an1Sn(nN*)(1) 若a1，S2，2a2成等比数列，求S2和a3；(2) 求证：对
12、k3且kN*有0ak1ak.(1) 解：由题意得S2S2，由S2是等比中项知S20，因此S22，由S2a3S3a3S2，解得a3.(2) 证明：由题设条件有an1Snan1Sn，故Sn1，an11，且an1，Sn，从而对k3有ak，因aak1120，且a0，要证ak，由知只要证，即证3a4(aak11)，即(ak12)20，此式明显成立，因此ak(k3)最后证ak1ak，若不然，ak1ak，又ak0，故1，即(ak1)20，矛盾，所以ak1ak(k3，kN)19、数列an、bn是各项均为正数的等比数列，设cn(nN*)(1) 数列cn是否为等比数列？证明你的结论；(2) 设数列lnan、lnb
13、n的前n项和分别为Sn，Tn.若a12，求数列cn的前n项和解：(1) cn是等比数列(2分)证明：设an的公比为q1(q10)，bn的公比为q2(q20)，则0，故cn为等比数列(5分)(2) 数列lnan和lnbn分别是公差为lnq1和lnq2的等差数列由条件得，即.(7分)即(2lnq1lnq2)n2(4lna1lnq12lnb1lnq2)n(2lna1lnq1)0.上式对nN*恒成立于是将a12代入得q14，q216，b18.(10分)从而有cn4n.所以数列|cn|的前n项和为4424n(4n1)(12分)20、两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且ab，则双曲线1的离心率e
14、等于_【答案】解析：由题有 或(舍)，e.21、在等比数列an中，前n项和为Sn，若Sm，Sm2，Sm1成等差数列，则am，am2，am1成等差数列(1) 写出这个命题的逆命题；(2) 判断逆命题是否为真？并给出证明解： (1)在等比数列an中，前n项和为Sn，若am，am2，am1成等差数列，则Sm，Sm2，Sm1成等差数列(2) 数列an的首项为a1，公比为q.由题意知：2am2amam1，即2a1qm1a1qm1a1qm， a10，q0, 2q2q10, q1或q，当q1时，有Smma1，Sm2(m2)a1，Sm1(m1)a1，显然：2Sm2SmSm1.此时逆命题为假当q时，有2Sm2a1，SmSm1a1， 2Sm2SmSm1，此时逆命题为真
