1、 5 1扭转概念和工程实例 第五章扭转 5 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 5 3纯剪切 5 4圆轴扭转时横截面上的应力 5 5扭转变形扭转强度和刚度计算 5 6扭转静不定问题 5 7矩形截面杆的自由扭转 5 1扭转概念和工程实例 1 螺丝刀杆工作时受扭 Me 主动力偶 阻抗力偶 一 扭转的工程实例 2 汽车方向盘的转动轴工作时受扭 2 汽车方向盘的转动轴工作时受扭 汽车传动轴 3 机器中的传动轴工作时受扭 4 汽车离合器连接时受扭 5 扳手卸轮胎 二 扭转的概念 受力特点 杆两端作用着大小相等 转向相反的力偶 且力偶作用面垂直于杆的轴线 Me 主动力偶 阻抗力偶 变形特点 杆任意两个横截面将绕
2、杆轴线作相对转动而产生相对角位移 这种相对角位移称为扭转角 用 表示 轴 以扭转变形为主的杆件 一 外力偶矩计算 5 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 按输入功率和转速计算 电机每秒输入功 外力偶所做的功 已知轴转速 n转 分钟输出功率 P千瓦求 力偶矩Me 已知轴所传递的功率和轴的转速 则外力偶矩 N m P 功率 单位为千瓦 KW n 转速 单位为rod min P 功率 单位为马力 PS n 转速 单位为rod min 1PS 735 5N m s 1kW 1 36PS 1 扭转杆件的内力 截面法 m T 右段 内力偶矩 扭矩 左段 二 扭转杆件的内力 扭矩及扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内
3、力偶矩称为扭矩 用符号T表示 2 扭矩的符号规定 按右手螺旋法则判断 例题 1 一传动轴作200r min的匀速转动 轴上装有五个轮子 主动轮2输入的功率为60kW 从动轮1 3 4 5依次输出的功率为18kW 12kW 22kW和8kW 试作出该轴的扭矩图 3 内力图 扭矩图 扭矩图作法 同轴力图 解 一 外力偶矩 二 求解各段内力 由平衡条件可解得各段内力为 负号说明与假设方向相反 1 实验 5 3纯剪切 一 薄壁圆筒横截面上的应力 薄壁圆筒轴的扭转 2 变形规律 圆周线 形状 大小 间距不变 各圆周线只是绕轴线转动了一个角度 纵向线 倾斜了同一个角度 小方格变成了平行四边形 结论 横截面
4、上 可认为剪应力沿壁厚均匀分布 且方向垂直于其半径方向 根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布 3 剪应力的计算公式 薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体 单元体 得 1 剪应力互等定理 二 关于剪应力的若干重要性质 在相互垂直的两个平面上 剪应力必然成对存在 且数值相等 两者都垂直于两个平面的交线 方向则共同指向或共同背离这一交线 纯剪切 各个截面上只有剪应力没有正应力的情况称为纯剪切 剪应力互等定理 2 剪切虎克定律 在剪应力的作用下 单元体的直角将发生微小的改变 这个改变量 称为剪应变 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 剪应变 与剪应力 成正比 这个关
5、系称为剪切胡克定律 G 剪切弹性模量 GN m2 各向同性材料 三个弹性常数之间的关系 一 圆轴扭转时横截面上的应力 一 几何关系 1 实验 5 4圆轴扭转时横截面上的应力 观察变形规律 圆周线 形状 大小 间距不变 各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度 纵向线 倾斜了同一个角度 小方格变成了平行四边形 扭转平面假设 变形前的横截面 变形后仍为平面 且形状 大小以及间距不变 半径仍为直线 定性分析横截面上的应力 1 2 因为同一圆周上剪应变相同 所以同一圆周上剪应力大小相等 并且方向垂直于其半径方向 取楔形体O1O2ABCD为研究对象 微段扭转变形dj 二 物理关系 方向垂直于半径 dj d
6、x 扭转角变化率 弹性范围内 三 静力关系 横截面上 抗扭截面模量 整个圆轴上 等直杆 三 公式的使用条件 1 等直的圆轴 2 弹性范围内工作 Ip 截面的极惯性矩 单位 二 圆轴中 max的确定 单位 四 圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp 实心圆截面 空心圆截面 1 强度条件 2 强度条件应用 1 校核强度 5 5扭转变形扭转强度和刚度计算 2 设计截面尺寸 3 确定外荷载 一 扭转强度计算 等截面圆轴 变截面圆轴 例由无缝钢管制成的汽车传动轴 外径D 89mm 壁厚 2 5mm 材料为20号钢 使用时的最大扭矩T 1930N m 70MPa 校核此轴的强度 解 1 计算抗扭截面模量
7、cm3 2 强度校核 满足强度要求 例如把上例中的传动轴改为实心轴 要求它与原来的空心轴强度相同 试确定其直径 并比较实心轴和空心轴的重量 解 当实心轴和空心轴的最大应力同为 时 两轴的许可扭矩分别为 T1 T2 于是有 在两轴长度相等 材料相同的情况下 两轴重量之比等于横截面面积之比 可见在载荷相同的条件下 空心轴的重量仅为实心轴的31 实心轴和空心轴横截面面积为 例图示阶梯状圆轴 AB段直径d1 120mm BC段直径d2 100mm 扭转力偶矩MA 22kN m MB 36kN m MC 14kN m 材料的许用剪应力 t 80MPa 试校核该轴的强度 解 1 求内力 作出轴的扭矩图 T
8、图 kN m BC段 AB段 2 计算轴横截面上的最大剪应力并校核强度 即该轴满足强度条件 T图 kN m 1 扭转变形 相对扭转角 扭转角单位 弧度 rad GIP 抗扭刚度 二 扭转杆的变形计算 扭转变形与内力计算式 1 扭矩不变的等直轴 单位长度的扭转角 2 各段扭矩为不同值的阶梯轴 3 变截面轴 2 单位长度扭转角 3 刚度条件 rad m 0 m 许用单位长度扭转角 4 刚度条件应用 1 校核刚度 3 确定外荷载 2 设计截面尺寸 例题 已知m1 1 5kN m m2 3kN m m3 9kN m m4 4 5kN m 各轮的间距为l1 0 8m l2 1 0m l3 1 2m 材料
9、的 80GPa 0 3 m G 80GPa 1 设计轴的直径D 2 若轴的直径D0 105mm 试计算全轴的相对扭转角 D A 解 1 作扭矩图 2 设计轴的直径 取d 102mm 由刚度条件 由强度条件 3 计算全轴的相对扭转角 D A 例题 一阶梯形圆轴 轴上装有三个皮带轮 轴的直径分别为d1 40mm d2 70mm 已知轮3输入的功率为N3 30kW 轮1输出的功率为N1 13kW 轴作匀速转动 转速n 200r min 若材料的容许剪应力 60MPa G 8 104MPa 轴的容许单位长度扭转角为 2 m 试校核该轴的强度和刚度 例题 已知 空心轴和实心轴材料相同 面积相同 0 5
10、试比较空心轴和实心轴的强度和刚度情况 解 2 比较强度 面积相同 1 确定两轴尺寸关系 3 比较刚度 例题 有一外径为100mm 内径为80mm的空心圆轴 与一直径为80mm的实心圆轴用键相连接 在A轮处由电动机带动 输入功率N1 150kW 在B C轮处分别负载N2 75kW N3 75kW 若已知轴的转速为n 300r min 容许剪应力 45MPa 键的尺寸为10mm l0mm 30mm 其容许应力为 100MPa和 c 280MPa 1 校核空心轴及实心轴的强度 不考虑键槽的影响 2 求所需键数n P 5 6扭转静不定问题 已知 AB阶梯轴两端固定 C处作用外力偶矩Me AC抗扭刚度为
11、G1Ip1 CB抗扭刚度为G2Ip2 求 轴的扭矩 解 1 静力学关系 2 变形几何关系 扭转静不定问题 3 物理关系 解出 5 7非圆截面杆扭转简介 常见的非圆截面受扭杆为矩形截面杆 圆杆扭转时 横截面保持为平面 非圆杆扭转时 平面假设不成立 变形后横截面成为一个凹凸不平的曲面 这种现象称为翘曲 非圆截面杆扭转的分类 自由扭转 纯扭转 各横截面翘曲程度不受任何约束 可自由凹凸 任意两相邻截面翘曲程度相同 约束扭转 由于约束条件或受力限制 造成杆各横截面翘曲程度不同 式中h 矩形截面长边的长度 t 矩形截面短边的长度 a 与截面尺寸的比值h t有关的系数 矩形截面杆自由扭转时 其横截面上的剪应力计算有以下特点 a 截面周边各点处的剪应力方向与周边平行 相切 b 截面角点处的剪应力等于零 c 截面内最大剪应力发生在截面长边的中点处 小结 1 受扭物体的受力和变形特点 2 扭矩计算 符号规定和扭矩图绘制 3 圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算 4 圆轴扭转时的变形及刚度计算 作业5 75 115 135 155 16
