1、 目录摘要3ABSTRACT4前言5微分方程稳定性分析原理6捕鱼业的持续收获模型10种群的相互竞争模型14参考文献18摘要微分方程稳定性理论是微分方程的一个重要的理论。微分方程理论就是通过一些定量的计算来研究系统的稳定性，也就是系统在受到干扰项偏离平衡状态后能否恢复到平衡状态或者是平衡状态附近的位置。用微分方程描述的物质运动的特点依赖于初值，而初值的计算或者测定不可避免的又会出现误差和干扰。如果描述这个系统运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差和干扰都会导致严重的后果。因此，不稳定的特解不适合作为我们研究问题的依据，只有稳定的特解才是我们需要的。本文就一阶微分方程和二阶微分方程的平衡
2、点及稳定性进行了分析，并且建立了捕鱼业持续收获模型和两种群相互竞争模型。【关键词】 微分方程；平衡点；稳定性；数学建模ABSTRACTDifferential equation stability theory is an important theory of differential equations. Differential equation theory is to study the stability of the system by some quantitative calculation, also is the system in the disturbance of
3、deviating from the equilibrium state after the item will return to equilibrium or is near the equilibrium position. Using differential equation to describe the characteristics of the material movement depends on the initial value, and the calculation of initial value or determination of the inevitab
4、le will appear the error and interference. If the special solution of the differential equation describing the system movement is unstable, the initial value of small errors and interference will lead to serious consequences. Therefore, special solution is not suitable for the unstable as the basis
5、of our research question, only stable solution is we need. In this paper, the first order differential equation of second order differential equation and the balance and the stability are analyzed, and the fishing sustained yield model is established and two species and two species competing models.
6、【key words】 Differential equations; Balance; Stability; Mathematical modeling前言在现实世界里，无论是在自然科学或者是社会科学的各领域中，存在着许许多多的变化规律可以用某些特定的数学模型来进行描述。例如我们通过对该数学模型进行定性分析或者是数值模拟，用得到的结果对描述的变化规律给出相应的数学解释，进而为人们跟进一步地理解和认识相对应的现象，或者对某些过程进行控制。但在实际问题中，有时候我们建立数学模型的目的并不是单纯的为了得到事物变化的某一瞬间的形态，而是为了得到在一段相当长的时间后该变化的趋势。就像在某种条件下描述的
7、过程变量会无限地接近某个确定的数值，在某种情况下描述的过程变量会渐渐地偏离该数值出现过程的不稳定。为了分析该种情况下的稳定和不稳定规律，我们可以直接利用微分方程的稳定性理论来研究平衡状态。一微分方程稳定性分析原理1.一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程 （1.1）如果方程等号右端不是显然含有自变量t，我们就称之为自治方程。代数方程 的实根 称为方程式（1.1）的平衡点（奇点）。它也是方程（1.1）的解。 如果存在某个领域，使方程式（1.1）的解 从这个领域的某个点 出发，满足 (1.2)则称平衡点是稳定的（渐进稳定）；否则，称是不稳定的（非渐进稳定）。判断平衡点是否稳定通常使用的方法有两种。利
8、用定义式（1.2）的方法称为间接法。不求方程式（1.1）的因而不方程式（1.2）的方法称为直接法。下面介绍直接法。将在点处作泰勒展开，只取一次项，方程式（1.1）可近似为 (1.3)方程式（3）称为方程式（1）的近似线性方程， 也是方程式（3）的平衡点。关于点稳定有如下结论： （1）.若0 ，则 对于方程式（1.3）和（1.1）都是不稳定的。对于方程式（1.3）的稳定性很容易通过定义式（1.2）证明。记= ，则方程式（3）的一般解为 其中，c是有初始条件确定的常数。显然，当0,q0,则平衡点稳定；（2） 若p0或q0，则平衡点不稳定。表一稳定性条件判定平衡点类型稳定性0,0,稳定结点稳定00,
9、不稳定结点不稳定00鞍点不稳定=0,0,=稳定退化结点稳定=00,=不稳定退化结点不稳定=,0,0,00,o中心不稳定以上是对线性方程式（1.6）的平衡点稳定性的结论，对于一般的非线性方程式（1.4），可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性。在点处将和做泰勒展开，只取一次项，得到非线性方程式（1.4）的近似线性方程。 （1.9） 记系数矩阵为特征方程系数为 显然，点对于近似方程（1.9）的稳定性由表一或者准则（1.1），（1.2）决定，而且得出以下结论，若近似线性方程式（1.9）的特征根不为零或者实部不为零，那么点对于方程式（1.4）的稳定性与对于近似线性方程式（1.9）的稳定性相同，即由准则
10、（1），（2）决定。最后，提出几点注意事项：（1）平衡点及其稳定性的概念只对自治方程和方程式（1.4）才有意义。（2）非线性方程式（1.4）及式（1.7）的平衡点稳定性分别与相对应的近似线性方程式（1.6）和近似线性方程式（1.9）的平衡点稳定性相同,且是在 非临界情况下（或者，）才相同。在临界情况下（或 者，）二者的平衡点稳定性可能不相同。（3）在讨论平衡点稳定性时，对初始点式的要求是存在一个领域，这是局部稳定的定义。如果要求对任意的初始点，方程式（1.5）和方程式（1.8）成立，称为全局稳定。对于线性方程，局部稳定和全局稳定是等价的，对于非线性方程，二者不同。（4）对于临界情况和非线性方程
11、的全局稳定，可以用相轨线分析方法讨论。二捕鱼业的持续收获模型渔业资源是一种可再生资源，再生资源我们也要注意开发利用。我们既不能为了一时高产而竭泽而渔，那样肯定后破坏渔业资源的再生产；反过来，如果我们过分限制了渔业资源的捕捞，又会造成渔业资源的浪费。在一个渔场中，其中的鱼按照自然规律生长。如果捕捞量等于增长量，那么渔场的总量将保持在某一数值上。最佳捕捞量的确定就是本章节研究的内容。模型假设：1.设在t时刻下渔场的鱼量为；2.在无捕捞的条件下鱼量的增长服从Logistic规律。即其中，为固有增长率；为环境的最大容纳鱼量；为单位时间增长量；3.单位时间的捕捞量与渔场鱼量成正相关，比例系数称为捕捞强度
12、： 模型建立（产量模型）：根据以上假设，我们可以得出捕捞情况下渔场鱼量的一个微分方程，记为： （2.01）我们关心的是k在取何值的时候才能保证在渔业稳定的情况下获得最大持续产量。为此我们可以直接求出方程式（2.01）的平衡点并分析其稳定性。模型求解：令，得到两个平衡点： ，。 （2.02）可以算出，则 ，所以1.若，有0；则点稳定，点不稳定。2.若，有0，1，那么在消耗供养种群A的生物资源中，种群B消耗的多于种群A消耗的，故而种群B对种群A的阻滞作用大于种群A本身对于自己的阻滞作用，即种群B的竞争力强于种群A；如果1，那么在消耗供养种群B的生物资源中，种群A消耗的多于种群B消耗的，故而种群A对
13、于种群B的阻滞作用大于种群B本身对于自己的阻滞作用，即种群A的竞争力强于种群B。由于，b之间没有确切的数量关系，故我们认为两个种群在消耗资源中对物种A的阻滞作用和对物种B的阻滞作用是相同的。因为单位数量的种群A和B消耗的供养种群A的生物资源的比为1:，消耗供养种群B的生物资源的比为:1，阻滞作用相同即1:=:1，我们可以定量表示为 =1我们假设=100，=100，=2，=0.5，=3，=2，=10，=10，运用MATLAB编程如下：function dx=shier(t,x,r1,r2,N1,N2,a,b) N1=100,N2=100,a=2,b=0.5,r1=3,r2=2;dx=r1*x(1
14、)*(1-x(1)/N1-a*x(2)/N2);r2*x(2)*(1-b*x(1)/N1-x(2)/N2);ts=0:0.1:15; x0=10,5;t,x=ode45(shier,ts,x0);t,xplot(t,x), grid,gtext(x1(t),gtext(x2(t)pause,plot(x(:,1),x(:,2), grid,xlabel(x1),ylabel(x2) 得出图像如下所示： 图表（2） 图表（3）稳定性分析：根据方程式（3.01）和方程式（3.02）求解代数方程组 （3.03）得到四个平衡点：， 因为平衡点只有在平面坐标系第一象限的时候,才具有实际的意义，故而对于而
15、言则同时小于1，或者大于1。根据种群竞争模型的平衡点及稳定条件：稳定条件不稳定 我们可以看出只有点是稳定的，故而两种群竞争必然会有一个灭亡。参考文献1.冯杰，黄力伟.数学建模原理与案例北京：科学出版社，20072.王春程，苏颖.微分方程建模与分析北京：科学出版社，20143.张锦炎.常微分方程几何理论与分支问题北京：北京大学出版社，19874.王定江.应用偏微分方程浙江：浙江大学出版社20075.何正风.MATLAB在数学方面的应用北京：清华大学出版社，20126.王景艳，杨艳丽.微分方程的平衡点及稳定性分析文章编号：1674-9340（2010）02-052-037.孙国祥.微分方程稳定性在数学模型中的应用文章编号：1008-830X（2012）040374-058.冯立邱.对常微分方程的稳定性分析辽宁省阜新市细河区职业教育中心18
