1、Comment w1: 删除基于偏微分方程的图像平滑方法的研究作者姓名：刘洋 专业班级：信息与计算科学 2008070201 指导教师：王茂芝摘 要在信息化的社会里，图像在信息传播中所起的作用越来越大。所以，消除在图像采集和传输过程中而产生的噪声，保证图像受污染度最小，成了数字图像处理领域里的重要部分，图像平滑作为图像处理中的重要环节，也逐渐受到人们的关注，图像平滑的目的主要是消除噪声。本文详细介绍了图像平滑的发展，图像平滑方法按空间域和频率域的分类及各种方法的特点，由于传统的这些方法在去噪的同时会破坏图像的重要特征从而引出了基于偏微分方程的图像平滑方法。首先介绍图像处理应用时的常用函数及其用
2、法；其次详细阐述了几种去噪算法原理及特点；最后运用 Matlab软件对一张含噪图片（含高斯噪声或椒盐噪声）进行仿真去噪，本文分别从各向同性扩散方程和各向异性扩散方程对基于偏微分方程的图像平滑方法进行研究，进一步完善图像平滑方法，以达到平滑效果更理想的目的。关键词：图像平滑；偏微分方程；各向同性扩散；各向异性扩散Comment w2: image smoothing method research based on partial differential equations Based on partial differential equations for image smoothing
3、methodAbstract In the information society, the role of image in the dissemination of information. Therefore, to eliminate the noise in the image acquisition and transmission process to ensure that an important part of the image contaminated minimum, has become the field of digital image processing,
4、image smoothing as an important link in image processing, but also gradually by the attention, smooth the image main purpose is to eliminate noise.This paper describes the development of image smoothing, image smoothing method according to the classification of the space and frequency domains and th
5、e characteristics of the various methods, these methods due to the traditional denoising will also undermine the image of the important characteristics which leads based on partial differential equationsimage Smoothing Method. First introduced the common functions and their usage in image processing
6、 applications; elaborated the principle and characteristics of several denoising algorithm; Matlab software on a noisy image (with Gaussian noise or salt and pepper noise) simulation denoising In this paper, research from the isotropic diffusion equation and anisotropic diffusion for image smoothing
7、 method based on partial differential equations, and further improve the image smoothing method in order to achieve the purpose of better smoothing effectKey words: Image smoothing; partial differential equations; isotropic diffusion; anisotropic diffusion目 录第 1 章 前 言 11.1 课题研究背景 11.2 图像平滑的研究现状 21.2
8、.1 领域平均法 21.2.2 低通滤波法 31.2.3 多图像平均法 41.2.4 中值滤波法 41.2.5 各向同性扩散方程 61.2.6 各向异性扩散方程 61.3 本文的研究目标和主要内容 7第 2 章 偏微分方程基础知识 82.1 偏微分方程的导出与定解 82.1.1 偏微分方程的概念 82.1.2 几个典型的数学物理方程 82.1.3 初边值问题 92.2 热传导方程初值问题的求解 122.3 二阶偏微分方程的分类与化简 132.3.1 二阶偏微分方程的分类 132.3.2 二阶偏微分方程的化简 152.4 与图像处理有关的偏微分方程的例子 15第 3 章 图像的基本知识 173.
9、1 图像介绍 173.1.1 图像概述 173.1.2 图像分类 183.2 静态灰度图像的数学模型 183.2.1 静态灰度图像的连续模型 183.2.2 灰度图像的离散模型 203.3 静态彩色图像的数学模型 203.3.1 静态灰度图像的连续模型 203.3.2 彩色图像的数学模型 203.4 动态图像的数学模型 213.5 数字图像的采集 213.6 图像格式 23第 4 章 数字图像处理的基本知识 274.1 数字图像处理的概述 274.1.1 数字图像处理技术的发展 274.1.2 数字图像处理技术的流程 274.1.3 低层图像处理 284.2 滤波和滤波器 294.3 图像增强
10、算法 304.3.1 平滑空间滤波 304.3.2 锐化空间滤波 304.4 图像还原算法 314.4.1 噪声模型 314.4.2 去噪算法 32第 5 章 基于偏微分方程的图像平滑 345.1 偏微分方程的概述 345.2 基于偏微分方程的图像平滑处理 345.2.1 各向同性扩散方程 355.2.2 各向异性扩散方程 375.3 图像平滑的实验分析 385.3.1 传统图像平滑方法分析 385.3.2 偏微分方程图像平滑方法分析 42结 论 48致 谢 50参考文献 51第 1 章 前 言1.1 课题研究背景21 世纪，人类已经进入了信息化时代，计算机在处理各种信息中发挥着重要作用。据统
11、计，人类从自然界获取的信息中，视觉信息占 75%85%。俗话说“百闻不如一见 ”，有些场景或事物，不管花费多少笔墨都难以表达清楚，然而，若用一幅图像描述，可以做到一目了然。可见，在当代高度信息化的社会中，图形和图像在信息传播中所起的作用越来越大，在图像处理领域，数字图像处理得到了飞速发展。早期由于图像处理领域涉及的数学理论较浅，尽管图像处理与分析与计算机科学有很强的联系，但在相当长的一段时间里一些在特定条件下的算法的正确性没有得到很好的证明，图像处理研究的进展不大。近年来由于该领域研究者数学功底的增强，同时，由于该领域的巨大市场需求吸引了越来越多的数学工作者的加入。使该领域得到了前所未有的发展
12、。图像增强、图像恢复和图像分割是图像处理与分析中的主要问题，对图像进行平滑和边缘检测等处理是常用的方法；然而，图像的平滑和边缘的保持是一对矛盾的关系；图像的低通滤波在降噪的同时模糊的图像的边界。而人对图像的高频部分（边缘细节）是很敏感的，图像的大部分信息存在于边缘和轮廓部分。传统的滤波和边缘检测方法难以处理这类问题。由于基于 PDEs 的图像处理方法在平滑噪声的同时可以使边界得到保持，因此在图像处理中得到广泛的运用。基于偏微分方程的图像处理是图像处理领域中的一个重要分支，这方面的研究工作可从 Nagao,rudin 等关于图像光滑和图像增强的研究以及 Koenderink对于图像结构的探索。图
13、像处理中的两个分支直接影响到了这个学科的最终形成。第一是图像分割，它实际上的是为了把真实世界中的物体从图像中分离出来，同时得到真就的边界。其中 Mumford-Shah 模型是较为常用的方法。具体算法略。第二是图像滤波，它是所有图像处理方法的前奏。1984 年，Koenderink 发现了图像信号经过高斯滤波后的结果与热传导方程存在一定的联系。图像滤波需要两个限制条件：对比度不变和仿射不变，满足的偏微分方程只有一个，所谓的 AMSS 方Comment w3: 邻域程。基于偏微分方程的图像处理应用范围几乎覆盖要整个图像处理领域，包括图像识别、图像分割、图像重建、图像边缘提取、图像检索、医学图像处
14、理、彩色图像处理、动态图像分析等。有的研究甚至用到了视觉哲学等的一些结论。一方面，这个领域的发展在应用领域不断拓展，另一方面随着本学科的发展，人们试图用严格的数学理论对现存的图像处理方法进行改造。基于偏微分方程的图像处理在使用偏微分方程理论的同时也推动了偏微分方程理论的以展。我国的研究人员在这个领域关注的比较晚，从 20世纪 90年代到现在也取得了很多骄人的研究成果。1.2 图像平滑的研究现状图像平滑也称为图像去噪，是图像处理中的重要环节，它极大地影响着后继处理的结果。抑制或消除这些噪声而改善图像质量的过程称为图像的平滑。图像平滑的目的是为了消除噪声。图像噪声的来源有三：一为在光电、电磁转换过
15、程中引入的人为噪声；二为大气层电（磁）暴、闪电、电压、浪涌等引起的强脉冲性冲激噪声的干扰；三为自然起伏性噪声，由物理量的不连续性或粒子性所引起，这类噪声又可分成热噪声、散粒噪声等。一个较好的去除噪声的方法应该是既能消除噪声又不使图像的边缘轮廓和线条变模糊,即在抑制噪声的同时有效地保持空间分辨率。图像平滑作为图像处理的重要环节，平滑质量的好坏直接影响到后继处理和分析的结果。通过观察噪声图像、考察图像的噪声模型可以知道不必要的细节和一些不光滑的现象，图像平滑算法可以去除图像中原本没有的、由噪声所带来的细节。图像平滑的方法有很多，亦可以分为空间域或频率域，亦可以分为全局处理或局部处理，亦可以按线性平
16、滑、非线性平滑和自适应平滑来区别。下面介绍几种简单的图像平滑的方法.1.2.1 领域平均法邻域平均法是一种局部空间域处理的算法。设一幅图像 为 )(yxf， NM的阵列，平滑处理后得到的图像为 , 由式（1.1）决定)(yxg， ，(1.1) snmfMyxg,),(1),(式中的 =0 , 1 , 2 ， , 点邻域中心点的坐标的集合， )(1yxSN，是，但不包括点 ， 内坐标点的总数。平滑化的图像 的每个像素)(yx， S是 )(yxg，的灰度值由包含在 的预定邻域中的 的几个像素的灰度值的平均， )(yxf，值所决定。以上方法简单，计算速度快，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像产生
17、模糊，邻域越大，模糊越厉害。为了减少这种效应，可以采用阈值法。当一些点和它的邻域内点的灰度的平均值的差不超过规定的阈值时，就仍然保留其原灰度值不变，如果大于阈值时就用它们的平均值来代替该点的灰度值。这样平滑后的图像会比邻域平均法模糊度减少。 1.2.2 低通滤波法这是一种频域处理法。在分析图像信号的频率特性时，对于一幅图像，它的边缘、跳跃部分以及噪声都代表图像的高频分量，而大面积的背景区和慢变部分则代表图像的低频分量，用频域低通滤波法除去其高频分量就能去掉噪声，从而使图像得到平滑。利用卷积定理，可以写成以下形式)()()(vuFHvuG， （1.2）其中 是含噪图像的傅里叶变换， 是平滑后图像
18、的傅里叶变)(F， )(G，换， 是传递函数。利用 使 的高频分量得到衰减，得到vuH， )(vu， F，后再经过反变换就得到所希望的平滑图像 了。)(G， )(vug，)(yxf， ),(vuF),(G),(vug图 1-1 低通滤波平滑图像的处理框图T线性滤波器 ),(VUHIFT由于傅里叶变换的性质决定，这种平滑的方法在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象。1.2.3 多图像平均法如果一幅图像包含有加性噪声，这些噪声对于每个坐标点是不相关的，并且其平均值为零，在这种情况下就可能采用多图像平均法来达到去掉噪声的目的。设 为有噪声图像 ， 为噪声， 为原始图像， 可)(yxf， ),(yx
19、n),(yxg),(yxg用（1.3）式表示：(,)(,)(,)fg（1.3）多图像平均法是把一系列有噪声的图像 叠加起来，然后再取平均),(yxf值以达到平滑的目的。当做平均处理的含噪声图像数目增加时，其统计平均值就越接近原始无噪声图像。这种方法在实际应用中的最大困难在于把多幅图像配准起来，以便使相应的像素能正确地对应排列。1.2.4 中值滤波法（1）对某些输入信号中值滤波的不变性对某些特定的输入信号，如在窗口内单调增加或减少的序列，中值滤波输出信号仍保持输入信号不变，即： 或niini fff，则 。 niini fff iiy33 方形窗口中值滤波 51051 5133 方形窗口中值滤波
20、 010010 000033 方形中值滤波 1155181551 1155115511(a) 原始图像 (b)中值滤波输出图 1.1 中值滤波不变性示例二维中值滤波的不变性如图 1.1 所示。它不但与输入信号有关，而且还与窗口形状有关。一般与窗口对顶角连线垂直的边缘线保持不变性。利用这个特点，可以使中值滤波既能去除图像中的噪声，又能保持图像中一些物体的边缘。对于一些周期性的数据序列，中值滤波对此序列保持不变性。例如，下列一维周期性的数序列 ,1,1,if若设窗口长度为 9，则中值滤波对此序列保持不变性。对于二维周期序列不变性，如周期网状结构图案，分析起来就更复杂了，可以通过试验改变窗口形状和尺
21、寸来获取。（2）中值滤波去噪声性能对于零均值正态分布的噪声输入，中值滤波输出的噪声方差 近似为2med（1.4）21)(4122 mfimed式中： 为输入噪声功率（方差） ， 为中值滤波窗口长度（点数） ， 为2imm输入噪声均值， 为输入噪声密度函数。)(mf而均值滤波的输出噪声方差 为20201i（1.5）比较两公式，可以看出，中值滤波的输出与输入噪声的密度分布有关。对随机噪声的抑制能力，中值滤波比均值滤波要差一些。但对脉冲干扰，特别是脉冲宽度小于 m/2、相距较远的窄脉冲干扰，中值滤波的效果较好。（3）中值滤波的频谱特性设 G 为输入信号频谱，F 为输出信号频谱，定义中值滤波的频率响应
22、特性为（1.6） 试验表明，中值滤波频谱特性起伏不大，其均值比较平坦。可以认为信号经中值滤波后，频谱基本不变。这一特点对设计和使用中值滤波器很有意义。1.2.5 各向同性扩散方程传统的图像平滑算法如均值滤波、中值滤波和高斯滤波等,由于不考虑图像的形状特征,其平滑结果等价于传导系数为常量的热扩散方程,属于各向同性扩散。如果图像中存在某种杂质，并且期浓度分布不均匀，这时，杂质将从浓度较高的区域向浓度较低区域迁移，这种迁移过程在物理学了称之为扩散；类似地，当介质中的温度分布不均匀时，将发生热量从温度较高的区域向温度较区域的迁移过程，称之为热传导。若以函数 表示浓度随空间和时间)(tzyxu，的变化，那么空间分布的不均匀性用梯度 来刻画，于是可以将杂质在宏观上的定向迁移，看成是由梯度产生的作用力- 所推动的，这里负号表示作用力指向u值减小的方向。FGH
