1、实变函数与泛函分析第四章习题1-18第四章习题第一部分(1-18)1. 在R1中令r1(x, y) = (x - y)2，r2(x, y) = | x - y |1/2，问r1, r2是否为R1上的距离？解显然r1, r2满足距离空间定义中的非负性和对称性但r1不满足三角不等式：取点x = -1, y= 0, z = 1，则r1(x, z) = 4 2 = r1(x, y) + r1(y, z)，所以r1不是R1上的距离。而x, y, zR1，r2(x, y) = =r2(x, z) + r2(z, y)；所以r2是R1上的距离2. 设(X, r)是距离空间，令r1(x, y) = ，x, y
2、X证明(X, r1)也是距离空间证明显然r1满足距离空间定义中的非负性和对称性，故只需证明r1满足三角不等式即可实际上x, y, zX，3. 设(X, r)是距离空间，证明| r(x, z) - r(y, z) | r(x, y)，x, y, zX；| r(x, y) - r(z, w) | r(x, z) + r(y, w)，x, y, z, wX证明x, y, z, wX，由三角不等式有- r(x, y) r(x, z) - r(y, z) r(x, y)，故第一个不等式成立由第一个不等式可直接推出第二个不等式：| r(x, y) - r(z, w) | | r(x, y) - r(y,
3、z) | + | r(y, z) - r(z, w) | r(x, z) + r(y, w)4. 用Cauchy不等式证明(| z1 | + | z1 | + . + | zn | )2 n(| z1 |2 + | z1 |2 + . + | zn |2 )证明在P159中的Cauchy不等式中令ai = | zi |，bi = 1，i = 1, 2, ., n即可5. 用图形表示Ca, b上的S(x0, 1)注我不明白此题意义，建议不做6. 设(X, d)是距离空间，A X，int(A)表示A的全体内点所组成的集合证明int(A)是开集证明若A = ，则int(A) = ，结论显然成立若A
4、，则x A，$r 0使得S(x, r) A对y S(x, r)，令s = r - d(x, y)，则s 0，并且S(y, s) S(x, r) A；所以y int(A)故S(x, r) int(A)，从而int(A)是开集7. 设(X, d)是距离空间，A X，A 证明：A是开集当且仅当A是开球的并证明若A是开球的并，由于开球是开集，所以A是开集若A是开集，xA，存在r(x) 0，使得S(x, r(x) A显然A = xA S(x, r(x)8. 举例说明对于一般的距离空间X，并不是总有，xX，r 0例设X = a, b，定义d : X X R为d(a, a) = d(b, b) = 0，d(
5、a, b) = 1则(X, d)是距离空间当r = 1时，不论x为a还是b，总有9. 设(X, d)是距离空间，证明：，证明由于，故由于和都是闭集，所以也是闭集，所以另一方面，由，得，所以；这样就证明了第一个等式由得，所以。10. 证明：距离空间中的闭集必为可列个开集的交，开集必为可列个闭集的并证明由开集与闭集的关系，实际上我们只需证明第一部分即可设(X, d)是距离空间，A X，A是闭集若A = 则结论显然成立，下面设A nN+，定义An = xA S(x, 1/n)，则An是开集，且A An因此An An若x A，则由于A是闭集，$NN+，使得S(x, 1/N) A = ；即x AN，所以
6、xn An这样就证明了A = n An因此距离空间中的闭集必为可列个开集的交11. 设(X, d)是距离空间，是基本列，且有收敛子列证明证明，由于是基本列，存在自然数，当时由于子列，存在自然数，当时，且当时，因，故，从而12. 设在非空集合X上定义了两种距离和，且存在正数和，使得对任意的x, y X总有a d1(x, y) d(x, y) b d1(x, y)证明：在距离空间(X, d)和(X, d1)中，基本列与收敛点列是共同的并举出这种空间的例子证明设 xn 是(X, d)中的基本列，则对e 0，$NN+，当m, n N时d(xm, xn) ae此时有d1(xm, xn) d(xm, xn
7、)/a ae /a = e，所以 xn 也是(X, d1)中的基本列相反方向的证明是类似的关于收敛点列的证明与关于基本列的证明类似一个简单的例子就是在至少两个点的距离空间(X, d)中定义新的距离d1，使得d1 = 2d13. 设X是正整数集合，令d(x, y) = | x y |，证明(X, d)是完备距离空间证明首先从距离定义看，(X, d)实际上是R1的子空间，当然是距离空间因R1是完备的，而X又是R1中闭集，所以(X, d)是完备距离空间14. 设X是正整数集合，令d(x, y) = | 1/x 1/y |，证明(X, d)不是完备距离空间证明首先直接验证可知(X, d)是距离空间nN
8、+，设xn = n则 xn 是(X, d)中的基本列若 xn 收敛于x X，则d(xn, x) 0，即| 1/xn 1/x | 0 (当n 时)由此推出1/x = 0，而这是不可能的所以基本列 xn 不收敛，因此(X, d)不是完备距离空间15. 证明：离散距离空间(X, d)是完备距离空间证明设是(X, d)中的基本列，则存在自然数，当时由离散距离空间定义知，所以应有；即从项开始为常序列，因此必为收敛列所以(X, d)是完备距离空间。16. 证明：c是可分的完备距离空间证明首先证明c是完备距离空间设是基本列，存在自然数，当时记，则，（）可见对，数列是中的基本列，因此设，并记显然当时，有，取则
9、有由于是收敛列，存在使得当时，此时故是中的基本列，所以由前面可见，存在自然数，当时有，故有，即，所以基本列是收敛的下面证明c是可分的在c中，令则A显然为可数集，且A在c中稠密，所以c是可分的17. 证明：s是可分的完备距离空间证明首先证明s是完备距离空间设是基本列，存在自然数，当时记，容易看出，数列是中的基本列，因此设，并记注意，故 (对任意自然数)令得到，(对任意自然数)所以有即基本列是收敛的下面证明s是可分的在s中构造A如下：显然A为可数集，且A在s中中稠密，所以s是可分的18. 从集合的角度看，m s，但s是可分的而m不是可分的，这能给我们什么启迪？答距离空间的可分性除了依赖于集合本身外，更重要的是依赖于集合上所给出的距离，仅对集合而言是谈不到什么可分不可分的4
