1、 考 点考 情三角函数的图像1.对三角函数图像的考查主要是平移、伸缩变换，或由图像确定函数的解析式，如2013年四川T5，山东T5等.2.三角函数的性质是考查的重点，可以单独命题，也可与三角变换交汇，综合考查三角函数的单调性、周期性、最值等另外由性质确定函数的解析式也是高考考查的重点，如2013年江西T11，新课标全国卷T15等.三角函数的性质求函数的解析式求三角函数的值域或最值1(2013山东高考)将函数ysin(2x)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为()A.B.C0 D解析：选B把函数ysin(2x)的图像向左平移个单位后，得到的图像的解析式是ysin
2、，该函数是偶函数的充要条件是k，kZ，根据选项检验可知的一个可能取值为.2.(2013四川高考)函数f(x)2sin(x)的部分图像如图所示，则，的值分别是()A2， B2，C4， D4，解析：选A因为，所以2.又因为22k(kZ)，且0，0)(2)ysin x ysin x ysin(x) yAsin(x)(A0，0).热点一三角函数的概念、基本关系式和诱导公式例1 (1)已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为()A.B.C. D.(2)若3coscos()0，则cos2sin 2的值是_自主解答(1)sin0，cos0，又cos ，所以m.答案：2已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的
3、正半轴重合，终边上一点P(4,3)，则的值为_解析：原式tan .根据三角函数的定义，得tan ，所以原式.答案：热点二yAsin(x)(A0，0)的图像与解析式例2 (1)(2013济南模拟)已知函数f(x)Msin(x)(M，是常数，M0，0,0)的部分图像如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么f(1)()A2B1C2 D1或2(2)(2013海口模拟)将函数ysin x(0)的图像向左平移个单位，平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应的函数解析式为()AysinBysinCysinDysin自主解答(1)由图可知M2.因为A，B两点分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，设A(x
4、1,2)，B(x2，2)，因为|AB|5，所以5，解得|x2x1|3.因为A，B两点的横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半，即3，T6，所以6，解得.因为f(0)1，所以2sin 1，解得sin .因为0，所以或.结合图像，经检验，不合题意，舍去，故.所以f(x)2sin.故f(1)2sin2sin2.(2)函数ysin x(0)的图像向左平移个单位后对应的函数解析式为ysin sin，又因为f1，由图可得，解得2，所以平移后的图像对应的函数解析式为ysin.答案(1)C(2)C规律总结根据三角函数图像确定解析式应注意的问题在利用图像求三角函数yAsin(x)的有关参数时，注意直接从图中观察振
5、幅、周期，即可求出A、，然后根据图像过某一特殊点求，若是利用零点值来求，则要注意是xk(kZ)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱3.已知函数f(x)Acos(x)的图像如图所示，f，则f()A BC. D.解析：选A由图知，T2，所以fff.4.已知函数f(x)Acos(x)(A0，0,0)为奇函数，该函数的部分图像如图所示，EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为()A BC. D解析：选D由函数是奇函数，且00)个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为()A. B.C.D.(2)(2013皖南八校联考)已知函数f(
6、x)2cos(x)(0)的图像关于直线x对称，且f0，则的最小值为()A2 B4C6 D8自主解答(1)由定义知f(x)cos xsin x2cos，将其图像向左平移n个单位后得到y2cos的图像，要使该函数为偶函数，应有nk(kZ)，即nk(kZ)，因此，当k1时，n取得最小值.(2)由题意知k1，k2，其中k1，k2Z，两式相减可得4(k2k1)2，又0，易知的最小值为2.答案(1)C(2)A在本例(1)中，把“偶函数”改为“奇函数”，如何选择？解析：选B若平移后所得图像对应的函数为奇函数，则nk，即nk，kZ.n的最小值为. 规律总结1奇偶性的三个规律(1)函数yAsin(x)是奇函数k
7、(kZ)，是偶函数k(kZ)；(2)函数yAcos(x)是奇函数k(kZ)，是偶函数k(kZ)；(3)函数yAtan(x)是奇函数k(kZ)2对称性的三个规律(1)函数yAsin(x)的图像的对称轴由xk(kZ)解得，对称中心的横坐标由xk(kZ)解得；(2)函数yAcos(x)的图像的对称轴由xk(kZ)解得，对称中心的横坐标由xk(kZ)解得；(3)函数yAtan(x)的图像的对称中心由x(kZ)解得5若函数ycos(N*)的一个对称中心是，则的最小值为()A1 B2C4 D8解析：选Bcos0，k(kZ)，26k，又N*，的最小值为2.6若函数f(x)Asin(A0)满足f(1)0，则(
8、)Af(x2)一定是奇函数 Bf(x1)一定是偶函数Cf(x3)一定是偶函数 Df(x3)一定是奇函数解析：选D由于函数周期为4，又由f(1)0可知(1,0)为函数f(x)图像的一个对称中心，且f(x3)的图像是由函数f(x)的图像向右平移3个单位所得，故函数f(x3)图像的一个对称中心为(4,0)，又函数周期为4，故(0,0)也是函数f(x3)图像的一个对称中心，即图像关于原点对称，故函数f(x3)为奇函数.热点四三角函数的周期性、单调性与最值例4 (1)(2013沈阳模拟)函数f(x)Asin(x)(A0，0)的图像在上单调递增，则的最大值是()A.B.C1 D2(2)设aR，f(x)co
9、s x(asin xcos x)cos2满足ff(0)，则函数f(x)在上的最大值和最小值分别为_，_.自主解答(1)因为A0，0，所以f(x)Asin(x)的递增区间满足2kx2k(kZ)，即x(kZ)，所以(kZ)，解得即1，所以的最大值为1.(2)f(x)asin xcos xcos2xsin2xsin 2x.由ff(0)，得1，解得a2.因此f(x)sin 2xcos 2x2sin，由x，可得2x.当x时，2x，f(x)为增函数；当x时，2x，f(x)为减函数，所以f(x)在上的最大值为f2.又f，f，故f(x)在上的最小值为f.答案(1)C(2)2在本例(2)中，求函数f(x)的最小
10、正周期及单调递减区间解：f(x)2sin，f(x)的最小正周期为T.由2k2x2k(kZ)，得kxk，(kZ)，函数f(x)的单调递减区间为，(kZ) 规律总结三角函数的单调性、周期性及最值的求法(1)三角函数单调性的求法：求形如yAsin(x)(或yAcos(x)(A、为常数，A0，0)的单调区间的一般思路是令xz，则yAsin z(或yAcos z)，然后由复合函数的单调性求得(2)三角函数周期性的求法：函数yAsin(x)(或yAcos(x)的最小正周期T.应特别注意y|Asin(x)|的周期为T.(3)三角函数值域的求法：在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合正弦函数
11、性质可得函数f(x)的最值7设函数f(x)cos(xR)，则f(x)()A在区间上是增函数B在区间上是增函数C在区间上是增函数D在区间上是减函数解析：选A依题意，f(x)f(x)，函数f(x)是偶函数，注意到函数f(x)在上是减函数，因此f(x)在上是增函数.一、选择题1函数y2cos21是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的非奇非偶函数解析：选A因为ycossin 2x，所以是最小正周期为的奇函数2设函数f(x)sin，则下列结论正确的是()A函数f(x)的图像关于直线x对称B函数f(x)的图像关于点对称C把函数f(x)的图像向左平移个单位，
12、得到一个偶函数的图像D函数f(x)的最小正周期为，且在上为增函数解析：选C由对称轴为xk(kZ)，可知选项A不正确；将代入函数表达式，经检验f0，选项B不正确；经过选项C中平移后解析式f(x)sinsincos 2x，因为cos 2x为偶函数，所以该选项正确；当x时，2x，此时函数f(x)不单调，故选项D不正确3.(2013日照模拟)已知函数f(x)Asin(x)的部分图像如图所示，则的值为()A2B3C4 D5解析：选B由图像可知函数的最大值为2，故A2，由f(0)，得sin ，而|，即T，故00，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C.D.解析：选A通过取特殊值2、
13、1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果令2x，不合题意，排除D；1x，符合题意，排除B，C.5函数f(x)sin(x)的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后所得图像对应的函数为奇函数，则函数f(x)的图像()A关于点对称B关于点对称C关于直线x对称D关于直线x对称解析：选Cf(x)sin(x)的最小正周期为，则2，即f(x)sin(2x)向右平移个单位后，所得函数为g(x)sinsin，又因为g(x)为奇函数，|0，排除C；yxcos xsin x为奇函数；图像关于原点对称，排除B；当x时，y0，所以mmin.9(2013海口模拟)已知函数f(x)|sin x|的图像与直线ykx(k
14、0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为，则等于()Acos Bsin Ctan D tan 解析：选D数形结合可知，函数f(x)|sin x|的图像与直线ykx(k0)有且仅有三个公共点时，必在内相切，且其切点为(，sin )，.当x时，f(x)sin x，f(x)cos x，kcos ，即tan .10已知函数f(x)Asin(x)，xR的周期为，且图像上一个最小值点为M.当x时，函数f(x)的最大值与最小值的和为()A1 B2C1 D.解析：选A由最小值点为M，得A2.由T，得2.由点M在函数图像上，得2sin2，即sin1，2k，即2k，kZ.又，f(x)2sin.x，2x
15、，1f(x)，f(x)的最大值与最小值的和为1.二、填空题11已知函数ysin(x)(0,0)为偶函数，其部分图像如图所示，A，B分别为最高点与最低点，并且A，B两点间距离为2，则、的值分别是_解析：因为ysin(x)是偶函数，又0，所以.设函数的周期为T，由图可知212()2，所以T8，于是T8，得.答案：，12在内有两个不同的实数满足cos 2xsin 2xk1，则实数k的取值范围是_解析：方程cos 2xsin 2xk1，即2sink1，sin.由x，可得2x，根据方程在上述区间内有两个解，可得1，即得0k0，0)的图像与直线yb(0bA)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f(x
16、)的单调递增区间是_解析：如图x3，x6是yAsin(x)的对称轴，周期T6，单调递增区间为6k,6k3，kZ.答案：6k,6k3，kZ15(2013兰州模拟)定义一种运算ab令f(x)(cos2xsin x).当x时，函数f的最大值是_解析：依题意得，当x时，ycos2sinsin2xcos xcos2xcos x12的值域是1,1，此时函数f的值域是1,1，所以f的最大值是1.答案：116存在使sin cos ；存在区间(a，b)使ycos x为减函数且sin x0；ytan x在其定义域内为增函数；ycos 2xsin既有最大、最小值，又是偶函数；ysin 的最小正周期为.以上命题错误的为_(填序号)解析：当时，sin cos 1，故错；若ycos x为减函数，则x2k，2k，kZ，此时sin x0，故错；当x分别取，2时，y都是0，无单调性，故错；ycos 2xsin2cos2xcos x1，既有最大、最小值，又是偶函数，故对；ysin 的最小正周期为，故错答案：
