1、信号与系统 信号与系统的时域分析 信号的自变量变换 自变量变换的综合应用 时移 尺度变换 时间反转 基本的连续和离散时间信号 离散时间信号的周期性问题 系统的基本性质 重点掌握线性 时不变性 因果性和稳定性 掌握从时域的角度分析LTI系统的因果性和稳定性 信号的时域分解及卷积算法 掌握信号的单位冲激函数表示 利用LTI系统的性质导出卷积公式 掌握卷积运算 因果LTI系统的数学模型 系统的微分方程 差分方程表示 初始松弛条件 FIR和IIR系统的概念 信号与系统的频域分析 LTI系统的特征函数与特征值 掌握特征值与特征函数的概念 复指数信号是LTI系统的特征函数的证明方法 信号的频域分析 周期信
2、号的傅立叶级数表示 离散周期信号傅立叶级数系数的特点 连续时间信号的傅立叶变换 系统的频域分析 由微分方程求解稳定LTI系统的频率响应函数 从频域的角度分析系统对信号的作用 信号的采样与恢复 采样信号的频谱 采样信号无失真恢复的条件 信号与系统的复频域分析 s变换和z变换 掌握变换的定义 收敛域的确定 收敛域性质 变换基本性质 基本变换对以及反变换的求解 用s变换和z变换分析LTI系统 由微分方程和差分方程求解系统函数 系统稳定性和因果性的判断 由零极点图对傅里叶变换进行几何求解 在保持系统幅频特性不变的情况下 如何改变系统的极点 使之满足因果稳定的条件 由零极点图确定系统的幅频特性 因果LT
3、I系统的方框图表示 直接型 级联型 并联型 单边s变换和z变换 s变换微分性质和z变换时间延迟性质的推导 具有非零初始条件的LTI系统零输入响应和零状态响应的求解 信号的自变量变换 时移 时间反转 时间尺度变换 f 2t 信号与系统的时域分析 信号自变量变换综合应用 压缩 平移 反折 方法一 平移x t 2 压缩x 2t 2 反折x 2t 2 由x t 绘出x 2t 2 基本的连续和离散时间信号 指数信号 特征函数 特征函数 指数信号和正弦信号的关系 欧拉公式 正弦信号用同周期复指数信号表示 指数信号的周期性问题 是周期的 基波周期为T0 单位阶跃信号和单位冲激信号 掌握单位阶跃信号和单位冲激
4、信号的关系 单位冲激信号的采样性质和筛选性质 系统的基本性质 时不变性 若系统特性不随时间而改变 则该系统就是时不变的 齐次性 若x t y t 则ax t ay t 可加性 若x1 t y1 t x2 t y2 t 则x1 t x2 t y1 t y2 t 线性 因果性 一个系统 在任何时刻的输出只决定于现在以及过去的输入 则称该系统为因果系统 稳定性 一个稳定系统 若其输入是有界的 则系统的输出也必须是有界的 对任意一个有界的输入 输出有界 LTI系统满足因果性的充要条件是 LTI系统稳定的充要条件是 信号的时域分解及卷积算法 信号的时域分解 卷积和 卷积积分公式的导出 从信号的时域分解及
5、系统的线性性和时不变性着手导出卷积公式 卷积运算 通过练习熟悉卷积运算 即 卷积和公式的导出 时间序列可表示为 由线性系统的可加性可得 即 卷积积分公式的导出 时间信号可表示为 由线性系统的可加性可得 卷积运算 第一部分重点要求掌握的内容 分段法计算卷积积分的步骤 换元 t换成 反折 将h 波形反折为h 扫描 移动h t t0右移 分时段 确定积分段 定积分函数和积分限 计算积分值 分段法计算卷积和的步骤与卷积积分相似 利用卷积性质在某些情况下可以简化卷积计算 因果LTI系统的数学模型 连续因果LTI系统 线性常系数微分方程 初始松弛条件离散因果LTI系统 线性常系数差分方程 初始松弛条件 信
6、号与系统的频域分析 LTI系统的特征函数与特征值 掌握特征值与特征函数的概念 复指数信号是LTI系统的特征函数的证明方法 信号的频域分析 周期信号的傅立叶级数表示 离散周期信号傅立叶级数系数的特点 连续时间信号的傅立叶变换 系统的频域分析 由微分方程求解稳定LTI系统的频率响应函数 从频域的角度分析系统对信号的作用 信号的采样与恢复 采样信号的频谱 采样信号无失真恢复的条件 LTI系统的特征函数与特征值 一个信号 若系统对该信号的响应仅是一个常数乘以输入 则称该信号为系统的特征函数 而幅度因子 常数 称为系统的特征值 证明 假定积分收敛 复指数信号是LTI系统的特征函数 对于某一给定的复数s
7、常数H s 就是与特征函数est对应的系统的特征值 证明思路 用卷积公式 写成h t x t 的形式 注意积分公式里边t是常量 把est提到积分公式外面 证明 假定求和收敛 证明思路 用卷积公式 写成h n x n 的形式 注意求和公式里边n是常量 把zn提到求和公式外面 复指数信号是LTI系统的特征函数 对于某一给定的复数z 常数H z 就是与特征函数zn对应的系统的特征值 信号的频域分析 周期信号的傅立叶级数表示 周期信号的傅里叶级数系数的确定 傅里叶变换 傅里叶反变换 连续时间非周期信号的傅立叶变换关系 连续时间周期信号的傅立叶变换与傅立叶级数系数的关系 信号频谱的物理意义 连续时间信号
8、傅立叶变换性质 时移特性 信号延时了t0秒并不会改变其频谱的幅度 但是使其相位变化了 t0 信号的时移 对应频谱的相移 频移特性 信号x t 乘以 等效于其频谱X j 沿频率轴右移 0 共轭及共轭对称性 当为实信号时 信号的频谱共轭对称 微分与积分性质 重点掌握微分性质 时间与频率的尺度变换 当信号为实信号且为偶信号时 信号的频谱是实信号且为偶信号 当信号为实信号且为奇信号时 信号的频谱是纯虚信号且为奇信号 频域微分性质 卷积性质 时域的卷积 对应于频域的相乘 相乘性质 时域的相乘 对应于频域的卷积 帕斯瓦尔定理 基本的傅立叶变换对 系统的频域分析 由微分方程求解稳定LTI系统的频率响应函数
9、推导思路 对方程两边求傅立叶变换 利用傅立叶变换的微分性质和线性性 从频域的角度求解由线性常系数微分方程表征的稳定LTI系统 解题思路 由微分方程求解然后利用部分分式法将展开成低阶的形式 并求其反变换得到y t LTI系统对输入信号的作用就是通过系统的频率响应函数改变信号中每一个频率分量的复振幅 LTI系统对输入信号频谱模的改变是将其乘以系统频率响应的模 对输入信号频谱相位的改变是在它的基础上附加系统频率响应的相位 从频域的角度分析系统对信号的作用 采样定理 采样信号的频谱 采样函数是基波周期为T的信号 记采样函数的基波角频率为 由傅立叶变换的相乘性质可得 采样定理 信号与系统的复频域分析 s
10、变换和z变换 掌握变换的定义 收敛域的确定 收敛域性质 变换基本性质 基本变换对以及反变换的求解 用s变换和z变换分析LTI系统 由微分方程和差分方程求解系统函数 系统稳定性和因果性的判断 由零极点图对傅里叶变换进行几何求解 在保持系统幅频特性不变的情况下 如何改变系统的极点 使之满足因果稳定的条件 由零极点图确定系统的幅频特性 因果LTI系统的方框图表示 直接型 级联型 并联型 单边s变换和z变换 s变换微分性质和z变换时间延迟性质的推导 具有非零初始条件的LTI系统零输入响应和零状态响应的求解 s变换和z变换 其中s为复变量 一般表示为 j 的形式 s变换和z变换的定义 其中z为复变量 一
11、般表示为rejw的形式 s变换和z变换与傅立叶变换的关系 s变换和z变换收敛域ROC的概念 使得变换定义式积分 求和 收敛的s z 值的取值范围 称为变换的收敛域 s变换和z变换的收敛域性质 左边信号 序列 右边信号 序列 双边信号 序列 收敛域的特点 若x n 是因果序列 则z变换的收敛域包括 z 若变换求和公式包含z的负幂次项 则ROC不包含原点 z 0 若变换求和公式包含z的正幂次项 则ROC不包含无限远点 z s变换和z变换的性质 时移特性 原点或无限远点可能要加上或除掉 共轭性质 即实函数的s变换零极点成对出现 实轴上的零极点除外 同理实函数的z变换零极点也有相同的性质 由此导出差分
12、方程系统函数 系统的方框图表示的单位延迟系统 卷积性质 则 若 则 若 时域微分 由此导出微分方程系统函数 系统频率响应函数 时域积分 系统的方框图表示的积分器 s域微分 z域微分 主要应用 求反变换 初值与终值定理 对于因果序列 基本的s变换对和z变换对 s反变换和z反变换的求解 部分分式法 当X s X z 是有理的 首先用部分分式展开成低次分式之和 结合ROC求各低次分式的反变换的叠加等于x t x n 幂级数法 由定义式可以看出 X z 是z的正幂和负幂的一个幂级数 幂级数的系数就是序列x n 的值 可用长除法将X z 展开为z的正幂和负幂的线性组合 展开时要考虑变换的收敛域 暂定不做
13、考试要求 用s变换和z变换分析LTI系统 由微分方程和差分方程求解系统函数 从s域的角度求解常系数微分方程表征的因果LTI系统 解题思路 由微分方程求解 由因果性确定ROC然后利用部分分式法将展开成低阶的形式 并求其反变换得到y t 系统稳定性和因果性的判断 对于一个具有有理系统函数的连续时间LTI系统来说 系统的因果性等效于系统函数的ROC位于最右边极点的右半平面 当且仅当系统函数的ROC包含jw轴时 连续时间LTI系统稳定 当且仅当H s 的全部极点位于s平面的左半平面时 也即全部极点都有负的实部时 一个具有有理系统函数的因果系统才是稳定的 一个具有有理系统函数的离散时间LTI系统 当且仅
14、当它的系统函数ROC位于最外层极点的外边 且H z 表示成z的多项式之比时其分子的阶次不能大于分母的阶次 该系统才是因果的 当且仅当系统函数的ROC包含单位圆时 离散时间LTI系统稳定 一个具有有理系统函数的离散时间因果LTI系统 当且仅当H z 的全部极点位于单位圆内时 也即全部极点的模均小于1时 系统就是稳定的 由零极点图对傅里叶变换进行几何求解 s变换和z变换与傅立叶变换的关系 由零极点图确定系统的幅频特性 全通系统 零点向量与极点向量长度相等 全通系统 在保持系统幅频特性不变的情况下 如何改变系统的极点 使之满足因果稳定的条件 对于连续时间LTI系统 将H s 右半平面的极点关于jw轴
15、对称转移到左半平面 对于离散时间LTI系统 将H z 单位圆外的极点在原点和极点的连线上 转移单位圆内 若原来极点距离原点长度为a 则新极点距离原点的长度为1 a 系统函数再乘上系数1 a 因果LTI系统的方框图表示 直接型 如何表示为两个一阶系统的级联和并联形式 直接型 如何表示为两个一阶系统的级联和并联形式 单边s变换和z变换 引入单边s变换的一个主要应用是分析具有非零初始条件 由线性常系数微分方程描述的因果系统 引入单边z变换的一个主要应用是分析具有非零初始条件 由线性常系数差分方程描述的因果系统 s变换微分性质和z变换时间延迟性质的推导 证明 分部积分法 做变量替换令m n 1 证明 将n 0从求和公式中分解出来 具有非零初始条件的LTI系统零输入响应和零状态响应的求解 见实例 例9 38 一连续时间因果系统的输入信号x t 和输出信号y t 满足微分方程 当 系统的初始状态为 时 利用单边拉氏变换 求系统的零状态响应 例 例10 37 方程两边作单边z变换
