1、2016年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1复数的虚部是（）AiBiC1D12已知集合U=1，2，3，4，B=1，2，3，且AB=1，2，则满足条件的A的个数为（）A1B2C3D43下面的程序框图能判断任意输入的数x的奇偶性其中判断框内的条件是（）Am=0Bm=1Cx=0Dx=14函数f（x）=2sin（x+）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A2，B2，C4，D4，5经过抛物线y=x2的焦点和双曲线=1的右焦点的直线方程为（）Ax+48y3=0Bx+80y5=0Cx+3y3=0Dx+5y5=06设a=log32，b=log52，c=log23，则（）AacbBbcaCcba
2、Dcab7O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，0，+），则P的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心8如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（）AB+1CD9已知an中，且an是递增数列，则实数的取值范围是（）A（2，+）B2，+）C（3，+）D3，+）10椭圆C： +=1的左，右顶点分别为A1，A2，点P在C上，且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A，B，C，1D，111如图，是某多面体的三视图，则该多
3、面体的体积为（）ABCD12设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，则当取得最小值时，x+2yz的最大值为（）A0BC2D二、填空题13过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记APB=，当最小时，此时点P坐标为14已知过点M（3，3）的直线l被圆x2+y2+4y21=0所截得的弦长为8，则直线l的方程为15定义在2，2上的偶函数f（x）在2，0上为增，若满足f（1m）f（m），则m的取值范围是16设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=x+1对称，且f（3）+f（7）=1，则a的值为三.解答题17在ABC中，B=，AC=，求AB+BC的最大值
4、并判断取得最大值时ABC的形状18在公差为d的等差数列an中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（）求d，an；（）若d0，求|a1|+|a2|+|a3|+|an|19如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1BAC，且A1B=AC=5，AA1=BC=13，且AB=12（1）求证：平面ABB1A1平面ACC1A1；（2）求二面角ABB1C的正切值的大小20已知点A（2，0），椭圆E：（ab0）的离心率为，F是椭圆E的上焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于点P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程21已知函数f（x）=xl
5、nx+（2a1）xax2a+1，（1）若，求f（x）的单调区间；（2）若x1，+）时恒有f（x）0，求a的取值范围四.选做题，以下三题任选一题22已知函数f（x）=sin（x）cos（x）cos2（x）+（0）为偶函数（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的对称中心23已知p：|1|2；q：x22x+1m20； 若p是q的充分非必要条件，求实数m的取值范围24在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在ABC三边围成的区域（含边界）上（）若+=，求|；（）设=m+n
6、（m，nR），用x，y表示mn，并求mn的最大值2016年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1复数的虚部是（）AiBiC1D1【考点】复数的基本概念【分析】根据复数的基本运算化简复数即可【解答】解： =，则复数的虚部是1，故选：C2已知集合U=1，2，3，4，B=1，2，3，且AB=1，2，则满足条件的A的个数为（）A1B2C3D4【考点】交集及其运算【分析】根据全集U，B，以及A与B的交集，确定出满足条件的A，即可做出判断【解答】解：U=1，2，3，4，B=1，2，3，且AB=1，2，满足条件的A可能为1，2，1，2，4共2个，故选：B3下面的程序框图能判断任意
7、输入的数x的奇偶性其中判断框内的条件是（）Am=0Bm=1Cx=0Dx=1【考点】选择结构【分析】本题考查了选择结构，由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以2的余数是1还是0，从而得到判断框条件【解答】解：由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以2的余数是1还是0由图可知应该填m=1故选B4函数f（x）=2sin（x+）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A2，B2，C4，D4，【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义【分析】利用函数的周期求解，然后利用五点法作图求解即可【解答】解：由函数的图象可知T=，=2x=时，y=2，可得：2sin
8、（2+）=2，由五点法作图可知=故选：A5经过抛物线y=x2的焦点和双曲线=1的右焦点的直线方程为（）Ax+48y3=0Bx+80y5=0Cx+3y3=0Dx+5y5=0【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【分析】求出抛物线y=x2的焦点坐标、双曲线=1的右焦点，即可求出直线方程【解答】解：抛物线y=x2的焦点坐标为（0，1），双曲线=1的右焦点的坐标为（5，0），所求直线方程为即x+5y5=0故选：D6设a=log32，b=log52，c=log23，则（）AacbBbcaCcbaDcab【考点】对数值大小的比较【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可【解答】解：
9、由题意可知：a=log32（0，1），b=log52（0，1），c=log231，所以a=log32，b=log52=，所以cab，故选：D7O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，0，+），则P的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与BAC的角平分线一致，再由可得到=（+），可得答案【解答】解：、分别表示向量、方向上的单位向量+的方向与BAC的角平分线一致又，=（+）向量的方向与BAC的角平分线一致一定通过ABC的内心故选B8如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面A
10、BCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（）AB+1CD【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ+PQ的最小值就是AE的长，求解即可【解答】解：侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=，AD=2问题转化为在CD上找一点Q使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为故选：D9已知an中，且an是递增数列，则实数的取值范围是（）A（2，+）B2，+）C（3，+）D3，+）【考点】数列与函数的综合【分析】由于an
11、是递增数列，可得nN*，an+1an，即（n+1）2+（n+1）n2+n，解出利用数列的单调性即可得出【解答】解：an是递增数列，nN*，an+1an，（n+1）2+（n+1）n2+n，（2n+1），3故选：C10椭圆C： +=1的左，右顶点分别为A1，A2，点P在C上，且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A，B，C，1D，1【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆C： +=1可知其左顶点A1（2，0），右顶点A2（2，0）设P（x0，y0）（x02），代入椭圆方程可得=，利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的直线PA2斜率的取值范围是2，1，即可解出【解答】解：
12、由椭圆C： +=1可知其左顶点A1（2，0），右顶点A2（2，0）设P（x0，y0）（x02），则得=， =kPA1=，=直线PA2斜率的取值范围是2，1，直线PA1斜率的取值范围是，故选：A11如图，是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体为棱长是2的正方体，截去两个相同的三棱锥，再截去一个三棱柱（底面直角三角形的直角边为2和2，高为2）而得到，画出它的直观图，即可求其体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体为棱长是2的正方体，截去两个相同的三棱锥（底面直角三角形的直角边为2和2，高为1）；，再截去一个三棱
13、柱（底面直角三角形的直角边为2和2，高为2）而得到，其直观图如图所示，该多面体的体积为：22222（2）=故选：B12设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，则当取得最小值时，x+2yz的最大值为（）A0BC2D【考点】基本不等式【分析】将z=x23xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2yz的最大值【解答】解：x23xy+4y2z=0，z=x23xy+4y2，又x，y，z为正实数，=+323=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y0），x+2yz=2y+2y（x23xy+4y2）=4y2y2=2（y1）2+22x+2yz的最大值为2故选：C二、填空题13过平面区域
14、内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记APB=，当最小时，此时点P坐标为（4，2）【考点】简单线性规划；直线与圆的位置关系【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，确定最小时点P的位置即可【解答】解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，当P离圆O最远时，最小，此时点P坐标为：（4，2），故答案为：（4，2）14已知过点M（3，3）的直线l被圆x2+y2+4y21=0所截得的弦长为8，则直线l的方程为4x+3y+21=0或x=3【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出圆x2+y2+4y21=0的圆心、半径，当
15、直线l的斜率不存在时，直线方程为x=3，成立；当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x+3）3，求出圆心（0，2）到直线y=k（x+3）3的距离，由过点M（3，3）的直线l被圆x2+y2+4y21=0所截得的弦长为8，利用勾股定理能求出直线l的方程【解答】解：圆x2+y2+4y21=0的圆心为（0，2），半径r=5，当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=3，联立，得或，直线l：x=3被圆x2+y2+4y21=0所截得的弦长为8，成立；当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x+3）3，圆心（0，2）到直线y=k（x+3）3的距离d=，过点M（3，3）的直线l被圆x2+y2+4y21=0所截得
16、的弦长为8，由勾股定理得：，即25=+16，解得k=，直线l：，整理，得：4x+3y+21=0综上直线l的方程为：4x+3y+21=0或x=3故答案为：4x+3y+21=0或x=315定义在2，2上的偶函数f（x）在2，0上为增，若满足f（1m）f（m），则m的取值范围是【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据偶函数的性质等价转化所求的不等式，利用函数的单调性和定义域，列出关于m的不等式组，再求出m的取值范围【解答】解：因为f（x）是定义在2，2上的偶函数，所以不等式f（1m）f（m）等价于：f（|1m|）f（|m|），因为f（x）在2，0上为增函数，所以，解得1m，即m的取值范围是，故答案为
17、：16设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=x+1对称，且f（3）+f（7）=1，则a的值为2【考点】函数与方程的综合运用【分析】先求出函数y=f（x）的解析式，再由f（3）+f（7）=1，问题得以解决【解答】解：设函数y=f（x）的任意点的坐标为（x，y），关于y=x+1对称点的坐标（m，n），则（m，n）在y=2x+a的图象上，解得m=1y，n=1x，代入y=2x+a可得：1x=21y+a，即：y=log2（1x）a1，函数y=f（x）=log2（1x）a1，f（3）+f（7）=1，log24a1+log28a1=1，解得，a=2，故答案为：2三.解答题17在ABC中，B=，
18、AC=，求AB+BC的最大值并判断取得最大值时ABC的形状【考点】正弦定理【分析】根据正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA，从而利用三角函数恒等变换的应用可求AB+BC=，利用正弦函数的图象和性质即可得解【解答】（本题满分为12分）解：B=，AC=，在ABC中，根据=，得AB=sinC=sinC=2sinC，同理BC=2sinA，AB+BC=2sinC+2sinA，=2sinC+2sin（C）=，当C=，可得AB+BC的最大值为，取最大值时，因而ABC是等边三角形18在公差为d的等差数列an中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（）求d，an；（）若d0，求|a1|
19、+|a2|+|a3|+|an|【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质【分析】（）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式an可求；（）利用（）中的结论，得到等差数列an的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d0时|a1|+|a2|+|a3|+|an|的和【解答】解：（）由题意得，即，整理得d23d4=0解得d=1或d=4当d=1时，an=a1+（n1）d=10（n1）=n+11当d=4时，an=a1+（n1）d=10+4（n1）=4n+6所以an=n+11或an=4n+6；（）设数列an的前n项和为Sn，因为d0，由（
20、）得d=1，an=n+11则当n11时，当n12时，|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn+2S11=综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+|an|=19如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1BAC，且A1B=AC=5，AA1=BC=13，且AB=12（1）求证：平面ABB1A1平面ACC1A1；（2）求二面角ABB1C的正切值的大小【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）推导出ACAB，A1BAC，从而AC平面ABB1A1，由此能证明平面ABB1A1平面ACC1A1（2）以B为原点，BA为x轴，在平面ABC中过B作BA的垂线为y轴，BA1为z轴，建立空间直
21、角坐标系，利用向量法能求出二面角ABB1C的正切值【解答】证明：（1）在ABC中，AB2+AC2=BC2，ACAB，又A1BAC且A1B、AC是面ABB1A1内的两条相交直线，AC平面ABB1A1，.又AC平面ACC1A1，平面ABB1A1平面ACC1A1解：（2）在ABC中，A1BAB，又A1BAC且AB、AC是面ABC内的两条相交直线，A1B面ABC，以B为原点，BA为x轴，在平面ABC中过B作BA的垂线为y轴，BA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（12，0，0），C（12，5，0），A1（0，0，5），由，得B1（12，0，5），取平面ABB1A1的一个法向
22、量=（0，1，0），设平面BCC1B1的一个法向量，由，得取x=5，则cos=，设ABB1C的大小为，则，二面角ABB1C的正切值的大小为20已知点A（2，0），椭圆E：（ab0）的离心率为，F是椭圆E的上焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于点P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和直线的斜率公式，以及a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；（2）设l的方程为x=my+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，判别式大于0，运用三角形的面积公式，
23、由基本不等式可得最大值，即可得到m，进而得到直线方程【解答】解：（1）由e=，可得：，即，设F（0，c），则，又a2b2=c2=3，a2=4，b2=1，E的方程是；（2）设l的方程为x=my+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得（4m2+1）y2+16my+12=0，y1+y2=，y1y2=，=（16m）2412（4m2+1）=16（4m23）0，=，令，则，而当且仅当t=2，即时等号成立，此时SOPQ1当OPQ的面积最大时，求l的方程为，即21已知函数f（x）=xlnx+（2a1）xax2a+1，（1）若，求f（x）的单调区间；（2）若x1，+）时恒有f（x）0，求a的取值范围【考
24、点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出f（x）的导数，令g（x）=lnx（x1），求出g（x）的导数，可得单调区间和最值，进而得到f（x）的单调区间；（2）求出导数，对a讨论，当时，当a时，当0a时，结合函数的单调性，即可得到所求a的范围【解答】解：（1）函数f（x）=xlnx+（2a1）xax2a+1的导数为f（x）=lnx2a（x1），当时，f（x）=lnx（x1），令g（x）=lnx（x1），则x（0，1）时g（x）0；x（1，+）时g（x）0g（x）g（1）=0，即f（x）0（只在x=1处取等号）f（x）的单减区间是（0，+）；（2）f（x）=ln
25、x2a（x1），令f（x）=0，则lnx=2a（x1）且函数lnx在x=1处的切线为y=x1，由（1）知，时，f（x）在1，+）上单减且f（1）=0，f（x）0，合题意；当a时，数形结合知，f（x）在1，+）上仍单减且f（1）=0，f（x）0，合题意；当0a时，数形结合知，x01，使得f（x0）=0即x（1，x0）时f（x）0，f（x）在（1，x0）上单增，f（x）f（1）=0，不合题意；当a0时，数形结合知，x（1，+）时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单增，f（x）f（1）=0，不合题意综上，若x1，+）时恒有f（x）0，则a的取值范围是四.选做题，以下三题任选一题22已知函数f（x）
26、=sin（x）cos（x）cos2（x）+（0）为偶函数（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的对称中心【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性【分析】（I）把函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，即为函数解析式的最简形式，即可求出最小正周期以及单调区间；（II）由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的对称中心即可【解答】解：（I）函
27、数f（x）=sin（x）cos（x）cos2（x）+=sin（2x2）（2cos21）=sin（2x2）cos（2x2）=sin（2x2）函数f（x） 为偶函数，则2=k，kz0=f（x）=sin（2x）=sin2x函数的最小正周期T=令2x+2k， +2kkZ 解得：+kx+k函数f（x）的单调递减区间为+k， +kkZ（II）由（I）知f（x）=sin2x由题意知g（x）=sin2（x）=sin（2x）令2x=k（kZ），则x=+ （kZ），函数的对称中心坐标为（+，0）（kZ）23已知p：|1|2；q：x22x+1m20； 若p是q的充分非必要条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充
28、分条件与充要条件的判断【分析】p是q的充分非必要条件，所以q是p的充分非必要条件，求出p、q的范围进而求解【解答】解：p：|1|2即为p：2x10，q：x22x+1m20即为（x1）2m2，即q：1|m|x1+|m|，又p是q的充分非必要条件，所以q是p的充分非必要，（两式不能同时取等）得到|m|3，满足题意，所以m的范围为3，324在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在ABC三边围成的区域（含边界）上（）若+=，求|；（）设=m+n（m，nR），用x，y表示mn，并求mn的最大值【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算【分析】（）先根据+=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（）利用向量的坐标运算，先求出，再根据=m+n，表示出mn=yx，最后结合图形，求出mn的最小值【解答】解：（）A（1，1），B（2，3），C（3，2），+=，（1x，1y）+（2x，3y）+（3x，2y）=03x6=0，3y6=0x=2，y=2，即=（2，2）（）A（1，1），B（2，3），C（3，2），=m+n，（x，y）=（m+2n，2m+n）x=m+2n，y=2m+nmn=yx，令yx=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故mn的最大值为1第21页（共21页）
