1、包饺子中的数学问题 构建数学模型的步骤如下 第一步 识别问题 第二步 作出假设 a 识别变量并对变量进行分类 b 确定变量和子模型之间的相互关系 第四步 模型验证 a 是否表述了问题 b 在通常意义下是否有用 c 用实际数据来验证该模型 第五步 实施模型 第六步 维修模型 改进模型 比例性和几何相似性是两个常用的 强有力的假设 第三步 求解或解释模型 往往到了这一步 会发现准备的很不充分 如果得到一个不能求解或不会解释的难以处理的模型 应该回到第二步做出另外的简化假设 甚至回到第一步重新定义问题 前两步具有艺术和原创的性质 体现了数学建模的创造性 通常是比较困难的 比例性 定义 两个变量y和x
2、是成比例的 如果一个变量总是另一个变量的常数倍 即 记为 著名的比例性的例子 虎克定律 牛顿定律 欧姆定律 质能方程 S是压缩或拉长的弦长 F是恢复力 F是合外力 a是加速度 V是电压 i是电流 R是电阻 E是能量 m是质量 c是光速 比例有传递性 则 几何相似性 两个几何相似的物体 形状是一样的 并且一个物体是另一个物体的简单放大 如 飞机模型和飞机之间是几何相似的 几何相似性优点 表面积和长度的平方成比例 体积和长度的立方成比例 若选择长度作为特征量 则 一公斤面能包一公斤馅 若面没有变 馅儿增加了 问饺子应该包的大一点还是小一点 识别问题 饺子面 馅和饺子个数之间的函数关系 假设 饺子之间是几何相似的 则 所以 建模示例 包饺子中的数学问题 以饺子的直径 为特征量 设表面积为 体积为 面皮和饺子的表面积成比例 馅儿和饺子的体积成比例 根据比例的传递性 有 设面皮的重量为M 则 设馅的重量为X 则 设饺子总数为n 馅的总重量为 于是 即 当馅儿增加时 个数应减小 饺子应包的大一点 面增加时 个数应增加 饺子应包的小一点 则 面的总重量为 模型 模型解释 饺子的个数与面的立方成正比 与馅儿的平方成反比 例如 若一斤面 一斤馅 可包100个饺子 则一斤面两斤馅儿 应当包25个饺子 若包了50个饺子 则包了1 4公斤的馅儿
