1、高等数学基础提高 主讲 6 函数的连续性问题 1 讨论函数的连续性与间断点 判别间断点的类型 2006 2 1 设 在 连续 则 解 2002 2 2 设 在 处连续 则 解 2008 3 3 设 在 内连续 则 由题设知 解 因为 又因为 在 内连续 必在 处连续 所以 即 2003 3 4 设 其导函数在 处连续 则 值范围是 的取 解 注意 当 0可直接按公式求导 当x 0时 要求用定义求导 也就是用极限求 显然当 时 有 即其导 函数在x 0处连续 设 2003 2 5 问 取何值时 在 连续 取何值时 是 可去间断点 解 令 有 得 或 当 时 当 时 即f x 在x 0处连续 x
2、0是f x 的可去间断点 2010 2 6 的无穷间断点个数是 解 有间断点 所以 为第一类间断点 所以 为第一类间断点 所以 为无穷间断点 选B 2008 2 7 则 有 个可去间断点 个跳跃间断点 个可去间断点 个无穷间断点 个跳跃间断点 个无穷间断点 解 均无意义 故 应选A 2009 2 3 8 的可去间断点的个数是 无穷多个 解 则当 取任何整数时 均无意义 故 的间断点有无穷多个 但可去间断点为极限存在的点 故应是 的解 故可去间断点为3个 即 2007 2 9 在 上的第一类间断点是 解 函数在 均无意义 而 所以 为函数 的第一类间断点 2004 2 10 设 则 的间断点为
3、解 分析 本题属于确定由极限定义的函数的连续性 先用求极限的方法得出 的表达式 再讨论 的间断点 与间断点 对不同的 显然当 时 当 时 所以 因为 故 为 的间断点 2008 3 11 设 函数在区间 上连续 则 是函数 的 跳跃间断点 可去间断点 无穷间断点 振荡间断点 解 所以 是函数 的可去间断点 第二部分一元函数微分学 考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数 反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达 L Hospital 法则 函数
4、单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性 拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 考试要求 1 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系 了解导数的几何意义与经济意义 含边际与弹性的概念 会求平面曲线的切线方程和法线方程 2 掌握基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则及复合函数的求导法则 会求分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数 3 了解高阶导数的概念 会求简单函数的高阶导数 4 了解微分的概念 导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性 会求函数的微分 5 理解罗尔 Rolle 定理 拉格朗日 Lagrange 中值定理 了解泰勒 Taylor 定理 柯西 Cauch
5、y 中值定理 掌握这四个定理的简单应用 6 会用洛必达法则求极限 7 掌握函数单调性的判别方法 了解函数极值的概念 掌握函数极值 最大值和最小值的求法及其应用 8 会用导数判断函数图形的凹凸性 注 在区间内 设函数具有二阶导数 当时 的图形是凹的 当时 的图形是凸的 会求函数图形的拐点和渐近线9 会描述简单函数的图形 典型例题 解 例1 题型1 导数的定义 解 例2 连续 可导 例3 98二3 A 3 B 2 C 1 D 0 分析 解 类题 92二3 例4 解 99二3 A 极限不存在 B 极限存在但不连续 C 连续但不可导 D 可导 选 D 解 例5 1 2 及时分离非零因子 例6 解 所以
6、 A B C 都正确 故选 D 例7 解 A B 两项中分母的极限为0 存在 答案 应选 D 反例 存在 题型2 利用导数求曲线的切线和法线方程 解 例1 所以所求切线方程为 题型3 一般导函数的计算 解 例1 先化简 所以 例2 解 用对数求导法 解 例3 1 式两边再关于x求导 题型4 可导 连续与极限的关系 解 例1 A 极限不存在 B 极限存在但不连续 C 连续但不可导 D 可导 解 例1 A 极限不存在 B 极限存在但不连续 C 连续但不可导 D 可导 答案 应选 C 题型4 可导 连续与极限的关系 题型5 微分的概念与计算 解 例1 两边对x求导 题型6 利用导数确定单调区间与极值
7、 解 例1 选 A 根据导函数的图形可知 一阶导数为零的点有3个 而x 0则是导数不存在的点 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致 必为极值点 且两个极小值点 一个极大值点 在x 0左侧一阶导数为正 右侧一阶导数为负 可见x 0为极大值点 故f x 共有两个极小值点和两个极大值点 应选 C 例2 解 03二4 A 一个极小值点和两个极大值点 B 两个极小值点和一个极大值点 C 两个极小值点和两个极大值点 D 三个极小值点和一个极大值点 例3 解 96六8 两边关于x求导 得 对 1 式再求导 得 题型7 求函数曲线的凹凸区间与拐点 解 例1 解 例2 故应选 C 题型8 求函数曲线的渐近
8、线 解 例1 A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 选 B 例2 解 A 0条 B 1条 C 2条 D 3条 故应选 D 例3 解 A 0条 B 1条 C 2条 D 3条 解 例4 A 0条 B 1条 C 2条 D 3条 故应选 D 题型9 确定函数方程f x 0的根 解 例1 A 2 B 4 C 6 D 8 选 B 评注 证 例2 证 例3 的零点的个数 只有一个交点 有两个交点 题型10 确定方程 的根 例1 证 1 分析 用微分方程法 原等式改写为 证 2 例1 证 且由题设及 1 知 例1 例2 证 05 18 12 略 所以 提示 证明 不妨设存在 例4 题型11 利用导数证明不等式 证 例1 于是 证法1 分析 根据所证不等式的形式 可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明 例2 04 15 12 证法2 例2 再用单调性进行证明即可 例2
