1、一元二次方程的实根分布问题问题 1. 试讨论方程 的根的情况。02cbx（1） 根的个数：b 、 c 满足什么条件时，方程有两个不等的实根？相等实根？无实根？（2） 根的大小：b 、 c 满足什么条件时，方程有两个正根？两个负根？一正根、一负根？一根为 0？（3） 根的范围：b 、 c 满足什么条件时，方程两根都大于 1？都小于 1？一根小于 1，一根大于 1？说明 对于一元二次方程 的根的研究，主要分为四个方面（A）有)0(2acbxa没有实数根；（B）有实数根时，两根相等还是不等；（C ）根的正负；（D ）根的分布范围。利用根的判别式，可以解决（A ） ， （B） ，结合运用韦达定理，可以
2、解决（C） 。而要解决（D） ，需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识。思路 1 （方程思想）设 cbxf2)(（1） 方程 有两个大于 1 的实根的充要条件是： 0)(xf12040)1(21 cbx（2） 方程 有两个小于 1 的实根的充要条件是：f12040)1(21 cbx（3） 方程 有一根大于 1，一根小于 1 的充要条件是f.,)(cx即思路 2 （函数思想）设 ，结合图形，则cbxf2)(（1） 方程 有两根都大于 1 的条件是： 0)(xf.104201)(42cbcbf（2） 方程 有两根都小于 1 的条件是：)(xf.104201)(42cbcbf（3） 方程 有两根一
3、个大于 1，小于 1 的条件是：)(xf .01cbcbf令 ，导出下题。n2,问题 2 关于 x 的方程 ，分别在下列条件下，求实数 n 的取值范围。02)(nx（1）有一个根小于1，一个根大于 1；（2）两根均在 内。)1,(解：（1）设 nxxf)()(2为使 有一个根小于1，一个根大于 1，则有0f即为所求。3202)()( nnf（2） 两根均在 内的充要条件是 即为0)(xf)1,( 230120)(nnf所求。思考：（1）中为什么不考虑 ？（2）中为什么要考虑四个条件，缺一行吗？0问题 3 若关于 x 的方程 有两个不同的实数根，且只有一根在1，2ax内，求 a 的取值范围。解：
4、令 ，axxf2)(2（1） 若 方程在（1，2）上有一根。,84,0f此 时（2） 若 ，此时 a=8, 方程的两根为 适合题意。)( ,5,2x（3） 若 ，此时 a=4，方程的两根为 不适合题意。f 1综上所述，a 的取值范围是 .8a说明：在进行一元二次方程根的讨论时，一定要注意是在方程有实根的前提下进行的，所以 “ 0”千万不可漏掉，对于一元二次方程根的讨论，通常有以下几种情况：（1）有两个正根的条件是 0acb（当 a0 时，简化为0cb）（2）有两负根的条件是 0acb（当 a0 时，简化为0cb）（3）两根异号的条件是 0 (a0，简化为 c0 )（4）两根异号，且正根绝对值大
5、的条件是 abc（当 a0 时，简化为 0bc）（5）两根异号，且负根绝对值大的条件是 abc（当 a0 时，简化为 0bc）例 4 如果关于 x 的方程 23x5m 0 的两个实数根都小于 1求实数 m 的取值范围分析：我们知道，两数 1x、 2都为负数的条件是 021x，那么是不是 1x，12x就可由 21来决定呢？不，不能我们通常是将 1， 2，转化为01x， 2，从而由 0)1(21x来解决解：设原方程的两个根为 x、 2，则 + =3， 1x 2=5m由题意，知 11， 1， 1x10， 10 （ 1x1） （ 21）0， 1 2（ 1+ 2）+10， m+3+10 m1又 =9425m=940m0 m 49， 9 1m 0说明：利用根与系数的关系确定方程中字母的取值范围时，首先要由0（或0） ，及方程中根的分布情况建立字母系数的不等式组，这里的关键是条件的等价变形与转化
