1、1二项式展开定理1、 定理及基本概念1. ；*)()(10 NnCbabaCbarnnn 2. 项数：一共 项；3. 通项： ；一定注意两点：rnrbaT11) 涉及“第几项”的时候，一定严格按照通项公式；2) 注意项数与系数 的关系。r4. 二项式系数与各项系数之间的联系与区别。2、 性质1. 二项式系数的对称性： ；rnrC2. 二项式系数和： ；n23. 奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数之和= ；12n4. 二项式系数最大项：1) 当 是偶数时，此时项数 是奇数，中间项的二项式系数 最大；n1n2nC2) 当 是奇数时，此时项数 是偶数，中间两项的二项式系数 = 最大。21n5. 系
2、数最大项：注意系数最大与二项式系数最大的区别。2基本题型解题思路及步骤1、 利用通项公式求某项系数1. 写出通项公式的时候注意：1) 所有的系数写在最前面，包括符号；2) 所有根式都写出分数次数形式；3) 明白什么是有理项；4) 注意 的取值范围。r2. 只有一个式子：写出通项公式，根据系数关系，确定满足条件的项。3. 有两个式子相乘：1) 分别用通项公式打开，组合后看满足条件的项；2) 只打开一个，观察另一个的形式，判断满足条件的项；一定注意系数；3) 有多个 的，注意各自的取值范围和相互之间的关系。ir2、 赋值求系数和1. 常用的赋值是令 ，具体要通过所求的式子来判断赋值；1,0x2.
3、所有系数之和：令 ；二项式系数之和： ；n23. 所有系数绝对值之和：令 ；变换原来式子里的符号，边为相加；再令 ；1x 1x4. 求导和积分的形式。3、 对二项式定理的理解：组合项、整除1. 二项式定理的 理解：都表示一个整体；ba,2. 根据所求的问题，对前面的 进行重新组合。,3例题讲解1、 求某项的系数1. 求 展开式中第几项为常数项，并求常数项的值。92)(x解：直接用通项公式打开： ；（注意系数都放一起）rrrr xCxCT399291 )1()()常数项即 的次数为 0，也即： ；所以常数项为 第 4 项；x 309r且常数项为： 84)1(39C2. 在二项式 的展开式中，第四
4、项的系数为 56，求 的系数。nx)(433 x1解：第四项的系数为 56：注意：项数与展开式中 的取值的关系。此时： 。r3r=56，解得： ；3nC8n再利用通项公式： ；12384381)(31 rrrr xCxCT要求 的系数，所以： ；x12故 前的系数为： 82C3. 求二项式 展开式中常数项的值。102)3(x解： ，所以 ；254010211021 )(3)() rrrrrr xCCT 8常数项的值为： 。 （一定严格按步骤来，注意系数的符号）564)(38281044. 求二项式 展开式中有理项的系数和。83)2(x解：什么是有理项？ ，当 时为有理项；kZ用通项公式打开：
5、；6248318211 )()()rrrrr xCxCT要满足有理项，即： 且 ，所以： 或Z64Z,006当 时， ；当 时， ；0r1)2(08r1792)(68故：有理项的系数和为 。7935. 求多项式 展开后常数项。106)()(x解：因为这里有两个式子，可以用两个展开式，所取的 的取值范围；21,r展开： ； 展开：6)1(x111)(26rrrxC10)( 222)1(01rrxC所以： 展开后： （ ）106)()( 2310612)(rrr0,621r所以： ，所以： 或 或 ；321r,421r7,521r4,21当 时， ；0,421r 5)(0146C当 时， ；7,5
6、217271056当 时， ；4,621r)(4106所以常数项为： 。9572556. 求展开式 中， 的系数。34)21(x2解： 展开： ； 展开： ；4)31(x14rC3)(22)(3rrxC所以： 展开： ，其中： ；3)2(2112134rr 30,421r所以： 或 或 ；021r21021r故系数为： 6)2(3)(3)(302411404 CC7. 已知 （ ）的展开式中没有常数项，则 的值为。nx1(328n解： 展开： ；nx)3 1111 43)(rnrrnr x由题意可知，展开式中没有常数项。则 ，24,0111 rn所以： ，所以： 。24,1,41rnrn 5n
7、8. 求 中， 的系数。673)2()(xx19. 求 的展开式中， 前的系数为？592)(1( 2x10. 求 的展开中 的系数。8732 )1()() xx 3x62、 系数最值1. 在 的展开式中，二项式系数最大的项是第几项。nba2)(解：展开式式中一共有： 项。所以中间项为：第 项。一定要时刻注意项数与次11n数的关系。2. 在 的展开式中，只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为？nx)1(2解：只有第 4 项二项式系数最大，所以一共有 7 项，所以： 。6n通项公式： ，常数项 ，所以： 。rrrr xCxT3126621)(4154C3. 已知 ，若展开式中第 5，
8、第 6 与第 7 项二项式系数为等差数列，求展开式中二n)2(项式系数最大项的系数是多少？解：通项公式为： ；rnrrnrr xCxT21)(2二项式系数为等差数列，所以： ，解得 或 ；645nn714当 时，二项式系数最大是第 4 项和第 5 项，故： ，7n 235674T；02145CT当 ，二项式系数最大是第 8 项，故： 。n 34718C注意题目的问题：是二项式系数最大项的系数！4. 求 的展开式中系数最大的项？7)21(x解：通项公式为： ，各项系数的通项为：rrr xCT2)(771 rC27则： 解得： ；172rrC5所以系数最大项为第 6 项； 。5572xT75. 求
9、 的展开式中系数最小的项是第几项？6)23(x3、 赋值1. 若 的展开式中偶数项系数和为 ，求 的值。nx)1(32256n解：令 ，得所有项的系数和 ；0)1(n故 。95262n注意“各项系数和”与“二项系数和”的联系与区别；注意“减号”与“加号”的联系与区别。2. 若 的展开式中所有奇数项的系数和为 ，求它的中间项。nx)1(5231024解：由题可知所有奇数项的系数和即为所有奇数项的二项式系数和为 ；所以： ，所以中间项第 6,7 项；1024nn所以： ， 。6xT1567x3. 在 的二项式展开中，记含 的奇次幂的项之和为 ，当 时，求 ？20)(x S2xS解：令 ，则 ；令
10、的偶次幂的项之和为 ；2x 0)2()(6206xxT令 ，则 ；30926则： 。308309STS题目如果改为： 时， 的值呢？x还是要注意：奇次幂和偶次幂，对于 取相反数的时候的影响。x84. 若二项式 中所有项的系数和为 ，所有项的系数的绝对值之和为 ，则nx)3(ab的最小值为（B ）ab解：所有项的系数和即令 ，所以 ；1xna2所有项绝对值的和就是要把系数是负的变成正的，令 ，所以： ；1xnb4所以： 。注意 。251nab*N5. 若 展开式中各项系数绝对值之和为 ，则展开式中 的一次项系数为？nx)3(1024x解：由上一题可知，尝试令 ，发现不可行，原式没有意义；1x发现
11、 与 展开式中各项系数的绝对值相等；nx)3(n)(故 的绝对值之和等价于 的各项系数和；nnx)3(所以：令 ， ；1x5024n展开的通项公式：n)3(；23555211 )()()rrrrr xCxCT故 的一次项系数为： 。x1)(15上述两个例题就是求各项系数绝对值之和的两个思想。6. 的展开式中不含 的项的系数和为？5)1(yxx解：不含 的项，可令 ；则题目等价于 的各项系数和；05)1(y9令 ，则 。1y55)4(y102要消除 ，可以令 。x7. 设多项式展开： ，则14131314095 )()()()23(1 axxaxx （ D）310aA. B. C. D. 939
12、52525923解：观察右边的形式：可令 ，则 ；0x91431aa此时，离目标多了一个 ；14a再令 ，则 ；1x542所以： 。1310a 598. 若 ，则 的值为？2091029)( xaxx 20921aa解：观察所求的形式：令 ，则 ；209210再令 ，则 ；0x1a所以： 。220919. 已知 是函数 图象的一条对称轴， ，4xxaxfcosin)(2014)1(iixax则 的为？201ia解：由题意可知： ；af1)2(令 ，则 ；0x1a令 ，则 ；02141010所以： 。12041a10. 若 ，则 的值。2013103)( xaxx 201331a解：发现要求的是
13、 的奇数次幂的系数和；令 ，则 ；1x120310a令 ，则 ；201320133210 a所以： 。01201331a11. 设 ，求 的值。4104)2( xax 231240)()(aa解： ；()( 4321043210231240a即： 6)()( 4231240 12. 若 ，则 的值。20131023)( xaxax 120312aa解：发现所求的式子分母中都有 ，所以：1)22(221 0131103aaa令 ，则： ；x201320令 ，则 ；10a所以： ；220131又 ；46013Ca11所以： 。40261)2(1221 2303 aaa13. 已知 ，则 （ D）8
14、2108)21( xaxax 821aA. B. C. D. 66解：发现求的形式，用常规的思想不好解，令 不行；令 也不行；1x1x再观察发现 前面的系数，正好是对应的 的次数；ia所以两边都时求导，即： 7821782108 )2(16)()21( xaaxxaxax 此时，令 ，则：。8216aa14. 若 ，则求 的值。201410214)( xaxx iia2014解：由上一题的解法，发现每个要求的 前的系数正好是对应 的次数加 1；i x联想到可求积分，即：；12052014)(3)( Cxx；2014220214010 5Cxaxaa 则： ；125)(43x 20142210令
15、 ，则 ；1121405aa令 ，则 ；0x1243C12所以： 。201543201510 aa4、 组合、整除1. 已知 ，则 （ ）10101 )()()( xaxax 8aA. B. C. D. 59解：二项式展开 中的 仅仅是字母的表示，可以代表一个整体；nba)(,观察右边的形式，可以发现 应该是 中的一个；)1(xba,；01010 2)()(x所以 。8810Ca也可根据次数，直接定位出 的值。8a2. 已知 ，则 的值。101012 )()(xxx 9a解：由题意发现， 的值与 无关；9a2且 应该是 中的一个；)1(xb,所以： ；100)(所以 。109Ca3. 将 表示
16、为 ，则 =？5)(xf 510 )1()()( xaxaxf 43a解：由题意可知： 应该是 中的一个；1b,13所以： ；552)1()(x所以： 。30453Ca4. 展开式中的常数项为（C ）32)1(xA. B. C. D. 82020解法一：由展开式的原理可知：要出现常数项，要么都是常数，要么 的次数和为 0；x所以： 。20)()2(123C解法二：把三项中的两项看成一个整体，再利用二项式展开定理进行展开；，3232)1()1(xx所以通项为： ；11123rrrC又 展开的通项为：1)(2rx2124rrx所以： 的展开式为： （ ）322121433)(rrrxC1210,3
17、r所以常数项可能的情况为： 或 ；012r12故常数项为： ；)()(23C解法三： ；632 )1(1xxx故展开式的通项为： ；rr266)(所以常数项为 ；3。20)1(36C145. 的展开式中， 项的系数为？9)(cba234cba解：由上题解法一思想：在 9 个括号中，分别去取项；则 的系数为： 。234cba12603549C6. 求 的值。 （用含有 的式子来表示）nn1216 n解：观察形势，发现与二项式展开的形式比较接近，但是 的次数不匹配；6所以 ；)16(1621021 nnnnn CCC则可发现 肯定是 中的一个；ba,所以： ；617)66(1210 nnnnCC也
18、即： 。121nnn7. 证明： 能被 整除。9832n64解：要证明能被 64 整数，希望原来的式子化简完后每个因式都能被 64 整除；结合二项式展开定理的形式，希望 中的一个为 或 的某个因子；ba,64；nnn)81(9)9312则 ；22328)8( nnnn CC所以： ；)1(932 22321 89989nnnC所以： ；nn6482 2232nn所以 能被 64 整除。932n15课后练习1. 求 展开式中 的系数。92)1(x9x212. 求二项式 的展开式中第几项为常数项，并求出常数项的值。第四项，6 203. 若 的展开式中，第 5 项为常数项，求 的值。6nx)1(2n
19、4. 展开式中各项系数绝对值之和。535. 求 展开式中 的系数。82)()(2xx 3x6. 在 展开式中，只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式中常数项为？nx)13(47. 已知函数 ， ，则 展开式中常数项是（ C）xfxf)2()(3)2(fnnx)A. 第 7 项 B. 第 8 项 C. 第 9 项 D. 第 10 项8. 若 ，则 ？5432105)32( xaxaxx 54321aa109. 已知 ，求 ？10101 )()()( xxx 810. 求 。nnCC1213 411. 求 的展开式中 的一次项系数。52)(xx1612. 求 的常数项。4)21(x13. 设二项式 的展开式中各项系数和为 ，二项式系数和 ，若nx)13(42ps，则 的值为？512spn14. 求证： 。11432 322nnnn CC15. 求 被 除的余数。87116. 求 的展开式中的常数项为？5)2(x17. 求证： 112nnC18. 求证： )12(32210 nnnn
