1、1第十一单元 空间位置关系教材复习课 “空间位置关系”相关基础知识一课过4 个公理过双基1平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2平行公理公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行小 题 速 通 1以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点 A， B，
2、 C， D 共面，点 A， B， C， E 共面，则点 A， B， C， D， E 共面；若直线 a， b 共面，直线 a， c 共面，则直线 b， c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是( )A0 B1C2 D3解析：选 B 假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确从条件看出两平面有三个公共点A， B， C，但是若 A， B， C 共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形2下列命题中，真命题是( )A空间不同三点确定一个平面B空间两两相交的三条直线确定一个
3、平面C两组对边相等的四边形是平行四边形D和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内2解析：选 D A 是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；B 不正确，两两相交的三条直线不一定共面；C 不正确，两组对边相等的四边形可能是空间四边形；D 正确，故选 D.3三个不同的平面可能把空间分成_部分(写出所有可能的情况)解析：如图(1)，可分成四部分(互相平行)；如图(2)(3)，可分成六部分(两种情况)；如图(4)，可分成七部分；如图(5)，可分成八部分答案：4,6,7,8清易错1三点不一定确定一个平面当三点共线时，可确定无数个平面2判断由所给元素(点或直线)确定平面时，关键是分析所给元素是否具有确
4、定唯一平面的条件，如不具备，则一定不能确定一个平面1如图是正方体或四面体， P， Q， R， S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )解析：选 D A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面2过同一点的 4 条直线中，任意 3 条都不在同一平面内，则这 4 条直线确定平面的个数是_解析：设四条直线为 a， b， c， d，则这四条直线中每两条都确定一个平面，因此， a与 b， a 与 c， a 与 d， b 与 c， b 与 d， c 与 d 都分别确定一个平面，共 6 个平面答案：6空间点、线、面的位置关系过双基1空间直线间的位置关系(1)空间中两直线的位置关系Error
5、!(2)异面直线所成的角定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)3范围： .(0， 2(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况小 题 速 通 1若空间三条直线 a， b， c 满足 a b， b c，则直线 a 与 c( )A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交或异面都有可能解析：选 D 当 a，
6、b， c 共面时， a c；当 a， b， c 不共面时， a 与 c 可能异面也可能相交2若平面 上存在不同的三点到平面 的距离相等且不为零，则平面 与平面 的位置关系为( )A平行 B相交C平行或重合 D平行或相交解析：选 D 当两个平面平行时，平面 上存在无数多个点到平面 的距离相等且不为零，满足题意；当两个平面相交时，可以从交线的两侧去找三个点到平面 的距离相等且不为零故选 D.3在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别为棱 BC 和棱 CC1的中点，则异面直线 AC 和 MN所成的角为( )A30 B45C60 D90解析：选 C 连接 AD1，则 AD1与 MN 平行
7、所以 D1AC 为异面直线 AC 和 MN 所成的角的平面角因为 D1AC 是正三角形，所以 D1AC60.4在正四面体 ABCD 中， M， N 分别是 BC 和 DA 的中点，则异面直线 MN 和 CD 所成的角为_解析：因为 ABCD 是正四面体，所以 AB CD.取 AC 的中点 E，连接 ME， NE，则 ENM 的大小为异面直线 MN 和 CD 所成角的大小因为 ME NE，且 ME NE，所以 ENM . 4答案： 4清易错41异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线” ，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交2直线与平面的位置关系
8、在判断时最易忽视“线在面内” 1.如图所示，在三棱锥 PABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )A2 对 B3 对C4 对 D6 对解析：选 B 依题意，异面直线有 AP 与 BC， PB 与 AC， CP 与 AB，共 3 对2若直线 a b，且直线 a平面 ，则直线 b 与平面 的位置关系是( )A b B b C b 或 b D b 与 相交或 b 或 b 解析：选 D b 与 相交或 b 或 b 都可以平行关系 4 定理过双基1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)
9、l a， a ，l ， l 性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”) l ， l ， b， lb2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”) a ， b ，a b P， a ，b ， 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ， a， b， a b小 题 速 通 51过平面 外的直线 l，作一组平面与 相交，如果所得的交线分别为a， b， c，那么这些交线的位置关系为( )A都平行B都
10、相交且一定交于同一点C都相交但不一定交于同一点D都平行或交于同一点解析：选 D 若 l平面 ，则交线都平行；若 l平面 A，则交线都交于同一点 A.2下列说法中正确的是( )一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行A BC D解析：选 D 由线面平行的性质定理知正确；由直线与平面平行的定义知正确；错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面3已知直线 a平面 ， P ，那么过点 P 且平行于直线 a 的直线( )A只有一点，不在平面 内B有无
11、数条，不一定在平面 内C只有一条，在平面 内D有无数条，一定在平面 内解析：选 C 由线面平行的性质可知 C 正确4设 ， ， 为三个不同的平面， m， n 是两条不同的直线，在命题“ m， n ，且_，则 m n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题 ， n ； m ， n ； n ， m .可以填入的条件有_解析：由面面平行的性质定理可知，正确；当 n ， m 时， n 和 m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确答案：或清易错1直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件2面面平行的判定中易忽视“面内两条直线相交”这一条件，如果一个平面内有无数条直线与另一个
12、平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交1已知直线 a 与直线 b 平行，直线 a 与平面 平行，则直线 b 与 的关系为( )A平行 B相交6C直线 b 在平面 内 D平行或直线 b 在平面 内解析：选 D 依题意，直线 a 必与平面 内的某直线平行，又 a b，因此直线 b 与平面 的位置关系是平行或直线 b 在平面 内2设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ， “m ”是“ ”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 B 当 m 时，过 m 的平面 与 可能平行也可能相交，因而 m / ；当 时， 内任一直线与 平行，因为 m ，
13、所以 m .综上知， “m ”是“ ”的必要不充分条件.垂直关系 4 定理过双基1直线与平面垂直的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直Error! l 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 Error!a b2平面与平面垂直的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直Error! 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直Error!l 小 题 速 通 1.如图，在三棱锥 PABC 中，不能证明 AP BC 的条件是( )A AP P
14、B， AP PCB AP PB， BC PBC平面 BPC平面 APC， BC PC7D AP平面 PBC解析：选 B A 中，因为 AP PB， AP PC， PB PC P，所以 AP平面 PBC，又 BC平面 PBC，所以 AP BC，故 A 正确；C 中，因为平面 BPC平面 APC， BC PC，所以 BC平面APC，又 AP平面 APC，所以 AP BC，故 C 正确；D 中，由 A 知 D 正确；B 中条件不能判断出AP BC，故选 B.2设 ， ， 为不同的平面， m， n， l 为不同的直线，则 m 的一个充分条件为( )A ， l， m l B m， ， C ， ， m D
15、 n ， n ， m 解析：选 D 若 ， l， m l，则 m 与 的位置不确定；若 m， ， ，则 ， 可能平行，此时 m ；若 ， ， m ，则 ， 不一定平行，所以 m 不一定与 垂直；若n ， n ，则 ，又 m ，则 m .故选 D.3.如图， BAC90， PC平面 ABC，则在 ABC 和 PAC 的边所在的直线中，与 PC 垂直的直线有_；与 AP 垂直的直线有_解析： PC平面 ABC， PC 垂直于直线AB， BC， AC； AB AC， AB PC， AC PC C， AB平面 PAC，与 AP 垂直的直线是 AB.答案： AB， BC， AC AB4已知 PD 垂直于
16、正方形 ABCD 所在的平面，连接 PB， PC， PA， AC， BD，则一定互相垂直的平面有_对解析：由于 PD平面 ABCD，故平面 PAD平面 ABCD，平面 PDB平面 ABCD，平面PDC平面 ABCD，平面 PDA平面 PDC，平面 PAC平面 PDB，平面 PAB平面 PAD, 平面PBC平面 PDC，共 7 对答案：75.如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接 AC， BD，则 AC BD.8 PA底面 ABCD，
17、PA BD.又 PA AC A， BD平面 PAC， BD PC.当 DM PC(或 BM PC)时，即有 PC平面 MBD.而 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD.答案： DM PC(或 BM PC)清易错1证明线面垂直时，易忽视“面内两条直线相交”这一条件2面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视3面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误1已知 m， n 为不同的直线， ， 为不同的平面，则下列说法中正确的是( )A m ， n mn B m ， n mn C m ， n ， m n D n ， n 解析：选 D 对于选项 A，由直线与平面平
18、行的判定定理可知，还需要满足 n 在平面 外；对于选项 B，根据直线与平面垂直的判定定理可知，要使直线垂直平面，直线应该垂直平面内的两条相交直线；对于选项 C，这两个平面也有可能相交；由平面与平面垂直的判定可知，选项 D 成立故选 D.2下列说法中，错误的是( )A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析：选 D A 项显然正确根据面面垂直的判定，B 项正确对于选项 C，设 m， n，在平面 内取一点 P
19、 不在 l 上，过 P 作直线 a， b，使 a m， b n. ， a m， a ， a l，同理有 b l，又 a b P， a ， b ，9 l ，故选项 C 正确对于选项 D，设 l，则 l ，但 l ，故在 内存在直线不垂直于平面 ，即选项 D 错误3若不同的两点 A， B 到平面 的距离相等，则下列命题中一定正确的是( )A A， B 两点在平面 的同侧B A， B 两点在平面 的异侧C过 A， B 两点必有垂直于平面 的平面D过 A， B 两点必有平行于平面 的平面解析：选 C 由题意得 A， B 两点在平面 的同侧或异侧，排除 A、B；当 A， B 两点在平面 的异侧时，过 A
20、， B 两点不存在平行于平面 的平面，排除 D.故选 C.一、选择题1设三条不同的直线 l1， l2， l3，满足 l1 l3， l2 l3，则 l1与 l2( )A是异面直线B是相交直线C是平行直线D可能相交、平行或异面解析：选 D 如图所示，在正方体 ABCDEFGH 中，AB AD， AE AD，则 AB AE A； AB AE， AE DC，则AB DC； AB AE， FH AE，则 AB 与 FH 是异面直线，故选 D.2.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F， G， H 分别为AA1， AB， BB1， B1C1的中点则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于
21、( )A45 B60C90 D 120解析：选 B 如图所示，连接 BA1， BC1， A1C1，易知三角形 BA1C1是等边三角形，因为 E， F， G， H 分别为 AA1， AB， BB1， B1C1的中点，则EF BA1， GH BC1，所以 A1BC160是异面直线 EF 与 GH 所成的角3已知空间两条不同的直线 m， n 和两个不同的平面 ， ，则下列命题中正确的是( )A若 m ， n ， ，则 m nB若 m ， n ， ，则 m nC若 m ， n ， ，则 m nD若 m ， n ， ，则 m n10解析：选 D 若 m ， n ， ，则 m 与 n 平行或异面，即 A
22、错误；若m ， n ， ，则 m 与 n 相交或平行或异面，即 B 错误；若m ， n ， ，则 m 与 n 相交、平行或异面，即 C 错误，故选 D.4.(2018广东模拟)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形， E， F 分别为 PA， PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论： BE 与 CF 异面； BE 与 AF 异面； EF平面 PBC；平面 BCE平面 PAD.其中正确结论的个数是( )A1 B2C3 D4解析：选 B 画出该几何体，如图，因为 E， F 分别是 PA， PD 的中点，所以 EF AD，所以 EF BC， BE 与 CF 是共面直线，故
23、不正确； BE 与 AF 满足异面直线的定义，故正确；由 E， F 分别是 PA， PD 的中点，可知 EF AD，所以 EF BC，因为 EF平面 PBC， BC平面 PBC，所以 EF平面 PBC，故正确；因为 BE 与 PA 的关系不能确定，所以不能判定平面 BCE平面 PAD，故不正确故选 B.5.如图所示， P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O， M 为 PB 的中点，给出下列五个结论： PD平面 AMC； OM平面PCD； OM平面 PDA； OM平面 PBA； OM平面 PBC.其中正确的个数有( )A1 B2C3 D4解析：选 C 因为矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，所以 O 为 BD 的中点在 PBD中， M 是 PB 的中点，所以 OM 是 PBD 的中位线， OM PD，则 PD平面 AMC， OM平面PCD，且 OM平面 PDA.因为 M PB，所以 OM 与平面 PBA、平面 PBC 相交6(2018余姚模拟)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别是 BC1， CD1的中点，则下列说法错误的是( )A MN 与 CC1垂直B MN 与 AC 垂直
