1、2016 年山东省淄博市高考数学一模试卷一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1 （5 分） （2016 淄博一模）i 是虚数单位，复数 表示的点落在哪个象限（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分） （2016 淄博一模）设集合 A=x|1x2，B=x|xa，若 AB，则 a 的取值范围是（ ）Aa2 Ba 2 Ca 1 Da13 （5 分） （2016 淄博一模）下列选项错误的是（ ）A命题“若 x 1，则 x23x+20” 的逆否命题是“若 x23x+2=0，则 x=1”B “x2”是“x 23x+20”的充分不必要条件C若命题“p：xR，x 2+x+10”
2、，则“p：x 0R，x 02+x0+1=0”D若“pq” 为真命题，则 p、q 均为真命题4 （5 分） （2016 河北区二模）使函数 是奇函数，且在 上是减函数的 的一个值是（ ）A B C D5 （5 分） （2016 福安市校级模拟）已知平面向量 ， 的夹角为 ，且| |=1，| +2 |=2 ，则| |=（ ）A2 B C1 D36 （5 分） （2016 淄博一模）在正项等比数列a n中，若 3a1， a3，2a 2 成等差数列，则=（ ）A3 或1 B9 或 1 C3 D97 （5 分） （2016 淄博一模）已知双曲线 =1 的一个焦点与抛物线 x2=12y 的焦点相同，则此双
3、曲线的渐近线方程为（ ）Ay= xBy= x Cy= x Dy= x8 （5 分） （2016 淄博一模）三棱锥 SABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 SB 的长为（ ）A2 B4 C D169 （5 分） （2016 淄博一模）如果执行如所示的程序框图，那么输出的 S=（ ）A119 B600 C719 D494910 （5 分） （2016 淄博一模）任取 k1，1，直线 L：y=kx +3 与圆 C：（x2） 2+（y3）2=4 相交于 M、 N 两点，则|MN |2 的概率为 （ ）A B C D11 （2014重庆）某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目
4、和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A72 B120 C144 D168二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 25 分）12 （5 分） （2016 淄博一模）函数 f（x）= ，若 f（a）a，则实数 a 的取值范围是_13 （5 分） （2016 淄博一模） （文科）某校女子篮球队 7 名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为 175cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末尾数记为 x，那么 x 的值为_14 （2016淄博一模）二项式 的展开式中 x5 的系数为 ，则=_15 （5 分） （2016 淄
5、博一模）锐角三角形 ABC 中，a、b、c 分别是三内角 A、B 、C 的对边，设 B=2A，则 的取值范围是_16 （5 分） （2016 淄博一模）若 x、y 满足 ，则 z=y |x|的最大值为_17 （5 分） （2016 淄博一模） （文科）已知函数 f（n） ，nN *，且 f（n） N*若 f（n）+f（n+1）+f （f （n） ）=3n +1，f （1）1，则 f（6）=_18 （2016淄博一模）设函数 f（x）=|lg（x+1）|，实数 a，b（ab）满足 f（a）=f（） ，f（10a+6b+21）=4lg2，则 a+b 的值为_二、解答题（本大题共 6 个小题，共 7
6、5 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19 （12 分） （2016 淄博一模）已知向量 =（cosx，sinx） ， =（2 +sinx，2 cosx） ，函数 f（x）= ，xR（）求函数 f（x）的最大值；（）若 x（ ， ）且 f（x）=1，求 cos（x+ ）的值20 （12 分） （2016 淄博一模） （文科）学业水平考试后，某校对高二学生的数学、英语成绩进行了统计，结果如下（人数）：数学项目优秀 合格 不合格优秀 70 30 20合格 60 240 b英语不合格 a 20 10已知英语、数学的优秀率分别为 24%、30% （注：合格人数中不包含优秀人数） （1）求 a
7、、b 的值；（11）现按照英语成绩的等级，采用分层抽样的方法，从数学不合格的学生中选取 6 人，若再从这 6 人中任选 2 人，求这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率21 （2016淄博一模） （理科）四棱镜 PABCD 中，PD平面ABCD，2AD=AB=BC=2a，ADBC，PD= a，DAB=60（）若平面 PAD平面 PBC=l，求证：l BC；（）求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的大小22 （12 分） （2016 淄博一模） （文科）四棱镜 PABCD 中， PD平面ABCD，2AD=AB=BC=2a，ADBC，PD= a，DAB=60，Q 是 PB 的中点（）
8、若平面 PAD平面 PBC=l，求证：l BC；（）求证：DQPC23 （2016淄博一模）袋中共有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中（1）重复上述过程 2 次后，求袋中有 4 个白球的概率（2）重复上述过程 3 次后，记袋中白球的个数为 X，求 X 的数学期望24 （12 分） （2016 淄博一模）设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 an=3Sn，数列b n为等差数列，且 b5=15，b 7=21（）求数列a n的通项公式 an；（）将数列 中的第
9、b1 项，第 b2 项，第 b3 项，第 bn 项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列c n，求数列c n的前 2016 项和25 （2016淄博一模） （理科）已知各项均不相等的等差数列a n的前四项和为 16，且a1，a 2，a 5 成等比数列，数列b n满足 bn= （）求数列a n的通项公式 an，和b n的前 n 项和 Tn；（）是否存在正整数 s，t（ 1st ） ，使得 T1，T s，T t 成等比数列？若存在，求出 s，t的值；若不存在，请说明理由26 （13 分） （2016 淄博一模） （文科）如图所示的封闭曲线 C 由曲线C1： + =1（a b0， y0）和曲线
10、 C2：x 2+y2=r2（ y0）组成，已知曲线 C1 过点（， ） ，离心率为 ，点 A、B 分别为曲线 C 与 x 轴、y 轴的一个交点（）求曲线 C1 和 C2 的方程；（）若点 Q 是曲线 C2 上的任意点，求QAB 面积的最大值；（）若点 F 为曲线 C1 的右焦点，直线 l：y=kx +m 与曲线 C1 相切于点 M，与 x 轴交于点N，直线 OM 与直线 x= 交于点 P，求证：MFPN27 （2016淄博一模） （理科）如图所示的封闭曲线 C 由曲线C1： + =1（a b0， y0）和曲线 C2：y=nx 21（y0）组成，已知曲线 C1 过点（， ） ，离心率为 ，点 A
11、、B 分别为曲线 C 与 x 轴、y 轴的一个交点（）求曲线 C1 和 C2 的方程；（）若点 Q 是曲线 C2 上的任意点，求QAB 面积的最大值及点 Q 的坐标；（）若点 F 为曲线 C1 的右焦点，直线 l：y=kx +m 与曲线 C1 相切于点 M，且与直线 x=交于点 N，求证：以 MN 为直径的圆过点 F28 （14 分） （2016 淄博一模） （文科）设函数 f（x）=x（e x1）ax 2（e=2.71828是自然对数的底数） （）若 a= ，求 f（x）的单调区间；（）若当 x0 时，f（x） 0，求 a 的取值范围；（）若 f（x）无极值，求 a 的值29 （2016淄博
12、一模） （理科）设函数 f（x）=x（e x1） ax2（e=2.71828是自然对数的底数） （）若 a= ，求 f（x）的单调区间；（）若 f（x）在（1，0）无极值，求 a 的取值范围；（）设 nN*，x0，求证：e x1+ + + 注：n！=n（n1）212016 年山东省淄博市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1 （5 分） （2016 淄博一模）i 是虚数单位，复数 表示的点落在哪个象限（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】根据复数的几何意义，利用复数的基本运算先化简即可得到结论【解答】解： = =38i，对应的坐标为
13、（3， 8） ，位于第三象限，故选：C【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算先化简是解决本题的关键2 （5 分） （2016 淄博一模）设集合 A=x|1x2，B=x|xa，若 AB，则 a 的取值范围是（ ）Aa2 Ba 2 Ca 1 Da1【分析】由集合 A=x|1x2，B=x|xa，A B，即可得出 a 的取值范围【解答】解：集合 A=x|1x2，B=x|xa，AB ，a2则 a 的取值范围是 a2故选：A【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，属于基础题3 （5 分） （2016 淄博一模）下列选项错误的是（ ）A命题“若 x 1，则 x23x+20” 的逆否命题是
14、“若 x23x+2=0，则 x=1”B “x2”是“x 23x+20”的充分不必要条件C若命题“p：xR，x 2+x+10” ，则“p：x 0R，x 02+x0+1=0”D若“pq” 为真命题，则 p、q 均为真命题【分析】A根据逆否命题的定义进行判断B根据充分条件和必要条件的定义进行判断C根据含有量词的命题的否定进行判断D根据复合命题真假关系进行判断【解答】解：A命题“若 x 1，则 x23x+20” 的逆否命题是 “若 x23x+2=0，则 x=1”，故A 正确，B由 x23x+2 0 得 x2 或 x1，即“x2” 是“x 23x+20” 的充分不必要条件，故 B 正确，C若命题“p：x
15、R，x 2+x+10” ，则“p：x 0R，x 02+x0+1=0”，故 C 正确，D若“pq” 为真命题，p、q 至少有一个为真命题，故 D 错误，故选：D【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，但难度不大4 （5 分） （2016 河北区二模）使函数 是奇函数，且在 上是减函数的 的一个值是（ ）A B C D【分析】利用两角和正弦公式化简函数的解析式为 2sin（2x+ ） ，由于它是奇函数，故+ =k，kz，当 k 为奇数时，f（x）=2sin2x，满足在 上是减函数，此时，=2n ，n z，当 k 为偶数时，经检验不满足条件【解答】解：函数 =2sin（2x+ ） 是奇
16、函数，故 + =k，kZ，=k 当 k 为奇数时，令 k=2n1，f（x）=2sin2x，满足在 上是减函数，此时，=2n，nZ，选项 B 满足条件当 k 为偶数时，令 k=2n，f（x）=2sin2x ，不满足在 上是减函数综上，只有选项 B 满足条件故选 B【点评】本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，奇偶性，体现了分类讨论的数学思想，化简函数的解析式是解题的突破口5 （5 分） （2016 福安市校级模拟）已知平面向量 ， 的夹角为 ，且| |=1，| +2 |=2 ，则| |=（ ）A2 B C1 D3【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可【解答】解：| +2 |=2 ，
17、 +4 +4 =| |2+4| | |cos +4| |2=| |2+2| |+4=12，解得| |=2，故选：A【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题6 （5 分） （2016 淄博一模）在正项等比数列a n中，若 3a1， a3，2a 2 成等差数列，则=（ ）A3 或1 B9 或 1 C3 D9【分析】设正项等比数列a n的公比为 q0，由于 3a1， a3，2a 2 成等差数列，可得a3=2a2+3a1，解出 q，即可得出【解答】解：设正项等比数列a n的公比为 q0，3a 1， a3，2a 2 成等差数列，a 3=2a2+3a1，化为 ，即 q22q3=0，
18、解得 q=3则 = =q2=9，故选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7 （5 分） （2016 淄博一模）已知双曲线 =1 的一个焦点与抛物线 x2=12y 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（ ）Ay= xBy= x Cy= x Dy= x【分析】求得抛物线的焦点，由题意可得 3= ，解方程可得 m，可得双曲线的方程，再将其中的“1”换为“0”，进而得到所求渐近线方程【解答】解：抛物线 x2=12y 的焦点为（0，3） ，由双曲线 =1 的一个焦点与抛物线 x2=12y 的焦点相同，可得 3= ，解得 m=4，即有双曲线的方程为 =1，可得渐近
19、线方程为 y= x故选：C【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用抛物线的焦点和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题8 （5 分） （2016 淄博一模）三棱锥 SABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 SB 的长为（ ）A2 B4 C D16【分析】由已知中的三视图可得 SC平面 ABC，底面 ABC 为等腰三角形，SC=4 ，ABC 中 AC=4，AC 边上的高为 2 ，进而根据勾股定理得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得 SC平面 ABC，且底面ABC 为等腰三角形，在ABC 中 AC=4，AC 边上的高为 2 ，故 BC=4，在 Rt SBC 中，由 SC=
20、4，可得 SB=4 ，故选 B【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键9 （5 分） （2016 淄博一模）如果执行如所示的程序框图，那么输出的 S=（ ）A119 B600 C719 D4949【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 T，S，k 的值，当 k=6 时不满足条件 k5，退出循环，输出 S 的值为 719【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0，T=1满足条件 k5，T=1，S=1， k=2满足条件 k5，T=2，S=5， k=3满足条件 k5，T=6，S=23， k=4满足条件 k5，T=24，S
21、=119，k=5满足条件 k5，T=120，S=719，k=6不满足条件 k5，退出循环，输出 S 的值为 719故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的 T，S，k 的值是解题的关键，属于基础题10 （5 分） （2016 淄博一模）任取 k1，1，直线 L：y=kx +3 与圆 C：（x2） 2+（y3）2=4 相交于 M、 N 两点，则|MN |2 的概率为 （ ）A B C D【分析】直线与圆相交，有两个公共点，设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r，则可构建直角三角形，从而将问题仍然转化为点线距离问题然后结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解
22、：由圆的方程得：圆心（2，3） ，半径 r=2，圆心到直线 y=kx+3 的距离 d= ，|MN|2 ，2 =2 2 ，变形整理得 4k2+44k23k 2+3，即解得： k ，k 的取值范围是 ， 则对应|MN|2 的概率 P= =故选 A【点评】本题主要考查几何概型的计算，根据直线和圆的位置关系求出|MN|2 对应的k 的取值范围是解决本题的关键11 （2014重庆）某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A72 B120 C144 D168【分析】根据题意，分 2 步进行分析：、先将 3 个歌舞类节目全排列，、
23、因为 3 个歌舞类节目不能相邻，则分 2 种情况讨论中间 2 个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案【解答】解：分 2 步进行分析：1、先将 3 个歌舞类节目全排列，有 A33=6 种情况，排好后，有 4 个空位，2、因为 3 个歌舞类节目不能相邻，则中间 2 个空位必须安排 2 个节目，分 2 种情况讨论：将中间 2 个空位安排 1 个小品类节目和 1 个相声类节目，有 C21A22=4 种情况，排好后，最后 1 个小品类节目放在 2 端，有 2 种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是 642=48 种；将中间 2 个空位安排 2 个小品类节目，有
24、 A22=2 种情况，排好后，有 6 个空位，相声类节目有 6 个空位可选，即有 6 种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是 626=72 种；则同类节目不相邻的排法种数是 48+72=120，故选：B【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 25 分）12 （5 分） （2016 淄博一模）函数 f（x）= ，若 f（a）a，则实数 a 的取值范围是 a1 【分析】根据分段函数的表达式进行解不等式即可得到结论【解答】解：若 a0，则由 f（a）a 得 a1a，即 a 1，则，即 a2此时 a0
25、，若 a0 时，则由 f（a）a 得 a ，即 1a 2，则1a 1，此时 1a0，综上 a1，故答案为：a1【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式进行讨论求解即可13 （5 分） （2016 淄博一模） （文科）某校女子篮球队 7 名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为 175cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末尾数记为 x，那么 x 的值为 2 【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数公式即可求出 x 的值【解答】解：根据茎叶图中的数据知，170+ （1+2+x+4+5+10+11）=175，即 （33+x）=5，即 33+x=
26、35，解得 x=2故答案为：2【点评】本题主要考查茎叶图的应用问题，根据平均数的公式建立方程即可求解，是基础题14 （2016淄博一模）二项式 的展开式中 x5 的系数为 ，则 = 【分析】先用二项式定理求得 a 的值，再求定积分的值【解答】解：由二项式定理可得： 的系数为 ，则 a=1，= dx= =故答案为：【点评】本题考查二项式定理及定积分求值，属于常见题型，属于基础题15 （5 分） （2016 淄博一模）锐角三角形 ABC 中，a、b、c 分别是三内角 A、B 、C 的对边，设 B=2A，则 的取值范围是 （ ， ） 【分析】根据正弦定理可得到 ，结合 B=2A 根据二倍角公式可得，
27、整理得到 =2cosA，再求得 A 的范围即可得到 的取值范围【解答】解：由正弦定理：得 ，B=2A， ， =2cosA，当 B 为最大角时 B90 ，A45，当 C 为最大角时 C90 ，A30，30A45，2cos452cosA2cos30 ， （ ， ） 故答案为：（ ， ） 【点评】本题主要考查正弦定理和二倍角公式的应用正弦定理和余弦定理在解三角形中应用比较多，这两个定理和其推论一定要熟练掌握并能够灵活运用，属于中档题16 （5 分） （2016 淄博一模）若 x、y 满足 ，则 z=y |x|的最大值为 【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可【解答】解
28、： 表示的可行域如图：z=y |x|，即：y= +z=，由 可得，A （1，3） ，目标函数经过 A（1，3）时取得最大值： 故答案为： 【点评】本题考查简单线性规划的应用，考查计算能力17 （5 分） （2016 淄博一模） （文科）已知函数 f（n） ，nN *，且 f（n） N*若 f（n）+f（n+1）+f （f （n） ）=3n +1，f （1）1，则 f（6）= 5 【分析】由 f（n）+f（n+1）+f（f （n） ）=3n+1，可得：f（1）+f （2）+f（f（1） ）=4，由于f（1）1，且 f（n）N *则必有 f（1）=2，化为 2+f（2）+f（2）=4，解得 f（2
29、）=1分别令 n=2，3，4，5，即可得出【解答】解：f（n）+f（n+1）+f（f （n） ）=3n+1，f（1）+f （2）+f （f（1） ）=4，f（1）1，且 f（n）N *则必有 f（1）=2，化为 2+f（2）+f（2）=4 ，解得 f（2）=1，满足题意令 n=2，则 f（2）+f（3）+f（f （2） ）=7，可得：1+f（3） +f（1）=7，可得 f（3）=4令 n=3，则 f（3）+f（4）+f（f （3） ）=10，可得：4+f（4 ）+f （4）=10，可得 f（4）=3令 n=4，则 f（4）+f（5）+f（f （4） ）=13，可得：3+f（5 ）+f （3）=
30、13，即 3+f（5）+4=13，可得 f（5）=6 令 n=5，则 f（5）+f（6）+f（f （5） ）=13，可得：6+f（6 ）+f （6）=16，可得 f（6）=5故答案为：5【点评】本题考查了抽象函数的性质及其求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （2016淄博一模）设函数 f（x）=|lg（x+1）|，实数 a，b（ab）满足 f（a）=f（） ，f（10a+6b+21）=4lg2，则 a+b 的值为 【分析】根据题目给出的等式 f（a）=f（ ） ，代入函数解析式得到 a、b 的关系，从而判断出 f（10a+6b+21）的符号，再把 f（10a +6b+
31、21）=4lg2 ，转化为含有一个字母的式子即可求解【解答】解：因为 f（a）=f（ ） ，所以|lg（a+1）|=|lg（ +1）|=|lg（ ）|=|lg（b+2）| ，所以 a+1=b+2，或（a +1） （b+2）=1，又因为 ab，所以 a+1b+2，所以（a+1） （b+2）=1又由 f（a）= |lg（a +1）|有意义知 a+10，从而 0a+1b+1b+2，于是 0a+11b+2所以（10a+6b+21）+1=10（a+1）+6（b+2）=6（b+2）+ 1从而 f（10a+6b+21）= |lg6（b+2）+ |=lg6（b+2） + 又 f（10a +6b+21）=4lg
32、2，所以 lg6（b+2）+ =4lg2，故 6（b+2）+ =16解得 b= 或 b=1（舍去） 把 b= 代入（a +1） （b+2）=1 解得 a= 所以 a= ，b= a+b= 故答案为： 【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了数学代换思想，解答此题的关键是根据第一个等式找出 a 和 b 之间的关系，然后把一个字母用另一个字母代替，借助于第二个等式求解二、解答题（本大题共 6 个小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19 （12 分） （2016 淄博一模）已知向量 =（cosx，sinx） ， =（2 +sinx，2 cosx） ，函数 f（x）=
33、 ，xR（）求函数 f（x）的最大值；（）若 x（ ， ）且 f（x）=1，求 cos（x+ ）的值【分析】 （）由向量的数量积和三角函数公式可得 f（x）=4sin（x+ ） ，可得最大值；（）由题意可得 sin（x+ ）= ，由 x 范围和同角三角函数基本关系可得 cos（x+ ）= ，整体代入 cos（x+ ）=cos（x+ ）+ = cos（x+ ） sin（x+ ） ，计算可得【解答】解：（） =（cosx ，sinx ） ， =（2 +sinx，2 cosx） ，f（x）= =cosx（2 +sinx）+sinx（2 cosx）=2 （sinx +cosx）=4sin（x+ ） ，
34、函数 f（x）的最大值为 4；（）f（x）=4sin（x+ ）=1，sin（x+ ）= ，x（ ， ） ，x+ （ ， ） ，cos（x+ ）= ，cos（x+ ）=cos（x+ ）+ = cos（x+ ） sin（x+ ）= =【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及向量的运算和和差角的三角函数，属中档题20 （12 分） （2016 淄博一模） （文科）学业水平考试后，某校对高二学生的数学、英语成绩进行了统计，结果如下（人数）：数学项目优秀 合格 不合格优秀 70 30 20合格 60 240 b英语不合格 a 20 10已知英语、数学的优秀率分别为 24%、30% （注：合格人数中不包含优
35、秀人数） （1）求 a、b 的值；（11）现按照英语成绩的等级，采用分层抽样的方法，从数学不合格的学生中选取 6 人，若再从这 6 人中任选 2 人，求这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率【分析】 （）设该校高二学生共有 x 人，依题意，得： ，由此能求出 a、b 的值（）由题意，得抽取的数学不及格的 6 人中，英语优秀的应取 2 人，利用列举法能求出这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率【解答】解：（）设该校高二学生共有 x 人，已知英语优秀的有 70+30+20=120 人，依题意，得： ，解得 x=500，解得 a=20，由学生总数为 500 人，得 b=30（）由题意
36、，得抽取的数学不及格的 6 人中，英语优秀的应取 2 人，分别记为 a1，a 2，英语合格的 3 人，分别记为 b1，b 2，b 3，英语不合格的应取 1 人，记为c，从中任取 2 人的所有结果有： =15 种，这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的基本事件有：a1，b 1，a 1，b 2，a 1，b 3，a 2，b 1，a 2，b 2，a 2，b 3，共 6 个，这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率 p= = 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用21 （2016淄博一模） （理科）四棱镜 PABCD 中，PD平面ABCD，2AD=AB=B
37、C=2a，ADBC，PD= a，DAB=60（）若平面 PAD平面 PBC=l，求证：l BC；（）求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的大小【分析】 （）由 BC平面 PAD，推导出 lBC（）连结 BD，以 D 为原点，分别以 DA，DB，DP 所在的直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的大小【解答】证明：（）ADBC，AD平面 PAD，BC平面 PAD，BC平面 PAD，又平面 PBC 过 BC，且与平面 PAD 交于 l，lBC解：（）连结 BD，ABD 中，AD=a，AB=2a，DAB=60，由余弦定理，得：BD
38、2=DA2+AB22DAABcos60=3a2，BD= ，AB 2=AD2+BD2，ABD 为直角三角形，且 ADBD，PD平面 ABCD，以 D 为原点，分别以 DA，DB ，DP 所在的直线为 x， y，z 轴，建立空间直角坐标系，BD平面 PAD， =（0， ，0）是平面 PAD 的法向量，设平面 PBC 的法向量 =（x，y，z ） ，P（0，0， ） ，B （0， ，0） ，C （2a， ，0） ， =（0， ， ） ， =（2a ，0，0） ，则 ，取 z=1，得 =（0，1，1） cos = = = ，平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的大小为 45【点评】本题考查异面直线
39、平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用22 （12 分） （2016 淄博一模） （文科）四棱镜 PABCD 中， PD平面ABCD，2AD=AB=BC=2a，ADBC，PD= a，DAB=60，Q 是 PB 的中点（）若平面 PAD平面 PBC=l，求证：l BC；（）求证：DQPC【分析】 （）由 ADBC ，得 BC平面 PAD，由此能证明 lBC （）连结 BD，由余弦定理，得 BD= ，从而 BDAD，BCPD，进而 BC平面PBD，平面 PBD平面 PBC，再由 DQPB，得 DQ平面 PBC，由此能证明 DQPC【解答】证明：（）AD
40、BC，AD平面 PAD，BC平面 PAD，BC平面 PAD，又平面 PBC 过 BC，且与平面 PAD 交于 l，lBC（）连结 BD，ABD 中，AD=a，AB=2a，DAB=60，由余弦定理，得：BD2=DA2+AB22DAABcos60，解得 BD= ，AB 2=AD2+BD2，ABD 为直角三角形，BD AD ，ADBC， BCPD，PD BD=D， BC 平面 PBD，BC 平面 PBC，平面 PBD平面 PBC，又PD=BD= ，Q 为 PB 中点，DQPB，平面 PBD平面 PBC=PB， DQ平面 PBC，PC平面 PBC，DQPC 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直
41、的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养23 （2016淄博一模）袋中共有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中（1）重复上述过程 2 次后，求袋中有 4 个白球的概率（2）重复上述过程 3 次后，记袋中白球的个数为 X，求 X 的数学期望【分析】 （）由题意得当袋中有 4 个白球时，二次摸球恰好摸到一白球一黑球，由此能求出袋中有 4 个白球的概率（）由题意 X 的所有可能取值为 3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和
42、E（X） 【解答】解：（）由题意得当袋中有 4 个白球时，二次摸球恰好摸到一白球一黑球，袋中有 4 个白球的概率 P= = （）由题意 X 的所有可能取值为 3，4，5，6，P（X=3）= = ，P（X=4）= + + = ，P（X=5）= + + = ，X 的分布列为：X 3 4 5 6PE（X）= = 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用24 （12 分） （2016 淄博一模）设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 an=3Sn，数列b n为等差数列，且 b5=15，b 7=21（）求数列a n的通
43、项公式 an；（）将数列 中的第 b1 项，第 b2 项，第 b3 项，第 bn 项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列c n，求数列c n的前 2016 项和【分析】 （I）由 an=3Sn，当 n=1 时，a 1=3a1，解得 a1= ；当 n2 时，可得：a nan1=an，化为 ，利用等比数列的通项公式即可得出（II）设等差数列b n的公差为 d，由 b5=15，b 7=21可得 ，解得 b1=d=3，即可得出. = 将数列 中的第 3 项，第 6 项，第 9 项，第 3n 项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列c n，其奇数项与偶数项仍然成等比数列，首项分别为 = ，
44、 = ，公比都为 8利用等比数列前 n 项和公式即可得出【解答】解：（I）a n=3Sn，当 n=1 时，a 1=3a1，解得 a1= ；当 n2 时，a n1=3Sn1，a nan1=3Sn（ 3Sn1）= an，化为 ，数列a n是等比数列，首项为 ，公比为 ，可得： = （II）设等差数列b n的公差为 d，b 5=15，b 7=21 ，解得 b1=d=3，b n=3+3（n 1）=3n= 将数列 中的第 3 项，第 6 项，第 9 项，第 3n 项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列c n，其奇数项与偶数项仍然成等比数列，首项分别为 = ， = ，公比都为 8数列c n的前 2
45、016 项和=（c 1+c3+c2015）+（c 2+c4+c2016）= + = 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题25 （2016淄博一模） （理科）已知各项均不相等的等差数列a n的前四项和为 16，且a1，a 2，a 5 成等比数列，数列b n满足 bn= （）求数列a n的通项公式 an，和b n的前 n 项和 Tn；（）是否存在正整数 s，t（ 1st ） ，使得 T1，T s，T t 成等比数列？若存在，求出 s，t的值；若不存在，请说明理由【分析】 （I）设等差数列a n的公差为 d，由 S4=16，且 a1
46、，a 2，a 5 成等比数列，可得，d0，解出即可得出 an由 bn= =利用“裂项求和”可得 bn（II）T 1= ， Ts= ，T t= 若 T1，T s，T t 成等比数列，则 =，化简整理即可得出【解答】解：（I）设等差数列 an的公差为 d，S 4=16，且 a1，a 2，a 5 成等比数列， ，d0，解得 d=2，a 1=1，a n=2n1b n= = = b n的前 n 项和 Tn= += = （II）T 1= ， Ts= ，T t= 若 T1，T s，T t 成等比数列，则 = ，可得： = ，t= ，由2s 2+4s+10，解得 s1+ ，sN *，s 1，可得 s=2，解得 t=12当 s=2，t=12 时，T 1，T s，T t 成等比数列【点评】本题考查了递推关系、等差数列与等比数
