1、数学试卷 第 1 页（共 25 页）I 1While I 7S 2 I + 1I I + 2End WhilePrint S（第 4 题）南通市 2015 届高三第二次调研测试数学参考公式：样本数据 ， ， 的方差 ，其中 1x2nx221()niisx1nix锥体的体积 ，其中 为锥体的底面积， 为高3VShh一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 命题“ ， ”的否定是“ ” xR20x2 设 ( 为虚数单位， ， )，则 的值为 iiababRab3 设集合 ， ，则 1 0 32A， ， ， 2 1Bx AB4 执行如图所示的伪
2、代码，则输出的结果为 5 一种水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2)如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 6 若函数 的图象与 轴相邻两个交点间的距离为 2，则实数 的值()2sin3fxx(0)x 为 7 在平面直角坐标系 中，若曲线 在 ( 为自然对数的底数)处的切线与直线xOylnyxe垂直，则实数 的值为 30axya注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2 答
3、题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡上。3 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。数学试卷 第 2 页（共 25 页）AB D C（第 12 题）AB CDMNQ（第 15 题）AA1B不C不B1不C1不D1不D不（第 8 题）8 如图，在长方体 中， 3 cm， 2 cm， 1 cm，则三棱锥1ABCDAB11BAD的体积为 cm 39 已知等差数列 的首项为 4，公差为 2，前 项和为 nannS若 ( )，则 的值为 5
4、4kSkNk10设 ( )是 上的单调增函数，则 的值为 32()3fxmxnmR， m11在平行四边形 中， ，则线段 的长为 ABCDACBD3AC12如图，在ABC 中， ， ， ，点 在边 上， 45，则324的值为 tan13设 ， ， 均为大于 1 的实数，且 为 和 的等比中项，xyzzxy则 的最小值为 lg414在平面直角坐标系 中，圆 ： ，圆 ：xOy1C22()(6)5xy2C22(17)(30)xyr若圆 上存在一点 ，使得过点 可作一条射线与圆 依次交于点 ， ，满足2CP1AB，PAB则半径 r 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题
5、卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）如图，在四面体 中，平面 平面 ，ABCDACD90BM， ， 分别为棱 ，NQ， 的中点BD数学试卷 第 3 页（共 25 页）（1）求证： 平面 ；/CDMNQ（2）求证：平面 平面 CAD16 （本小题满分 14 分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格某班 50 名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取 1 名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的 3 名男生记为 ， ， ，2 名女生记为 ， 现从这 5 人中1a31b2任选 2 人参加学校的某项体育
6、比赛 写出所有等可能的基本事件； 求参赛学生中恰有 1 名女生的概率17 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 中，已知向量 (1，0)， (0，2). 设向量 ( ) ，xOyabxa1cosb，其中 .kya1sinb0（1）若 ， ，求 x y 的值；46（2）若 x y，求实数 的最大值，并求取最大值时 的值./k18 （本小题满分 16 分）等级 优 良 中 不及格人数 5 19 23 3数学试卷 第 4 页（共 25 页）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左顶点为 ，右焦点为xOy21 (0 )yxabaA. 为椭圆上一点，且 .(0)Fc， 0( )Pxy， PAF（1）若
7、 ， ，求 的值；3a5b0x（2）若 ，求椭圆的离心率；0x（3）求证：以 为圆心， 为半径的圆与椭圆的FP右准线 相切.2axc19 （本小题满分 16 分）设 ，函数 aR()fxa（1）若 为奇函数，求 的值；()f（2）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；2 3x， ()0fx a（3）当 时，求函数 零点的个数4ay20 （本小题满分 16 分）设 是公差为 的等差数列， 是公比为 ( )的等比数列记 nadnbq1nncab（1）求证：数列 为等比数列；1nc（2）已知数列 的前 4 项分别为 4，10，19，34 求数列 和 的通项公式；nab 是否存在元素均为正整数的集合
8、 ， ， ( ， )，使得A1n2 kn4 kN数列 ， ， 为等差数列？证明你的结论1nc2kncxyOPA F（第 18 题）数学试卷 第 5 页（共 25 页）南通市 2015 届高三第二次调研测试数学（附加题）21 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分 10 分）如图，从圆 外一点 引圆的切线 及割线 ， 为切点OPCPABC求证： BCAB选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）设 是矩阵 的一个特征向量，求实数 的
9、值323aMaC选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分）在极坐标系中，设直线 与曲线 相交于 ， 两点，求线段 中3210cos40ABAB点注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 2 页，均为非选择题（第 2123 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。3作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅
10、笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。B ACPO（第 21 - A 题）数学试卷 第 6 页（共 25 页）B（第 22 题）yxOACPM的极坐标 D选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分）设实数 ， ， 满足 ，求证： abc234abc2287abc【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线xOy(84)A， (2)Pt， 0上2ypx(0)（1）求 ， 的值；t（2）过点 作 垂直于 轴， 为垂足，直线 与抛物线PMxA
11、M的另一交点为 ，点 在直线 上若 ， ，BCPB的斜率分别为 ， ， ，且 ，求点 的坐标1k23123kC23 （本小题满分 10 分）设 A，B 均为非空集合，且 A B ，A B ， ( 3， )记 123， ， n NA，B 中元素的个数分别为 a，b，所有满足“a B，且 b ”的集合对(A，B)的个数为 na（1）求 a3，a 4 的值；（2）求 n数学试卷 第 7 页（共 25 页）I 1While I 7S 2 I + 1I I + 2End WhilePrint S（第 4 题）南通市 2015 届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共 14 小题
12、，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 命题“ ， ”的否定是“ ” xR20x【答案】 ，2 设 ( 为虚数单位， ， )，则 的值为 ii1ababRab【答案】03 设集合 ， ，则 1 0 32A， ， ， 2 1Bx AB【答案】 ，4 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 【答案】115 一种水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2)如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 【答案】0.026 若函数 的图象与 轴相邻两个交点间的距离为 2，则实数 的值()2sin3fxx(0)x 为 【答案】 27 在平
13、面直角坐标系 中，若曲线 在 ( 为自然对数的底数)处的切线与直线xOylnyxe数学试卷 第 8 页（共 25 页）B D C（第 12 题）A垂直，则实数 的值为 30axya【答案】 e8 如图，在长方体 中， 3 cm， 2 cm， 1 cm，则三棱锥1ABCDABDA11BAD的体积为 cm 3【答案】19 已知等差数列 的首项为 4，公差为 2，前 项和为 nannS若 ( )，则 的值为 54kSkNk【答案】710设 ( )是 上的单调增函数，则 的值为 32()(3)fxmxnmR， m【答案】611在平行四边形 中， ，则线段 的长为 ABCDACBD3AC【答案】 312
14、如图，在ABC 中， ， ， ，点 在边324上，BC45，则 的值为 ADtanCAD【答案】 815713设 ， ， 均为大于 1 的实数，且 为 和 的等比中项，则 的最小值为 xyzzxylg4zxy【答案】 9814在平面直角坐标系 中，圆 ： ，圆 ：xOy1C22()(6)5xy2C22(17)(30)xyrAA1B不C不B1不C1不D1不D不（第 8 题）数学试卷 第 9 页（共 25 页）AB CDMNQ（第 15 题）若圆 上存在一点 ，使得过点 可作一条射线与圆 依次交于点 ， ，满足2CP1CAB，PAB则半径 r 的取值范围是 【答案】 5，二、解答题：本大题共 6
15、小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）如图，在四面体 中，平面 平面 ， 90 ， ， 分别为棱ABCDACDBN，AD， 的中点B（1）求证： 平面 ；/CMNQ（2）求证：平面 平面 CAD证明：（1）因为 ， 分别为棱 ， 的中点，所以 ， /MQ2 分又 平面 ， 平面 ，CDNMNQ故 平面 /Q6 分（2）因为 ， 分别为棱 ， 的中点，所以 ，MNADB/NAB又 ，故 90BA8 分因为平面 平面 ，平面 平面 ， 且 平面 ，CABCADMNABD数学试卷 第 10 页（共 25 页）所以 平面 M
16、NACD11 分又 平面 ， Q平面 平面 14NCAD分 （注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“ 平面 ”，扣 1 分 ）MA16 （本小题满分 14 分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格某班 50 名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取 1 名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的 3 名男生记为 ， ， ，2 名女生记为 ， 现从这 5 人中1a31b2任选 2 人参加学校的某项体育比赛 写出所有等可能的基本事件； 求参赛学生中恰有 1 名女生的概率解：（1）记“测试成绩为良或中
17、”为事件 ， “测试成绩为良”为事件 ， “测试成绩为中”A1A为事件 ，事件 ， 是互斥的. 2A122 分由已知，有 41293()()5050PA，分 等级 优 良 中 不及格人数 5 19 23 3数学试卷 第 11 页（共 25 页）因为当事件 ， 之一发生时，事件 发生，1A2A所以由互斥事件的概率公式，得 612129321()()50PP分 （2） 有 10 个基本事件： ， ， ， ， ，12()a， 13()a， 1()b， 12()a， 3()a，1()ab， ， ， 2()ab， 31()， 32()b， 12()，9 分 记“参赛学生中恰好有 1 名女生”为事件 在上
18、述等可能的 10 个基本事件B中，事件 包含了 ， ， ， ， ， B1()ab， 12()， 1()ab， 2()， 31()ab， 32()，故所求的概率为 6305P答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为 ；25（2）参赛学生中恰有 1 名女生的概率为 1435分（注：不指明互斥事件扣 1 分；不记事件扣 1 分，不重复扣分；不答扣 1 分事件 包含的B6 种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分 ）17 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 中，已知向量 (1，0)， (0，2).设向量 ( ) ，xOyabxa1cosb，其中 .kya1sinb0（1）若 ，
19、 ，求 x y 的值；46（2）若 x y，求实数 的最大值，并求取最大值时 的值./k数学试卷 第 12 页（共 25 页）解：（1） （方法 1）当 ， 时， ， ( )， 4k6123，xy4，2 分则 6xy()4分（方法 2）依题意， ， 0ab2 分则 xy22331412abab 643分（2）依题意， ， ，12cos，x2sink，y因为 x y，/所以 ，(cs)sink整理得， ， 91io1分令 ，()sincf则 o1sin()f2cs. 11os分 令 ，得 或 ，()0f 1cs2cs又 ，故 .3列表： 20， 232 3，()f0 极小值 4数学试卷 第 13
20、 页（共 25 页）故当 时， ，此时实数 取最大值 . 1423min()f34k439分 （注：第（2）小问中，得到 ， ，及 与 的等式，各 112cos，x2sink，yk分 ）18 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左顶点为 ，右焦点为xOy21 (0 )yxabaA. 为椭圆上一点，且 .(0)Fc， 0( )Pxy， PAF（1）若 ， ，求 的值；3a5b0x（2）若 ，求椭圆的离心率；0x（3）求证：以 为圆心， 为半径的圆与椭圆的FP右准线 相切.2axc解：（1）因为 ， ，所以 ，即 ， 35b224cab2c由 得， ，即 , PAF01yx
21、006yx3 分又 ，20195xy所以 ，解得 或 (舍去) 2049034x05 分（2）当 时, ，0x20yb xyO PA F（第 18 题）数学试卷 第 14 页（共 25 页）由 得， ，即 ，故 ， PAF01yac2bac2ac8 分所以 ，解得 （负值已舍） 10210e52e分（3）依题意，椭圆右焦点到直线 的距离为 ，且 ，2axc2ac201xyb由 得， ,即 , PAF01yx200()yxa由得， ，200()abc解得 或 (舍去). 13220acx0x分所以 200PFxcy2000()xcaxc0xa，22aa所以以 为圆心， 为半径的圆与右准线 相切.
22、 P2axc16 分（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线 的距离为 ，得 1 分；直接使用2xc2c焦半径公式扣 1 分 ）19 （本小题满分 16 分）设 ，函数 aR()fxa（1）若 为奇函数，求 的值；()f（2）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；2 3x， ()0fx a数学试卷 第 15 页（共 25 页）（3）当 时，求函数 零点的个数4a()yfxa解：（1）若 为奇函数，则 ，()fx()ffx令 得， ，即 ，0()0ff0f所以 ，此时 为奇函数 ax4 分（2）因为对任意的 ， 恒成立，所以 2 3x， ()0fx min()0fx当 时，对任意的 ， 恒成
23、立，所以 ； 0a ， fa 0a6 分当 时，易得 在 上是单调增函数，在0a2 ()xaxf， ， 2a，上 2a，是单调减函数，在 上是单调增函数， a，当 时， ，解得 ，所以 ；02amin()(2)0fxfa 43a 43a当 时， ，解得 ，所以 a 不存在；3 iff 当 时， ，解得amin()(2)3min2()3()0xf， =， ，92a所以 ；92a综上得， 或 1043 92a分（3）设 ，()()Fxf令 tfax数学试卷 第 16 页（共 25 页）则 ， ，()yfta4第一步，令 ，0ftta所以，当 时， ，判别式 ，ta20t(4)0a解得 ， ；14a
24、t22t当 时，由 得，即 ，a ()0ft()ta解得 ； 234at第二步，易得 ，且 ，1230tt24a 若 ，其中 ，xat21t当 时， ，记 ，因为对称轴 ，20x21()pxat2ax，且 ，所以方程 有 2 个不同的实根；1()0pat2114at0tt当 时， ，记 ，因为对称轴 ，x 20x21()qxaax，且 ，所以方程 有 1 个实根，1()0qat214at210xt从而方程 有 3 个不同的实根； 1xt 若 ，其中 ，2at204at由知，方程 有 3 个不同的实根； 2x 若 ， 3xat当 时， ，记 ，因为对称轴 ，230xt23()rxat2ax，且
25、，所以方程 有 1 个实根；3()0rat24at230xt当 时， ，记 ，因为对称轴 ，x 230xt23()sxat2ax，且 ，3()0sat24at数学试卷 第 17 页（共 25 页）， 142340at324160a分记 ，则 ，32()m()38)0ma故 为 上增函数，且 ， ，a4 )， 416(5)90m所以 有唯一解，不妨记为 ，且 ，()00a0，若 ，即 ，方程 有 0 个实根；04a323xt若 ，即 ，方程 有 1 个实根；at若 ，即 ，方程 有 2 个实根， 0a3230xt所以，当 时，方程 有 1 个实根；04aa当 时，方程 有 2 个实根；3xt当
26、时，方程 有 3 个实根 0aat综上，当 时，函数 的零点个数为 7；4()yfx当 时，函数 的零点个数为 8；0afa当 时，函数 的零点个数为 9 16()yfx分（注：第（1）小问中，求得 后不验证 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分0a()fx离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分 ）20 （本小题满分 16 分）设 是公差为 的等差数列， 是公比为 ( )的等比数列记 nadnbq1nncab数学试卷 第 18 页（共 25 页）（1）求证：数列 为等比数列；1ncd（2）已知数列 的前 4 项分别为 4，10，19，34 求数列 和
27、 的通项公式；nab 是否存在元素均为正整数的集合 ， ， ( ， )，使得数A1n2 kn4 kN列， ， 为等差数列？证明你的结论1nc2knc解：（1）证明：依题意， 11nndabad1b， ()0nq3 分从而 ，又 ，211()nncdbq211()0cdbq所以 是首项为 ，公比为 的等比数列 1n1()5 分（2） 法 1：由（1）得，等比数列 的前 3 项为 ， ， ，1ncd6d915d则 ，29d65解得 ，从而 ， 73q分且 114 320ab， ，解得 ， ，1所以 ， 1032na13nb分数学试卷 第 19 页（共 25 页）法 2：依题意，得 71121314
28、09abdq， ， ，分消去 ，得1a1231695dbq， ， ，消去 ，得d21316bqbq， ，消去 ，得 ，1从而可解得， ， ， ，1a13d所以 ， 1032nnb分 假设存在满足题意的集合 ，不妨设 ， ， ， ，且 ，AlmprA()lmprlc，mc， 成等差数列，pcr则 ，2mplc因为 ，所以 ， 0l2mp若 ，则 ，1结合得， ，11(3)(32)p 13(2)3m化简得， ， 820m因为 ， ，不难知 ，这与矛盾， N20m所以只能 ，1p同理， ，r所以 ， ， 为数列 的连续三项，从而 ，mcprnc122mmc即 ，1 22mmabab故 ，只能 ，这与
29、 矛盾，2m1q数学试卷 第 20 页（共 25 页）所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合 16A分（注：第（2）小问中，在正确解答的基础上，写出结论“不存在” ，就给 1 分 ）南通市 2015 届高三第二次调研测试数学（附加题）A选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分 10 分）如图，从圆 外一点 引圆的切线 及割线 ， 为切点OPCPABC求证： BCA证明：因为 PC 为圆 的切线，所以 ， P3 分又 ，CAB故 ， P7 分所以 ，BC即 10AP分B选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）设 是矩阵 的一个特征向量，求实数 的值323aMa解：设 是矩阵 属于特征
30、值 的一个特征向量，2B ACPO（第 21 - A 题）数学试卷 第 21 页（共 25 页）则 ， 23a35 分故 解得 1026 13a， 41.a=，分C选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分）在极坐标系中，设直线 与曲线 相交于 ， 两点，求线段 中3210cos40ABAB点的极坐标 解：（方法 1）将直线 化为普通方程得， ，33yx将曲线 化为普通方程得， , 420cos402104分联立 并消去 得， ，23104yx， y250x解得 ， ，12所以 AB 中点的横坐标为 ，纵坐标为 ， 1254x5328 分化为极坐标为 10523，分（方法 2）联立
31、直线 与曲线 的方程组 lC2310cos40， ，2 分数学试卷 第 22 页（共 25 页）消去 ，得 ，2540解得 ， ， 612分所以线段 中点的极坐标为 ，即 10AB12 3， 5，分 （注：将线段 中点的极坐标写成 的不扣分 ）5 2 ()kZ，D选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分）设实数 ， ， 满足 ，求证： abc234abc2287abc证明：由柯西不等式，得 ， 213 236 分因为 ，234abc故 ， 878 分当且仅当 ，即 ， ， 时取“ ” 10123abc2a47b6c分 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答
32、题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线xOy(84)A， (2)Pt， 0上2ypx(0)数学试卷 第 23 页（共 25 页）（1）求 ， 的值；pt（2）过点 作 垂直于 轴， 为垂足，直线 与抛物线的另一交点为 ，点 在直PMxAMBC线上若 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，且 ，求点 的坐ABPC1k23123k标解：（1）将点 代入 ，(84)， 2ypx得 ， 2 分1p将点 代入 ，得 ，(2)Pt， 2t因为 ，所以 4 分0（2）依题意， 的坐标为 ，M(20)，直线 的方程为 ，
33、 A43yx联立 并解得 ， 243yx， B12，6 分所以 ，13k， 2代入 得， ， 8376k分从而直线 的方程为 ，PC13yx联立 并解得 10243716yx， 82，分23 （本小题满分 10 分）设 A，B 均为非空集合，且 A B ，A B ， ( 3， )记 123， ， n NB（第 22 题）yxOACPM数学试卷 第 24 页（共 25 页）A，B 中元素的个数分别为 a，b，所有满足“a B，且 b ”的集合对(A，B)的个数为 na（1）求 a3，a 4 的值；（2）求 n解：（1）当 3 时，A B 1，2，3，且 A B ，若 a 1，b 2，则 1 ，2
34、 ，共 种；01C若 a 2，b 1，则 2 ，1 ，共 种，所以 a3 ； 01C+ 2 分当 4 时，A B 1，2，3，4，且 A B ，n若 a 1，b 3，则 1 ，3 ，共 种；02C若 a 2，b 2，则 2 ，2 ，这与 A B 矛盾；若 a 3，b 1，则 3 ，1 ，共 种，B2所以 a4 02C+ 4 分（2）当 为偶数时，A B 1，2，3，n，且 A B ，n若 a 1，b ，则 1 ， ，共 （考虑 ）种；02Cn若 a 2，b ，则 2 ， ，共 （考虑 ）种；nn1若 a ，b ，则 ， ，共 （考虑 ）种；1212BA2CnA若 a ，b ，则 ， ，这与 A B 矛盾；nn数学试卷 第 25 页（共 25 页）若 a ，b ，则 ， ，共 （考虑 ）种；12n12nBA2CnA若 a ，b ，则 ，1 ，共（考虑 ） 种， nn2n所以 an ； 802C1n2Cnn 122Cnn分当 为奇数时，同理得，a n ，021n2n综上得， 1012C .n， 为 偶 数 ， 为 奇 数分
