1、-二次函数压轴题 30 道（1）一解答题（共 30 小题）1 （2015枣庄）如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6（a 0）相交于 A（ ， ）和 B（4，m） ，点 P 是线段AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标2 （2015黄冈中学自主招生）如图，二次函数 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 从 A点出发，以 1 个单位每秒的速度向点
2、 B 运动，点 Q 同时从 C 点出发，以相同的速度向 y 轴正方向运动，运动时间为 t 秒，点 P 到达 B 点时，点 Q 同时停止运动设 PQ 交直线 AC 于点 G-（1）求直线 AC 的解析式；（2）设PQC 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数解析式；（3）在 y 轴上找一点 M，使MAC 和 MBC 都是等腰三角形直接写出所有满足条件的 M 点的坐标；（4）过点 P 作 PEAC，垂足为 E，当 P 点运动时，线段 EG 的长度是否发生改变，请说明理由3 （2015永春县自主招生）如图 1，已知直线 EA 与 x 轴、y 轴分别交于点 E 和点 A（0，2） ，过直线 EA 上的
3、两点 F、G 分别作 x 轴的垂线段，垂足分别为 M（m，0）和 N（n，0） ，其中 m0，n0（1）如果 m=4，n=1 ，试判断 AMN 的形状；（2）如果 mn=4， （1）中有关 AMN 的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图 2，题目中的条件不变，如果 mn=4，并且 ON=4，求经过 M、A 、N 三点的抛物线所对应的函数关系式；-（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴 l 与线段 AN 交于点 P，点 Q 是对称轴上一动点，以点 P、Q 、N 为顶点的三角形和以点 M、A、N 为顶点的三角形相似，求符合条件的点 Q 的坐标4 （2015黄
4、冈中学自主招生）已知：直角三角形 AOB 中， AOB=90，OA=3 厘米，OB=4 厘米以 O 为坐标原点如图建立平面直角坐标系设 P、Q 分别为 AB 边，OB 边上的动点，它们同时分别从点 A、O 向 B 点匀速运动，移动的速度都为 1 厘米每秒设 P、Q 运动的时间为 t 秒（0t4） （1）求OPQ 的面积 S 与（厘米 2）与 t 的函数关系式；并指出当 t 为何值时 S 的最大值是多少？（2）当 t 为何值时，BPQ 和AOB 相似；（3）当 t 为何值时，OPQ 为直角三角形；（4）试证明无论 t 为何值，OPQ 不可能为正三角形；若点 P 的移动速度不变，试改变点 Q 的运
5、动速度，使 OPQ 为正三角形，求出点 Q 的运动速度和此时的 t 值-5 （2015芦溪县模拟）如图，已知抛物线 y=x2ax+a24a4 与 x 轴相交于点 A 和点 B，与 y 轴相交于点 D（0，8） ，直线 DC 平行于 x 轴，交抛物线于另一点 C，动点 P 以每秒 2 个单位长度的速度从 C 点出发，沿 CD 运动，同时，点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 出发，沿 AB 运动，连接 PQ、CB ，设点 P 运动的时间为 t 秒（1）求 a 的值；（2）当四边形 ODPQ 为矩形时，求这个矩形的面积；（3）当四边形 PQBC 的面积等于 14 时，求 t 的值（4）当
6、t 为何值时，PBQ 是等腰三角形？（直接写出答案）-6 （2015江西校级模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y= +c 与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧） ，交 y 轴的正半轴于点 C，其顶点为 M，MHx 轴于点 H，MA 交 y 轴于点N，sinMOH= （1）求此抛物线的函数表达式；（2）过 H 的直线与 y 轴相交于点 P，过 O，M 两点作直线 PH 的垂线，垂足分别为 E，F，若 = 时，求点 P 的坐标；（3）将（1）中的抛物线沿 y 轴折叠，使点 A 落在点 D 处，连接 MD，Q 为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ 交 x 轴于点 G，
7、当 Q 点在抛物线上运动时，是否存在点 Q，使ANG 与 ADM 相似？若存在，求出所有符合条件的直线 QG 的解析式；若不存在，请说明理由-7 （2015武侯区模拟）已知如图，矩形 OABC 的长 OA= ，宽 OC=1，将AOC 沿 AC 翻折得APC （1）求PCB 的度数；（2）若 P，A 两点在抛物线 y= x2+bx+c 上，求 b，c 的值，并说明点 C 在此抛物线上；（3） （2）中的抛物线与矩形 OABC 边 CB 相交于点 D，与 x 轴相交于另外一点 E，若点 M 是 x 轴上的点，N 是 y轴上的点，以点 E、M、D、 N 为顶点的四边形是平行四边形，试求点 M、N 的
8、坐标-8 （2015黄冈模拟）已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴的交点是 A（3，0） 、B（6，0） ，与 y 轴的交点是C（1）求抛物线的函数表达式；（2）设 P（x，y） （0x6）是抛物线上的动点，过点 P 作 PQy 轴交直线 BC 于点 Q当 x 取何值时，线段 PQ 的长度取得最大值，其最大值是多少？是否存在这样的点 P，使 OAQ 为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由-9 （2015临夏州模拟）如图（1） ，抛物线 y=x22x+k 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，3） 图（2） 、图（3）为解答备用图（1）k
9、= ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；（2）设抛物线 y=x22x+k 的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积；（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由-10 （2015大庆模拟）已知抛物线 y=x2+bx+c 的顶点为 P，与 y 轴交于点 A，与直线 OP 交于点 B（1）如图 1，若点 P 的横坐标为 1，点 B 的坐标为（3， 6） ，试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点 M 是直线 AB 下方抛物线上的一点，且 SABM=3，求点 M 的坐标；（3）如图 2，若点 P 在
10、第一象限，且 PA=PO，过点 P 作 PDx 轴于点 D将抛物线 y=x2+bx+c 平移，平移后的抛物线经过点 A、D，该抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，请探究四边形 OABC 的形状，并说明理由-11 （2015濠江区一模）如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且OA=2， OC=3（1）求抛物线的解析式；（2）作 RtOBC 的高 OD，延长 OD 与抛物线在第一象限内交于点 E，求点 E 的坐标；（3）在 x 轴上方的抛物线上，是否存在一点 P，使四边形 OBEP 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；在抛物线的对称轴上，是否
11、存在上点 Q，使得BEQ 的周长最小？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由-12 （2014遵义）如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，B （1，0） ，与 y 轴交于点 C若点P，Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点 C 的坐标；（2）当点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动，这时，在 x 轴上是否存在点 E，使得以 A，E，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出 E 点坐标；若不存在，请说明理由（3）当 P，Q 运
12、动到 t 秒时，APQ 沿 PQ 翻折，点 A 恰好落在抛物线上 D 点处，请判定此时四边形 APDQ 的形状，并求出 D 点坐标-13 （2014吉林）如图 ，直线 l：y=mx+n（m0，n0）与 x，y 轴分别相交于 A，B 两点，将AOB 绕点 O逆时针旋转 90得到COD，过点 A，B ，D 的抛物线 P 叫做 l 的关联抛物线，而 l 叫做 P 的关联直线（1）若 l：y=2x+2 ，则 P 表示的函数解析式为 ；若 P：y=x 23x+4，则 l 表示的函数解析式为 （2）求 P 的对称轴（用含 m，n 的代数式表示） ；（3）如图，若 l：y= 2x+4，P 的对称轴与 CD
13、相交于点 E，点 F 在 l 上，点 Q 在 P 的对称轴上当以点C，E，Q，F 为顶点的四边形是以 CE 为一边的平行四边形时，求点 Q 的坐标；（4）如图，若 l：y=mx 4m，G 为 AB 中点，H 为 CD 中点，连接 GH，M 为 GH 中点，连接 OM若 OM=，直接写出 l，P 表示的函数解析式14 （2014本溪）如图，直线 y=x4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y= x2+bx+c 经过 A、B 两点，与x 轴的另一个交点为 C，连接 BC-（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2）点 M 在抛物线上，连接 MB，当 MBA+CBO=45时，求点
14、M 的坐标；（3）点 P 从点 C 出发，沿线段 CA 由 C 向 A 运动，同时点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 由 B 向 C 运动，P、Q 的运动速度都是每秒 1 个单位长度，当 Q 点到达 C 点时，P、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点 D，使 P、Q 运动过程中的某一时刻，以 C、D、P、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 D 的坐标；若不存在，说明理由15 （2014六盘水）如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象交 x 轴于 A、D 两点，并经过 B 点，已知 A 点坐标是（2，0） ，B 点的坐标是（8， 6） （1）求二次函数的解析式（2）求函数
15、图象的顶点坐标及 D 点的坐标-（3）该二次函数的对称轴交 x 轴于 C 点连接 BC，并延长 BC 交抛物线于 E 点，连接 BD，DE，求BDE 的面积（4）抛物线上有一个动点 P，与 A，D 两点构成ADP ，是否存在 SADP= SBCD？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在请说明理由16 （2014白银）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线是由抛物线 y=x23 向右平移一个单位后得到的，它与 y 轴负半轴交于点 A，点 B 在该抛物线上，且横坐标为 3（1）求点 M、A、B 坐标；（2）连接 AB、AM、BM，求ABM 的正切值；（3）点 P 是顶点为 M 的
16、抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设 PO 与 x 正半轴的夹角为 ，当 =ABM 时，求 P 点坐标-17 （2014珠海）如图，矩形 OABC 的顶点 A（2，0） 、C（0，2 ） 将矩形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 30得矩形 OEFG，线段 GE、FO 相交于点 H，平行于 y 轴的直线 MN 分别交线段 GF、GH 、GO 和 x 轴于点M、P、 N、D，连结 MH（1）若抛物线 l：y=ax 2+bx+c 经过 G、O、E 三点，则它的解析式为： ；（2）如果四边形 OHMN 为平行四边形，求点 D 的坐标；（3）在（1） （2）的条件下，直线 MN 与抛物线 l 交于点 R
17、，动点 Q 在抛物线 l 上且在 R、E 两点之间（不含点R、E）运动，设PQH 的面积为 s，当 时，确定点 Q 的横坐标的取值范围-18 （2014毕节市）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）的顶点为 A（ 1，1） ，与 x 轴交点 M（1，0） C 为 x 轴上一点，且CAO=90，线段 AC 的延长线交抛物线于 B 点，另有点 F（1，0） （1）求抛物线的解析式；（2）求直线 Ac 的解析式及 B 点坐标；（3）过点 B 做 x 轴的垂线，交 x 轴于 Q 点，交过点 D（0，2）且垂直于 y 轴的直线于 E 点，若 P 是BEF 的边EF 上的任意一点，是否存在 BPEF
18、？若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，请说明理由-19 （2014丹东）如图 1，抛物线 y=ax2+bx1 经过 A（1 ，0） 、B （2，0）两点，交 y 轴于点 C点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E（1）请直接写出抛物线表达式和直线 BC 的表达式（2）如图 1，当点 P 的横坐标为 时，求证：OBD ABC（3）如图 2，若点 P 在第四象限内，当 OE=2PE 时，求POD 的面积（4）当以点 O、C、D 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点 P 的坐标-20 （2014临沂）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
19、与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（1，0） ，直线 y=2x1 与y 轴交于点 C，与抛物线交于点 C、D （1）求抛物线的解析式；（2）求点 A 到直线 CD 的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点 P 在直线 CD 上，抛物线与直线 CD 的另一个交点为 Q，点 G 在 y 轴正半轴上，当以 G、P、Q 三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的 G 点的坐标-21 （2014苏州）如图，二次函数 y=a（x 22mx3m2） （其中 a，m 是常数，且 a0，m0）的图象与 x 轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于 C（0， 3） ，
20、点 D 在二次函数的图象上，CD AB，连接 AD，过点 A 作射线 AE 交二次函数的图象于点 E，AB 平分DAE（1）用含 m 的代数式表示 a；（2）求证： 为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为 F，探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，连接 GF，以线段 GF、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由-22 （2014济宁）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A（5，0） 、B （1，0）两点，过点 A 作直线 ACx 轴，交直线 y=2x 于点
21、C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点 A 关于直线 y=2x 的对称点 A的坐标，判定点 A是否在抛物线上，并说明理由；（3）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交线段 CA于点 M，是否存在这样的点 P，使四边形PACM 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由-23 （2014雅安）如图，直线 y=3x3 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、C ，经过点 C 且对称轴为 x=1 的抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A、B 两点（1）试求点 A、C 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点 M 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长度
22、的速度由点 B 向点 A 运动，同时，点 N 在线段 OC 上以相同的速度由点 O 向点 C 运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动） ，又 PNx 轴，交 AC 于 P，问在运动过程中，线段 PM 的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由-24 （2014济南）如图 1，抛物线 y= x2 平移后过点 A（8，0）和原点，顶点为 B，对称轴与 x 轴相交于点 C，与原抛物线相交于点 D（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积 S 阴影 ；（2）如图 2，直线 AB 与 y 轴相交于点 P，点 M 为线段 OA 上一动点， PMN 为直角，边 MN 与
23、AP 相交于点N，设 OM=t，试探究：t 为何值时MAN 为等腰三角形；t 为何值时线段 PN 的长度最小，最小长度是多少-25 （2014营口）已知：抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）经过点 A（1，0） ，B （3，0） ，C（0，3） （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；（2）如图，点 P 是直线 BC 上方抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 E是否存在一点P，使线段 PE 的长最大？若存在，求出 PE 长的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图，过点 A 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 F，连接 DA、DB 四边形 OAFC 沿射线
24、CB 方向运动，速度为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒，当点 C 与点 B 重合时立即停止运动设运动过程中四边形 OAFC 与四边形 ADBF 重叠部分面积为 S，请求出 S 与 t 的函数关系式-26 （2014义乌市）如图，直角梯形 ABCO 的两边 OA， OC 在坐标轴的正半轴上，BCx 轴，OA=OC=4，以直线x=1 为对称轴的抛物线过 A，B ，C 三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线 l 的解析式为 y=x+m，它与 x 轴交于点 G，在梯形 ABCO 的一边上取点 P当 m=0 时，如图 1，点 P 是抛物线对称轴与 BC 的交点，过点 P 作 PH直线
25、l 于点 H，连结 OP，试求OPH 的面积；当 m=3 时，过点 P 分别作 x 轴、直线 l 的垂线，垂足为点 E，F是否存在这样的点 P，使以 P，E，F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由-27 （2014西宁）如图，抛物线 y= x2+ x2 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，交 y 轴于点 C，分别过点 B，C 作 y 轴，x 轴的平行线，两平行线交于点 D，将 BDC 绕点 C 逆时针旋转，使点 D 旋转到 y 轴上得到FEC，连接 BF（1）求点 B，C 所在直线的函数解析式；（2）求BCF 的面积；（3）在线段
26、 BC 上是否存在点 P，使得以点 P，A ，B 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由-28 （2014泸州）如图，已知一次函数 y1= x+b 的图象 l 与二次函数 y2=x2+mx+b 的图象 C都经过点 B（0，1）和点 C，且图象 C过点 A（2 ，0） （1）求二次函数的最大值；（2）设使 y2y 1 成立的 x 取值的所有整数和为 s，若 s 是关于 x 的方程 =0 的根，求 a 的值；（3）若点 F、G 在图象 C上，长度为 的线段 DE 在线段 BC 上移动，EF 与 DG 始终平行于 y 轴，当四边形DEFG 的面积最大时，在 x
27、 轴上求点 P，使 PD+PE 最小，求出点 P 的坐标-29 （2014来宾）如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴交于点 A（1，0）和 B（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，点 F 是位于 x 轴上方对称轴上一点，FCx 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点 C，且四边形 OECF 是平行四边形，求点 C 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点 P，使OCP 是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由-30 （2014孝感）如图 1，矩形 ABCD 的边 AD 在 y 轴上，抛物线 y=x24x+3 经过
28、点 A、点 B，与 x 轴交于点 E、点 F，且其顶点 M 在 CD 上-（1）请直接写出下列各点的坐标：A ，B ，C ，D ；（2）若点 P 是抛物线上一动点（点 P 不与点 A、点 B 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线 l 与直线 AB 交于点 G，与直线 BD 交于点 H，如图 2当线段 PH=2GH 时，求点 P 的坐标；当点 P 在直线 BD 下方时，点 K 在直线 BD 上，且满足 KPHAEF，求KPH 面积的最大值-二次函数压轴题 30 道（1）参考答案与试题解析一解答题（共 30 小题）1 （2015枣庄）如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6（a 0
29、）相交于 A（ ， ）和 B（4，m） ，点 P 是线段AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】几何综合题；压轴题【分析】 （1）已知 B（4，m）在直线 y=x+2 上，可求得 m 的值，抛物线图象上的 A、B 两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值（2）要弄清 PC 的长，实际是直线 AB 与抛物线函数值的差可设出 P 点横坐标，根据直线 AB 和抛物线的解析式表示出 P、C 的纵坐标，进而得到关于 PC 与 P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 PC 的最大值（3）当PAC 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解【解答】解：（1）B （4，m）在直线 y=x+2 上，m=4+2=6，B（4，6） ，A（ ， ） 、B（4，6）在抛物线 y=ax2+bx+6 上， ，解得 ，抛物线的解析式为 y=2x28x+6（2）设动点 P 的坐标为（n，n+2） ，则 C 点的坐标为（n，2n 28n+6） ，
