1、一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，已知抛物线经过A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，ADF的面积为S求S与m的函数关系式；S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由【答案】（1）.（2）.（3）.当m=2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（2，2）.
2、【解析】【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：（1）抛物线经过A（3，0），B（1，0），可设抛物线交点式为.又抛物线经过C（0，3），.抛物线的解析式为：，即.（2）PBC的周长为：PB+PC+BC，且BC是定值.当PB+PC最小时，PBC的周长最小.点A、点B关于对称轴I对称，连接AC交l于点P，即点P为所求
3、的点.AP=BP，PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.A（3，0），B（1，0），C（0，3），AC=3，BC=.PBC的周长最小是：.（3）抛物线顶点D的坐标为（1，4），A（3，0），直线AD的解析式为y=2x+6点E的横坐标为m，E（m，2m+6），F（m，）.S与m的函数关系式为.，当m=2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（2，2）.2如图，抛物线yx22x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点(1)求点A、B、C的坐标；(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于
4、点E，与抛物线交于点P，过点P作PQAB交抛物线于点Q，过点Q作QNx轴于点N，可得矩形PQNM如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的AEM的面积；(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)若FG2DQ，求点F的坐标【答案】(1)A(3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周长2m28m+2；(3) m2；S；(4)F(4，5)或(1，0)【解析】【分析】（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，
5、B，C的坐标；（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQDC，再建立方程（n+3）（n22n+3）4即可【详解】(1)由抛物线yx22x+3可知，C(0，3)令y0，则0x22x+3，解得，x3或xl，A(3，0)，B(1，0)(2)由抛物线yx22x+3可知，对称轴为x1M(m，0)，PMm22m+3，MN(m1)22m2，矩形PMNQ的周长2(PM+MN)(m22m+32m2)22m28m+2(3)2m28m+22(m+2)
6、2+10，矩形的周长最大时，m2A(3，0)，C(0，3)，设直线AC的解析式ykx+b，解得kl，b3，解析式yx+3，令x2，则y1，E(2，1)，EM1，AM1，SAMEM(4)M(2，0)，抛物线的对称轴为xl，N应与原点重合，Q点与C点重合，DQDC，把x1代入yx22x+3，解得y4，D(1，4)，DQDCFG2DQ，FG4设F(n，n22n+3)，则G(n，n+3)，点G在点F的上方且FG4，(n+3)(n22n+3)4解得n4或n1，F(4，5)或(1，0)【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键
7、是用m表示出矩形PMNQ的周长3如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x3（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MNAB交OA于N，当ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQx轴与抛物线交于Q过A作ACx轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标【答案】（1）；（2）当t3时，SAMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）P点坐标为（14，0）或（2，0）或（4，0）或（8，0）【解析】【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线
8、解析式；（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为直线AB的解析式为y=2x-12，直线MN的解析式为y=2x-2t，再通过解方程组得N（），接着利用三角形面积公式，利用SAMN=SAOM-SNOM得到然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q，根据相似三角形的判定方法，当时，PQOCOA，则；当时，PQOCAO，则，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标【详解】解：（1）抛物线过原点，对称轴是直线x3，B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为yax（x6），把A（8，4）代入得a824，解得a，抛物线解析式为yx（x6），即yx2x；（2）设M（t，0），易得直线OA的解析式为
9、yx，设直线AB的解析式为ykx+b，把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，直线AB的解析式为y2x12，MNAB，设直线MN的解析式为y2x+n，把M（t，0）代入得2t+n0，解得n2t，直线MN的解析式为y2x2t，解方程组得，则，SAMNSAOMSNOM ，当t3时，SAMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）设，OPQACO，当时，PQOCOA，即，PQ2PO，即，解方程得m10（舍去），m214，此时P点坐标为（14，0）；解方程得m10（舍去），m22，此时P点坐标为（2，0）；当时，PQOCAO，即，PQPO，即，解方程得m10（舍去），m28，此时P点坐标为（8，
10、0）；解方程得m10（舍去），m24，此时P点坐标为（4，0）；综上所述，P点坐标为（14，0）或（2，0）或（4，0）或（8，0）【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题4已知抛物线.（1）求证：该抛物线与x轴总有交点；（2）若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m的取值范围；（3）设抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析
11、】（1）本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都不小于零，再判断出物线与x轴总有交点（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m的取值范围，即可得到结果（3）根据抛物线y=-x2+（5-m）x+6-m，求出与y轴的交点M的坐标，再确定抛物线与x轴的两个交点关于直线y=-x的对称点的坐标，列方程可得结论【详解】（1）证明： 抛物线与x轴总有交点. （2）解：由（1），根据求根公式可知，方程的两根为：即由题意，有 (3)解：令 x = 0， y = M（0，）由（2）可知抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（，0），它们关于直线的对称点分别为（0 ， 1）和（0， ），由题意，可得： 【点睛
12、】本题考查对抛物线与x轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算5已知，抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0）和C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴上，当MAC是直角三角形时，求点M的坐标【答案】（1）；（2）当的值最小时，点P的坐标为；（3）点M的坐标为、或.【解析】【分析】由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；连接BC交抛物线对称轴于点P，此时取最
13、小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；设点M的坐标为，则，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标【详解】解：将、代入中，得：，解得：，抛物线的解析式为连接BC交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，如图1所示当时，有，解得：，点B的坐标为抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线设直线BC的解析式为，将、代入中，得：，解得：，直线BC的解析式为当时，当的值最小时，点P的坐标为设
14、点M的坐标为，则，分三种情况考虑：当时，有，即，解得：，点M的坐标为或；当时，有，即，解得：，点M的坐标为；当时，有，即，解得：，点M的坐标为综上所述：当是直角三角形时，点M的坐标为、或【点睛】本题考查待定系数法求二次一次函数解析式、二次一次函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置；分、和三种情况，列出关于m的方程6如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y0时，自变量
15、x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PABA时，求PAB的面积【答案】（1）抛物线的解析式为y=x24x，自变量x的取值范图是0x4；（2）PAB的面积=15【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BEx轴，垂足为点E，过点P作PEx轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明PFAAEB,求出点P的坐标，将PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积【详解】（1）由题意得，解得，抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据
16、图象开口向上，则y0时，自变量x的取值范围是0x4；（2）如图，过点B作BEx轴，垂足为点E，过点P作PEx轴，垂足为F，设P（x，x2-4x）,PABAPAF+BAE=90,PAF+FPA=90,FPA=BAE又PFA=AEB=90PFAAEB,，即，解得，x= 1，x=4（舍去）x2-4x=-5点P的坐标为（-1，-5），又B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1所以BP与x轴交点为（，0）SPAB=【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键7如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为
17、4的正方形，点E在线段BC上，AEF=90,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FNBC（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，ECF的面积为y求y与x的函数关系式；当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.【答案】（1）AE=EF；（2）y=-x2+2x（0x4)，当x=2,y最大值=2.【解析】【分析】（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：AGEECF，则可证得：AE=EF；（2）同（1）可证明AE=EF，利用AAS证明ABEENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，
18、再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题【详解】（1）如图，在AB上取AG=EC，四边形ABCD是正方形，AB=BC，有AG=EC ，BG=BE ，又B=90，AGE=135，又BCD=90，CP平分DCN，ECF=135，BAEAEB=90，AEBFEC=90，BAE=FEC，在AGE和ECF中， ,AGEECF，AE=EF；(2)由（1）证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF，BAE=NEF，B=ENF=90，ABEENF，FN=BE=x，SECF= (BC-BE)FN，即y= x(4-x），y=- x2+2x（0x4)，当
19、x=2，y最大值=2.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键8如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+2x+3；直线AC的解
20、析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于M，如图1，则B（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时BDM的周长最小，然后求出直线DB的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解
21、析式为y=-x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），即y=ax22ax3a，2a=2，解得a=1，抛物线解析式为y=x2+2x+3；当x=0时，y=x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（1，0），C（0，3）代入得，解得，直线AC的解析式为y=3x+3；（2）y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于M，如图1，则B（3
22、，0），MB=MB，MB+MD=MB+MD=DB，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，此时BDM的周长最小，易得直线DB的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，点M的坐标为（0，3）；（3）存在过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，直线AC的解析式为y=3x+3，直线PC的解析式可设为y=x+b，把C（0，3）代入得b=3，直线PC的解析式为y=x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=x+b，把A（1，0）代入得+b=0，解得b=，直线PC的解析式为y=x，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）.
23、综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题9已知抛物线C1：y=ax24ax5（a0）（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2
24、的顶点到x轴的距离为2，求a的值【答案】（1）（1，0）或（5，0）（2）（0，5），（4，5）y=ax2+4ax5（3）a=或【解析】试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题； 根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或2，即可解题试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x24x5=（x2）29，对称轴为y=2；当y=0时，x2=3或3，即x=1或5；抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）或（5，0）；（2）抛物线C1解析式为：y=ax24ax5，整理得：y=ax（x4）
25、5；当ax（x4）=0时，y恒定为5；抛物线C1一定经过两个定点（0，5），（4，5）；这两个点连线为y=5；将抛物线C1沿y=5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；抛物线C2解析式为：y=ax2+4ax5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者2；当y=2时，2=4a+8a5，解得，a=；当y=2时，2=4a+8a5，解得，a=；a=或；考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换10抛物线y=ax2+bx+c，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上
26、的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见试题解析；（2）y=3x2+43x+33，或y=-3x2+3【解析】试题分析：（1）由“恒定”抛物线的定义，即可得出抛物线恒过定点（1，0）；（2）求出抛物线的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PACQ，PA=CQ；存在两种情况：作QMAC于M，则QM=OP=3，证明RtQMCRtPOA，MC=OA=1，得出点Q的坐标，设抛物线的解析式为y=a(x+2)2-3，把
27、点A坐标代入求出a的值即可；顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明OQCOPA，得出OQ=OP=3，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+3，把点C坐标代入求出a的值即可试题解析：（1）由“恒定”抛物线y=ax2+bx+c，得：b=a+c，即ab+c=0，抛物线y=ax2+bx+c，当x=1时，y=0，“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A（1，0）；（2）存在；理由如下：“恒定”抛物线，当y=0时，3x2-3=0，解得：x=1，A（1，0），B（1，0）；x=0时，y=-3，顶点P的坐标为（0，-3），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，PACQ，PA=
28、CQ，存在两种情况：如图1所示：作QMAC于M，则QM=OP=3，QMC=90=POA，在RtQMC和RtPOA中，CQ=PA，QM=OP，RtQMCRtPOA（HL），MC=OA=1，OM=2，点A和点C是抛物线上的对称点，AM=MC=1，点Q的坐标为（2，-3），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=a(x+2)2-3，把点A（1，0）代入得：a=3，抛物线的解析式为：y=3(x+2)2-3，即y=3x2+43x+33；如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，点C坐标为（1，0），CQPA，OQC=OPA，在OQC和OPA中，OQC=OPA，COQ=AOP，CQ=PA，OQCOPA（AAS），OQ=OP=3，点Q坐标为（0，3），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=ax2+3，把点C（1，0）代入得：a=-3，抛物线的解析式为：y=-3x2+3；综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：y=3x2+43x+33，或y=-3x2+3考点：1二次函数综合题；2压轴题；3新定义；4存在型；5分类讨论
