1、4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义,1.单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数,v,u,全体实数,全体实数,2.正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号简记：一全正、二正弦、四余弦.,3.任意角的正弦函数、余弦函数 (1)前提：设角的顶点是坐标系的原点，始边与x轴的非负半 轴重合，角终边上任一点Q(x,y). (2)结论：OQ的长度为 且sin =_，cos =_.,4.任意角的正、余弦三角函数 (1)前提：用x表示自变量，即x_的大小，用y表示函数 值. (2)结论：任意角的正、余弦三角函数可以表示为y=sin x和 y=cos x，它们的定义域
2、为_.,表示角,全体实数,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)sin ,cos 中可以将“”与“sin”，“cos”分开.( ) (2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.( ) (3)角终边上有一点P(1，1)，故cos = =1.( ),【解析】(1)错误.符号sin ,cos 是一个整体，不能分开. (2)正确.终边相同的角的同一三角函数值相等. (3)错误.P(1,1),x=1,y=1, 故cos = 答案：(1) (2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知角终边经过点 则角的最小正值是_. (2)角的终边经过点P(m,4)，且cos = 则m=
3、_. (3)角满足sin 0,cos 0,则在第_象限.,【解析】(1) 所以的最小正值为 答案： (2)r= 因为cos = 解得m=3(舍去)，m=-3. 答案：-3,(3)当sin 0时,在第一、二象限及y轴正半轴，当 cos 0,cos 0时，在第二象限. 答案：二,【要点探究】 知 识 点 正、余弦函数的定义 1.对任意角的三角函数的定义的两点说明 (1)任意角的三角函数y=sin x，y=cos x都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数.可从以下两个方面理解：,角(弧度数) 实数. 对于每一个确定的角x，其终边位置是唯一确定的，与单位圆的交点P(u，v)也是唯一确定的
4、，因此角x的正弦(或余弦)函数值是唯一确定的.,(2)任意角的三角函数的概念与锐角三角函数的概念的实质是一样的.锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角的三角函数是锐角三角函数的推广.,2.对正弦、余弦函数在各象限的符号的两点说明 (1)根据正弦、余弦函数的定义可知，正弦、余弦函数在各象限的符号是由该角终边上任意一点的坐标的符号确定的.横坐标的正负确定余弦函数的符号，纵坐标的正负确定正弦函数的符号. (2)判断符号，可直接应用角所在的象限进行判断.,【微思考】的大小与点P在角的终边上的位置有关吗？ 提示：无关，只与角的大小有关.,【即时练】 当角=0时，sin =_；若角=-3，则sin 的
5、符号为_(填“正”或“负”). 【解析】当角=0时，sin =0；若角=-3，则角是第三象限角，所以sin 0. 答案：0 负,【题型示范】 类型一 任意角的正弦函数、余弦函数 【典例1】 (1)(2014石家庄高一检测)已知角与单位圆的一个交点坐 标是 则cos 等于( )(2)已知角的终边经过点P(2,4)，求角的正、余弦函 数值.,【解题探究】1.题(1)中 的值是多少? 2.题(2)中角是第几象限角？ 【探究提示】1. 2.因为点P(2,4)在第三象限，所以角的终边落在第三象限，即角是第三象限角.,【自主解答】(1)选D.因为 所以 故cos = (2)因为点P(2,4)在角的终边上，
6、故u1=2， v1=4，可知r=OP= 所以sin = cos =,【延伸探究】题(1)中的条件不变，求sin 的值. 【解析】因为角与单位圆的一个交点坐标是 所以sin =,【方法技巧】利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解 题方法有以下两种： 方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用 三角函数的定义求出相应的三角函数值. 方法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理， 取射线上任一点坐标(a,b)，则对应角的正弦值 余弦值,(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.,【变式训练】
7、已知角的终边经过点P(2，-3)，则cos 的值 是( )【解析】选C.角的终边经过点P(2，-3)，故 由三 角函数的定义知 故选C,【补偿训练】(2013西安高一检测)已知角为第二象限的角. P(a,4)为终边上一点，且sin = 则sin +cos 的值 为_. 【解题指南】先求出a的值，然后求cos 即可.,【解析】|OP|=r= 由sin = 得 所以a=3. 又为第二象限的角, 所以a=-3, 所以cos = 所以sin +cos = 答案：,类型二 三角函数值的符号的应用 【典例2】 (1)(2014西安高一检测)已知角是第二象限角，则点 P(sin ,cos )在第_象限. (
8、2)确定下列各式的符号. cos 200. sin 160+cos(-40). sin 210cos 260.,【解题探究】1.题(1)中角的正、余弦值的符号如何？ 2.题(2)中角40,160,200,210,260的终边分别落在第几象限？ 【探究提示】1.第二象限角的正弦为正，余弦为负. 2.角40的终边在第四象限，角160的终边在第二象限，角200,210,260的终边都在第三象限.,【自主解答】(1)因为角是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以点P的坐标符号是(+,)，所以点P在第四象限. 答案：四,(2)200为第三象限的角， 所以cos 2000. 160为第二象限的角，
9、所以sin 1600.-40为第四象限的角， 所以cos(-40)0, 所以sin 160+cos(-40)0.,210为第三象限的角，sin 2100, 260为第三象限的角， 所以cos 2600, 所以sin 210cos 2600.,【方法技巧】正弦、余弦函数值的正负规律,【变式训练】确定下列各式的符号. (1)sin 2 014.(2) (3)sin 4cos 4. 【解题指南】先确定各角所在的象限，然后判断符号.,【解析】(1)2 014=3605+214, 所以2 014为第三象限的角, 所以sin 2 0140. (2) 为第四象限的角, 所以cos 0. (3)4 所以4 r
10、ad为第三象限的角. 所以cos 40，sin 40. 所以sin 4cos 40.,【补偿训练】sin(140)cos 740的值( ) A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不确定 【解析】选C.140是第三象限角，所以sin(140)0， 740=2360+20，所以740是第一象限角，所以 cos 7400，所以sin(140)cos 7400.,【易错误区】处理三角函数问题时忽视参数的符号致误 【典例】(2014泰安高一检测)已知角的终边经过点 P(3m,m)(m0)，则sin =_.,【解析】由题意得： |OP|= 当m0时，|OP|= 则sin = 当m0时，|OP|= 则sin = 答案： 或,【常见误区】,【防范措施】 1.准确理解定义 要从定义的内涵和外延准确把握定义，同时对三角函数的定义 的形式要准确记忆，如 和 不能混淆. 2.分类讨论的意识 在化简过程中，对字母参数要注意分类讨论，做到不重不漏， 如本例中对字母参数m的讨论.,【类题试解】已知角的终边过点P(-3a，4a)(a0)，则 cos =_. 【解析】由题意可得：|OP|= 当a0时，|OP|=5a，则 当a0时，|OP|=-5a，则 答案： 或,
