1、,第三章,3.1,3.3,3.2,3.1,直线的 倾斜角和斜率,主要内容,3.1.2 两条直线平行与垂直的判定,3.1.1 倾斜角与斜率,3.1.1,倾斜角与斜率,倾斜角与斜率,思考？,对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？,两点确定一条直线,还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？,在直角坐标系中，图中的四条红色直线在位置上有什么联系和区别？,经过同一点 倾斜程度不同,倾斜角与斜率,直线的倾斜角,当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向所成的角叫做直线l 的倾斜角.,l1,l2,l3,l4,l1的倾斜角为锐角,l2
2、的倾斜角为直角,l3的倾斜角为钝角,规定：当直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0o,0o180o,平面直角坐标系内，任何一条直线都有倾斜角，倾斜角表示平面坐标系内一条直线的倾斜程度.,事实,问：不同的直线其倾斜角一定不相同吗？,在平面直角坐标系中，已知直线上一点不能确定一条直线的位置. 同样已知直线的倾斜角，也不能确定一条直线的位置.,已知直线上一点和其倾斜角可以惟一确定一条直线.,一次函数 的图象是直线，在坐标系中画出这两条直线，并求这两条直线的倾斜角分别是多少？,取点A（1，1） B（1，0）,取点C（1， ） D（1，0）,AOB=450,COD=600,实践,取点A(1，2) B(1
3、，0) C(-1，0),ACB=450,下列各图中标出的角是直线的倾斜角吗？,一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率通常用k 表示，即：,直线的斜率,思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？,前进,升高,（）当 时，k随 增大而增大，且k,（）当 时，k随 增大而增大，且k,注意:,关于直线的倾斜角和斜率，其中说法是正确的.A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或；D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等E.直线斜率的范围是(，)F. 一定点和一倾斜角可以唯一确定一条直线,DEF,1.当倾斜角=0o，30o，45
4、o，60o时，这条直线的斜率分别等于多少？,2.当倾斜角=120o，135o，150o时，这条直线的斜率分别等于多少？,例子,3.当直线的倾斜角在什么范围时，其斜率k0?当直线的倾斜角在什么范围时，其斜率k0?,倾斜角为锐角时,k0; 倾斜角为钝角时,k0; 倾斜角为0o时,k=0.,问题,5.结合图形，观察倾斜角变化时，斜率的变化情况,经过两点 ,且 的直线的斜率k,探究：,（）,当直线 的方向向上时：,x,y,o,（1）,斜率公式,公式的特点:,(1) 与两点的顺序无关;,(2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两,(3) 当x1=x2时,公式不适用,此时=90o,点的坐标来表示,而
5、不需要求出直线的倾斜角,经过两点 的直线的斜率公式,1.当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合时，用上述公式求斜率.,2.当直线P1P2平行于y轴或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？,特殊问题,由y1=y2，得 k=0,由x1=x2，分母为零，斜率k不存在,例1 、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是什么角？,直线AB的斜率,直线BC的斜率,直线CA的斜率,直线CA的倾斜角为锐角,直线BC的倾斜角为钝角。,解：,直线AB的倾斜角为零度角。,例3 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l
6、1，l2，l3及l4.,思考：斜率随倾斜角逐渐变大是怎样的变化？,例2 . 已知点A(3,2)，B(4,1)，C(0,l)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角,(2).过点C的直线 与线段有公共点， 求 的斜率k的取值范围,例5：已知点 ，,(1).求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是锐角还是钝角,锐角,钝角,锐角,一半,（舍）,例6：已知直线的斜率为 ，直线 的倾斜角是直线的倾斜角 的两倍，求直线 的斜率,错解,1 直线倾斜角的概念,2 直线的倾斜角与斜率的对应关系,3 已知两点坐标，如何求直线的斜率？,斜率公式中脚标1和2有顺序吗？,小结
7、,P86练习：1,2，3，4. P89习题3.1A组：1,2,3,4,5,作业,x,y,o,3.1.2,两条直线的 平行与垂直的判定,在平面直角坐标系下，倾斜角可以表示直线的倾斜程度， 斜率也可以表示直线相对于x轴的倾斜程度。我们能否通过直线斜率来判断两条直线的位置关系?,思考？,o,y,x,l1,l2,设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2,若l1/ l2， 则k1，k2满足什么关系？,思考？,k=tan,反之， 若k1=k2， ，则易得 l1/ l2,对于两条不重合的直线，平行的充要条件,两条直线平行的条件,如果两直线垂直，这两条直线的倾斜角有什么关系？斜率呢？,思考？,如图，设直线l
8、1与l2的倾斜角分别为1与2，且12，,因为l1l2 ，所以2=90o+1,当k1k2 =-1时，直线l1与l2一定垂直吗？,探究,是,对于两条互相垂直的直线l1和l2，若一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率如何？,对于直线l1和l2，其斜率分别为k1，k2，根据上述分析可得什么结论？,两条直线的垂直判定,例1 下列说法正确的是（ ） 若两条直线斜率相等，则两直线平行。 若l1/l2， 则k1=k2 若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交。 若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行。,例2 已知A、B、C、D四点的坐标，试判断直线AB与CD的位置关系.(1)
9、A(2,3),B(4,0) C(3,l),D(l,2)；(2)A(6,0),B(3,6) C(0,3),D(6,6);(3)A(6,0),B(3,6) C(0,3),D(6,6);(4)A(3,4),B(3,100) C(10,40),D(10,40).,例4.已知A(2,3),B(-4,0), P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论。,例3.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.,例5 已知过A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2 的直线平行，则m 的
10、值是( ),A、-8 B、0 C、2 D、10,例6、已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),判断直线AB与PQ的位置关系。,例7 已知A(5,1),B(1,1),C(2,3),试判断ABC的形状.,例8 已知点A(m,1),B(-3,4),C(1,m),D(-1,m+1), 分别在下列条件下求实数m的值:（1）直线AB与CD平行；（2）直线AB与CD垂直.,1下列命题中正确命题的个数是(,),若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； 若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等； 若两直线垂直，则这两条直线的斜率之积为1； 若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等； 若两直
11、线的斜率不存在，则这两条直线平行,A1,B2,C3,D4,A,B,3直线 l 平行于经过两点 A(4,1)，B(0,3)的直线，则,直线的倾斜角为(,),D,A30,B45,C120,D135,4原点在直线 l 上的射影是 P(2,1)，则 l 的斜率为_.,2,练习：,重难点 2,两条直线垂直,(1)当 l1l2 时，它们的斜率之间的关系有两种情况：它们的斜率都存在且 k1k21；一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0.(2)使用 l1l2k1k21 的前提是 l1 和 l2 都有斜率且不等于 0.注意：在立体几何中，两直线的位置关系有平行、相交和异面(没有重合关系)；而在本章中，在
12、同一平面内，两直线有重合、平行、相交三种位置关系,两条直线平行的判定,例 1：已知直线 l1 过点 A(3，a)，B(a1,4)，直线 l2 过点 C(1,2)，,D(2，a2),(1)若 l1l2，求 a 的值； (2)若 l1l2，求 a 的值,思维突破：由 C、D 两点的横坐标可知 l2 的斜率一定存在，由 A、B 两点的横坐标可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在，因此应对 a 的取值进行讨论,判断两条直线平行( 或垂直) 并寻求平行( 或垂直)的条件时，特别注意结论成立的前提条件对特殊情形要数形结合作出判断变式训练：试确定 m 的值，使过点 A(m1,0)和点 B(5，m)的直线与过
13、点 C(4,3)和点 D(0,5)的直线平行,两条直线垂直的判定例 2：已知 A(1，1)，B(2,2)，C(4,1)，求点 D，使直线 ABCD 且直线 ADBC.,变式训练：已知三点 A(m1,2)，B(1,1)，C(3，m2m1)，若 ABBC，求 m 的值,断四边形 ABCD 是否为梯形？如果是梯形，是否是直角梯形？,平行和垂直关系的综合应用,从而直线 BC 与 DA 不平行，四边形 ABCD 是梯形,(1)判断一个四边形为梯形，需要两个条件：有一对相互平行的边；另有一对不平行的边(2)判断一个四边形为直角梯形，首先需要判断它是一个梯形，然后证明它有一个角为直角,注意陷阱：在直角ABC
14、 中，C 是直角，A(1,3)，B(4,2)，点 C 在坐标轴上，求点 C 的坐标,错因剖析：没有分类讨论，主观认为点 C 在 x 轴上导致漏解,变式训练：已知点 A(2，5)，B(6,6)，点 P 在 y 轴上，且APB90，试求点 P 的坐标,1.两条直线平行的判定,2.两条直线垂直的判定,3.思想方法,倾斜角、平行是几何概念， 坐标、斜率是代数概念，解析几何的本质是用代数方法来研究几何问题.,小结,P89练习：1，2. P90习题3.1 A组：8. B组：3，4.,作业,直线的方程,3.2,主要内容,3.2.2 直线的两点式方程,3.2.3 直线的一般式方程,3.2.1 直线的点斜式方程
15、,直线的点斜式方程,3.2.1,在平面直角坐标系内，如果给定一条直线 经过的一个点 和斜率 ，能否将直线上所有的点的坐标 满足的关系表示出来呢？,思考？,即：,点斜式方程,点斜式方程,直线 经过点 ，且斜率为 ,设点 是直线上不同于点 的任意一点，因为直线 的斜率为 ，由斜率公式得：,P,（1）过点 ，斜率是 的直线 上的点，其坐标都满足方程 吗？,（2）坐标满足方程 的点都在过点 斜率为 的直线 上吗？,上述两条都成立，所以这个方程就是过点 斜率为 的直线 的方程,点斜式方程,思考？,，或,的方程就是,（1） 轴所在直线的方程是什么？,思考？,当直线 的倾斜角为 时，即 这时直线 与 轴平行
16、或重合，,思考,（2） 轴所在直线的方程是什么？,，或,当直线 的倾斜角为 时，直线没有斜率，这时,直线 与 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示这时，直线 上每一点的横坐标都等于 ，所以它的方程就是,思考？,例1 直线 l 经过点P0(-2,3),且倾斜角为600,求直线l的点斜式方程，并画出直线 l.,如果直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为 得直线的点斜式方程，,也就是：,我们把直线与 轴交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距。,该方程由直线的斜率与它在 轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.,直线的斜截式方程,例题,例2 已知直线 ， 试讨论：（1） 的条件是什么？（
17、2） 的条件是什么？,解：,且 ；,例3 求下列直线的斜截式方程:（1）经过点A(-1，2)，且与直线 y=3x+1垂直；（2）斜率为-2，且在x轴上的截距为5.,例4 已知直线 l 的斜率为 ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.,1. 直线的点斜式方程：,2. 直线的斜截式方程:,小结,直线和x轴平行时，倾斜角=0,直线与x轴垂直时，倾斜角=90,3. 特殊情况,作业,P95练习：1，2，3，4 P100习题3.2 A组：1，5，6，10.,3.2.2,直线的两点式方程,思考？,已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，(x1x2 ,y1y2),如何求出这两个
18、点的直线方程呢？,经过一点，且已知斜率的直线，可以写出它的点斜式方程. 可以先求出斜率，再选择一点，得到点斜式方程.,两点式方程,x,y,l,P2(x2，y2),两点式,P1(x1，y1),斜率,根据两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，,截距式方程,x,y,l,A(a，0),截距式,B(0，b),解：代入两点式方程得,化简得,横截距,纵截距,例1. 已知直线经过点A（a，0），B（0，b），a0，b0，求直线方程,中点坐标公式,已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？,x,y,A(x1，y1),B(x2，y2),中点,P0的坐标为,例2 已知
19、三角形的三个顶点 A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.,例3.求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.,例4 求经过点P(0，3)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程.,例5. 已知直线 l 经过点P(1，2)，并且点A(2，3)和点 B(4，-5)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程.,直线方程小结,两点坐标,两点式,点斜式,两个截距,截距式,P97练习：1，2. P100习题3.2A组:3,4,8,9,11.,作业,3.2.3,直线的一般式方程,思考？,1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关
20、于x，y的二元一次方程表示吗？,2. 每一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？,讨论,1. 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是关于X，y的二元一次方程,2. 经过点P（x0,y0)且斜率不存在的直线的方程： x-x0=0可以看成y的系数为0的二元一次方程.,对于二元一次方程 Ax+By+C=0（A,B不全为零）,1）当B0时可化为,表示经过点（0， ），斜率k为 的直线.,2) 当B=0时，A0，方程可化为,表示垂直于x轴的直线.,直线的一般式方程,（其中A，B不同时为0）,1. 所有的直线都可以用二元一次方程表示,2. 所有二元一次方程都表示直线,此方程叫做直线的一般式方程,例
21、1 已知直线经过点A（6，-4），斜率为 ，求直线的点斜式和一般式方程.,例2 把直线l 的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.,两条直线平行和垂直的条件,平行,垂直,重合,例3 已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0和 l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1/l2，求a的值.,例4 已知直线l1：x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0， 若l1l2，求a的值.,小结,点斜式,斜率和一点坐标,斜截式,斜率k和截距b,两点坐标,两点式,点斜式,两个截距,截距式,一般式,小结,1.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都
22、可以化成一般式. 反之不一定. 2. 特殊的直线方程 如x+2=0, 2y-3=0.有时不存在点斜式或斜截式、两点式、截距式. 3. 根据一般方程也能很快判断两条直线的位置关系. 4. 一般不特别指明时直线方程的结果都要化成一般式.,P99-100练习：1，2. P101习题3.2B组：1，2，5.,作业,3.3,直线的交点坐标与距离公式,主要内容,3.3.2 两点间的距离,3.3.3 点到直线的距离,3.3.1 两条直线的交点坐标,3.3.4两条平行直线间的距离,3.3.1,两条直线的交点坐标,思考？,一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其
23、交点坐标？,用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.,几何概念与代数表示,A的坐标满足方程,A的坐标是方程组的解,对于两条直线 和 ,若方程组,有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？,两直线有一个交点， 重合、平行,探究,例1. 求下列两条直线的交点坐标,当变化时，方程,表示什么图形？图形有何特点？,探究,表示的直线包括过交点M（-2，2）的一族直线,例3 求经过两直线3x+2y+1=0 和 2x-3y+5=0的交点，且斜率为3的直线方程.,例4.设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交点P在第一象限，求k的取值范围.,小结,1.求两
24、条直线的交点坐标2.任意两条直线可能只有一个公共点，也可能没有公共点（平行）3.任意给两个直线方程，其对应的方程组得解有三种可能可能：1）有惟一解 2）无解 3）无数多解4.直线族方程的应用,作业,P109 习题3.3A组：1，3，5. P110 习题3.3B组：1.,3.3.2,两点间的距离,思考？,已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，如何点P1和P2的距离|P1P2|？,x,y,P1(x1,y1),P2(x2,y2),O,两点间距离公式推导,x,y,P1(x1,y1),P2(x2, y2),Q(x2,y1),O,x2,y2,x1,y1,两点间距离公式,特别地，点P（x，y
25、）到原点（0，0）的距离为,一般地，已知平面上两点P1(x1， )和P2(x2，y2)，利用上述方法求点P1和P2的距离为,例1 已知点 和 , 在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.,例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.,A(0,0),B(a,0),C (a+b,c),D (b,c),证明：以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系.,则四个顶点坐标为A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c),建立坐标系，用坐标表示有关的量。,x,y,A,B,C,D,(0,0),(a,0),(b,c),(a+b,c),因此，平行四边形四条边的平方和等于两条
26、对角线的平方和.,例2题解,用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：,第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量,第二步：进行 有关代数运算,第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系,小结,1.两点间距离公式,2.坐标法,第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量,第二步:进行有关代数运算,第三步:把代数运算结果翻译成几何关系,拓展,已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离公式可作怎样的变形？,例3 设直线2x-y+1=0与抛物线相交于A、B两点，求|AB|的值.,P106练习：1，2.P110习题3.3 A组
27、：6，7，8.,作业,3.3.3,点到直线的距离,思考？,已知点P0(x0，y0)和直线l：Ax +By +C=0，如何求点P到直线 l 的距离？,x,o,P0,Q,l,y,点P到直线 l 的距离，是指从点P0到直线 l 的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足,分析思路一：直接法,点 之间的距离 （点 到 的距离）,面积法求出P0Q,分析思路二：用直角三角形的面积间接求法,R,S,d,x,y,P0 (x0,y0),O,x0,y0,S,R,Q,d,点到直线的距离公式,点P(x0，y0)到直线 l ：Ax +By +C=0的距离为：,特别地，当A=0，B0时， 直线By+C=0,特别地，当B=0，A0
28、时， 直线Ax+C=0,x,y,P0 (x0,y0),O,|x1-x0|,|y1-y0|,x0,y0,y1,x1,点到坐标轴的距离,x,y,P0 (x0,y0),O,|y0|,|x0|,x0,y0,例1.求点 到直线 的距离,解：,思考：还有其他解法吗？,例2 已知点 ，求 的面积,分析：如图，设 边上的高为 ，则,边上的高 就是点 到 的距离,即：,点 到 的距离,因此,解：,边所在直线的方程为：,小结,点到直线的距离公式的推导及其应用,点P(x0，y0)到直线l：Ax +By +C=0的距离为：,作业,P110习题3.3A组：8,9.3.3B组：2,4,3.3.4,两条平行直线间的距离,概
29、念,两条平行直线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长,两平行线间的距离处处相等,思考？,怎样判断两条直线是否平行？,2.设l1/l2，如何求l1和l2间的距离？1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？2) 如何取点，可使计算简单？,例1 已知直线 和 l1 与l2 是否平行？若平行,求 l1与 l2的距离.,例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.,两平行线间的距离处处相等,在l2上任取一点，如P(3,0),P到l1的距离等于l1与l2的距离,直线到直线的距离转化为点到直线的距离,解：,例3. 求证：两条平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离为,解：设P(x,0),根据P到l1、 l2距离相等，列式为,所以P点坐标为：,例4 已知P在x 轴上, P到直线l1: x- y +7=0与直线 l2:12x-5y+40=0 的距离相等, 求P点坐标。,小结,1. 两条平行直线间距离的求法转化为点到直线的距离 2. 两条平行直线间距离公式,作业,P110习题3.3A组： 10.习题3.3B组：3，6，9,知识回顾Knowledge Review,
