1、第五章 梁弯曲时的位移, 梁的位移挠度及转角 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 按叠加原理计算梁的挠度和转角 奇异函数梁挠曲线的初参数方程 梁的刚度校核提高梁的刚度的措施 梁内的弯曲应变能,当梁发生对称弯曲时，梁的轴线在纵向对称平面内弯成一条平面曲线。,5-1 梁的位移 挠度和转角,光滑连续曲线,挠度 w,转角 q,挠曲线,w = f ( x ),小变形情况下：f = tanq q,挠曲线方程 （挠度方程）,q = f ( x ),转角方程,图示坐标下：w向下为正，q 顺时针转为正。,高等数学：,梁中性层的曲率：,5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分,M 0，w 0,M 0，w 0,取负号!,
2、挠曲线微分方程,挠曲线近似微分方程,小变形,等直梁：,E I w M(x),E I 为常量,积分常数由边界条件、连续条件确定,积分法,wA 0 wB 0,wA 0 qA 0,挠曲线上某些点的已知位移（挠度和转角）条件 边界条件,边界条件 支座处的约束条件,挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角 连续条件,当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁段的交接处，应具有相同的挠度和转角。,错！,错！,约束条件 连续条件,边界条件,本教材中,例1：悬臂梁在自由端受集中力F作用，试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度。设梁的弯曲刚度为 EI。,P160 例5-1,积分,x = 0 时：,边界条件,
3、例2：简支梁在D点受集中力F 作用，试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大挠度。设梁的弯曲刚度为 EI。,P162 例5-3,AD段（ 0 x a ）：,DB段（ a x l ）：,AD段（ 0 x a ）：,DB段（ a x l ）：,x = a 时：,连续条件,边界条件,确定积分常数,AD段（ 0 x a ）：,DB段（ a x l ）：,可以证明：当a b 时，梁最大挠度发生在AD段。,而,对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点，则可用梁中点的挠度代替最大挠度。,wC 与 wmax 非常接近，最大误差2.65。,例3：悬臂梁如图，已知F、a，M0.5 Fa，梁的弯曲刚度 EI 为常数，试
4、画出挠曲线的大致形状。,M0，挠曲线上凸；,M0，挠曲线下凸；,H 为挠曲线的拐点；,M0，挠曲线为直线。,例4：已知一直梁的挠曲线方程为,试求： 端点（ x 0 及 x l ）的约束情况； 画弯矩图、剪力图； 荷载情况，并画出梁的简图。,反问题,正问题,固定铰支座 活动铰支座,固定端 活动铰支座,抛物线,直线,静定梁（简支梁）,超静定梁,静定梁 ？,当某一参数（如内力、应力、位移等）与荷载成线性关系时，,叠加原理,5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角,多个荷载作用下引起的参数等于各个荷载单独作用下所引起的参数的叠加。,积分法,挠度和转角的普遍方程,梁上荷载复杂时，须分段建立弯矩方程，积分常数
5、成倍增长，确定积分常数十分烦琐。,叠加法、奇异函数法（初参数法）、能量法等,P372 附录,求 wC 、qA,+,wC ( q ) 、qA ( q ),拆 分,wC (F ) 、qA (F ),+,叠 加,wB ( q ) 、qB ( q ),+,拆 分,求 wC 、qC,变形位移,刚体位移,叠加法,不仅可将荷载拆开，进行上、下叠加；还可将梁拆开，进行左、右叠加。,注意： 拆分时不能改变梁的受力情况； 叠加时不能改变梁的变形情况。,例：外伸梁受力如图，已知 F、q、a，试用叠加法求梁自由端 C 的挠度。设梁的弯曲刚度为 EI。,+,拆 分,qB = qB ( q ) +qB ( M ),wC
6、(F ),刚度条件,一、梁的刚度校核,5-5 梁的刚度校核提高梁的刚度的措施,普通机床主轴：,屋梁和楼板梁：,吊车梁：,钢闸门主梁：,例：简支梁横截面由两个槽钢组成，受力如图。已知 F1 =120 kN、F2 =30 kN、F3 =40 kN、F4 =12 kN；钢s =170 MPa，t =100 MPa；E =2.1105 MPa；梁w / l= 1 / 400。试选择槽钢的型号。,P173 例5-8,FSmax138 kN,Mmax62.4 kNm,画内力图,按正应力强度条件选择槽钢型号,查型钢表(P370),要校核正应力强度条件,相对误差为35，满足正应力强度条件。,，选用两个 20a
7、 号槽钢。, 校核切应力强度条件,切应力强度条件满足,查型钢表（20a 号槽钢）：, 校核刚度,刚度条件满足,选用两个20a 号槽钢,bi为Fi离支座最近的距离,C,二、提高梁的刚度的措施,梁的位移除与梁的支承和荷载情况有关外，还与下列因素有关：,材料 与弹性模量 E 成反比 截面 与惯性矩 I 成反比 跨长 与跨长 l 的 n 次幂成正比,增大梁的弯曲刚度 EI 调整跨长和改变结构,缩短跨长,增加约束,超静定结构, 纯弯曲,5-6 梁内的弯曲应变能, 横力弯曲,应变能,弯曲应变能（弯曲变形） 剪切应变能（剪切变形）,可略去不计,例：悬臂梁长为 l，弯曲刚度为 EI，受集中力F 作用。试求梁的应变能，并利用功能原理求 A端的挠度。,P178 例5-9,x,横力弯曲,应变能,外力作功,56 ； 512、23 ； 524 。,作业：,
