1、,Prof. Liubiyu,高等数学A,高等数学(A下) 复习纲要,一、考试内容与范围,二、练习册与教材部分题解,一、考试内容与范围,Chapter 1 空间解析几何,Chapter 2 多元函数微分学,Chapter 3 重积分,Chapter 5 曲线积分与曲面积分,Chapter 6 常微分方程与差分方程,第 1 章 空间解析几何考点范围,1.2 空间直角坐标系 向量的坐标表示,1.1 向量及其线性运算,1.3 数量积, 向量积, 混合积,1.6-1.7 空间曲面与曲线方程,1.8 二次曲面,1.4-1.5 平面与直线方程,第 2 章 多元函数微分学的考点范围,2.3 偏导数与高阶偏导
2、数,2.1-2.2 多元函数的基本概念、多元函数的极限与连续,2.4 全微分及其应用,2.6 多元复合函数的求导法,2.7 隐函数微分法,2.8 偏导数的几何应用,2.5 方向导数与梯度,2.9 多元函数的极值及应用,第 3 章 重积分的考点范围,3.2 二重积分的计算,3.3 二重积分的应用,3.1 二重积分的概念与性质,3.4 三重积分的概念及其在直角坐标下的计算,3.6 重积分的换元积分法,3.7 三重积分的应用,3.5 柱面坐标与球面坐标下三重积分的计算,第 5 章 曲线积分与曲面积分的考点范围,5.2 Line integral of the second type,5.3 Gree
3、ns formula,5.1 Line integral of the first type,5.4 Surface integral of the first type,5.6 Gausss formula and divergence,5.7 Stokess formula and the curl of a vector,5.5 Surface integral of the second type,第 6 章 常微分方程与差分方程的考点范围,6.2-6.3 一阶微分方程及其解法,6.4 可降阶的高阶微分方程,6.1 微分方程的基本概念,6.5 线性微分方程解的结构,6.7 微分方程的简
4、单应用,6.6 二阶常系数线性微分方程与Euler方程,教材中不考的内容：2.9, 第4章, 6.8, 6.9, 6.10, 第7章,第1章 向量代数与空间解析几何,空间解析几何是建立在空间直角坐标系的基础上, 用代数方法来研究和解决空间几何问题. 主要包括向量代数、空间直线与平面、常用二次曲面等内容， 为进一步研究多元函数及其微积分学作必要的准备。,1、向量代数,向量代数主要包括：向量的模、向量的投影、向量与数的乘法、向量的加减法、点积、叉积以及混合积等. 除了应熟悉各种运算的定义、运算律与坐标表示式之外， 还要理解相应的几何意义。,常见的题型： （1）向量的基本运算；（2）证明等式或简化算
5、式；（3）利用向量方法求解几何问题。,2、空间直线与平面,常见的题型： （1）讨论直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行或垂直关系；（2）计算两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线的距离；（3）建立空间直线与平面的方程。,3、曲面与曲线,（1）常用曲面：球面、旋转曲面、柱面、二次曲面等方程的建立以及由方程确定的曲面形状。,（2）利用曲面及方程了解空间曲线的特征,（3）曲线、曲面与立体在坐标面上的投影的求法。,练习册部分习题解答,第 1 章,1.1-1.2,解:,1.3,证明:,只要证三者混合积为0,1.5,解:,辅助平面法,解:,基本公式,公垂线L的方向向量,辅助平面法,所
6、以公垂线L的方程:,Solution,1.6-1.7,第2章 多元函数微分学,多元函数微分学是一元函数微分学的基本理论与方法的推广. 因此与一元函数微分学有着密切联系. 主要内容:,1. 二元函数的极限、连续、可导性与可微性,常见的题型： （1）讨论二重极限的存在性；（2）求二重极限；（3）讨论二元函数的连续性、可导性与可微性之间的关系,讨论二重极限的存在性：若要证明二重极限存在，一般是用定义证. 若要证明二重极限不存在, 则只要能找出两条不同的路线, 沿这些路线的极限值不相同就行了. 较有效的方法是沿直线y=kx或含参数k的二次,三次曲线取极限, 所得结果与 可有关, 由此说明极限不存在.,
7、求二重极限；通常用求一元函数极限类似的方法, 如夹逼原理, 利用连续性等.,讨论二元函数的连续性、可导性与可微性之间的关系: 通常用二元函数的连续, 偏导数, 全微分的定义说明.,2. 求多元函数的偏导数与全微分,常见的题型： （1）利用链式法则求多元复合函数的偏导数；（2）利用多元隐函数求导法求隐函数的偏导数.,3. 多元函数微分法的应用,常见的题型： （1）几何应用, 包括建立空间曲线的切线与法平面方程、曲面的切平面与法线方程（2）极值问题，包括无条件极值、条件极值、函数的最大值与最小值,练习册与教材部分习题解答,第 2 章,Solution:,教材习题2.2, 3(4),证:,2.3 练
8、习题解,解,解,2.4 练习题解,解,2.5 练习题解,解,解,2.6 练习题解,证,由全微分形式不变性得:,解,第2章自测题,解,第3章 重积分,重积分是一元函数定积分的推广. 与定积分相比较, 重积分计算除了与被积函数有关外, 更大程度上与积分区域的特点有关,计算的一般原则是将重积分化为逐次积分, 难点在于选择积分次序, 确定各次积分限. 主要内容:,1. 二重积分的基本计算方法,（1）利用直角坐标计算二重积分；（2）利用极坐标计算二重积分,2. 三重积分的基本计算方法,（1）利用直角坐标计算；（2）利用柱面坐标计算; (3) 利用球面坐标计算,3. 计算重积分的几种典型技巧,（1）先二后
9、一法计算三重积分；（2）利用对称性简化重积分的计算; (3) 重积分的积分区域的陪分.,4. 逐次积分的计算方法,（1）客观型交换积分次序;（2）主观型交换积分次序; (3) 应用型交换积分次序,5. 重积分的应用,（1）几何应用, 包括计算曲面的面积、立体的体积;（2）物理应用：包括平面与立体构件的质量、重心、转动惯量等,练习册部分习题解答,第 3 章,3.1,三. 利用二重积分的几何意义计算:,解:,证明:,补充题,证明:,证明:,3.2,解:,3.4,解:(投影法),解:(投影法),3.5,解:(柱面坐标法),解法一:(柱面坐标法),解法二:(球面坐标法),解:(截面法),3.7,解:(
10、投影法),解:(柱面坐标法),(2010中南大学统考题),Solution:,于是所割下部分在 yoz 面上的投影域为：,由图形的对称性, 所求面积为第一卦限的两倍,第三章自测题,由轮换对称性可知,解:(对称性简化),解:(极坐标法),Solution.,利用球面坐标,第5章 曲线积分与曲面积分,曲线积分与曲面积分也是一元函数定积分的推广，它们的计算最后都要归结为定积分的计算. 主要内容:,1. 第一类线积分、面积分的计算,（1）第一类线积分的基本计算法；（2）第一类面积分的基本计算法”一投二代三替换”；（3）第一类线积分与面积分的对称性,2. 第二类线积分的计算,第二类线积分亦即对坐标的线积
11、分:,与第一类线积分有如下关系:,空间的两类线积分也有类似的关系:,对平面第二类线积分, 其计算法通常有；（1）利用参数方程化定积分;（2）利用Green公式; (3)利用恰当条件; (4) 选择适当路径,对空间第二类线积分, 其计算法通常有；（1）利用参数方程化定积分;（2）利用Stokes公式; (3)利用积分曲线投影法,3. 第二类面积分的计算,其计算法有；（1）基本计算法”一投二代三定向”;（2）类型转换法; (3)投影转换法; (4) 利用Gauss公式,（1）几何应用，包括曲线长度，曲面面积;（2）物理应用：包括曲线与曲面构件质量、重心与转动惯量（利用第一类线面积分）、变力沿曲线作
12、功（利用第二类线积分）、流体穿过曲面指定侧的通量或流量（利用第二类面积分）、记住向量的梯度、散度与旋度计算公式,4. 线、面积分的应用,练习册部分习题解答,第 5 章,5.1,Solution,Solution,宜采用极坐标计算,5.2,Solution.,Solution,第一、二类曲线积分之间的关系,切向量:,切向量:,切向量:,5.3,Solution,采用基本计算法计算量大.,取以O为中心, 充分小的r为半径作圆周 l: x= r cos, y= r sin, 使其全部包含在L内, l 的方向取顺时针方向. 设D是由L与 l 所围成的区域.,Solution,5.5,Solution.
13、,利用类型转换法,Solution.,两类曲面积分的关系式.,指定侧法向量:,指定侧法向量:,5.6,Solution.,补充:,利用Gauss公式,5.7,Solution 利用Stokes公式,自测题(第五章),由轮换对称性得,球面面积,Solution.,利用Gauss公式,Solution.,第6章 常微分方程,1. 一阶微分方程的解法,微分方程以方程的形式描述了未知函数及其导数以及自变量之间的依赖关系. 微分方程理论的基本问题是研究满足这个方程的函数, 即所谓的解. 主要研究几类特殊微分方程的解法.,主要讨论几种典型的一阶微分方程的解法. 其一般原则是, 根据方程的类型确定相应的解法
14、. 如果所遇到的方程不是典型方程， 则必须根据方程的特点， 充分利用变量替换、求积分因子等技巧， 把方程化为典型方程， 从而求解. 由于不同类型的微分方程采用不同的解法, 因此最为重要的是认清方程类型并记住其解法,主要有；（1）可分离变量方程;（2）齐次方程; (3)一阶线性微分方程; (4) 全微分方程； （5）Bernoulli方程,2. 高阶微分方程的解法,主要有；（1）几种可降阶的微分方程的解法;（2）高阶线性微分方程解的结构及应用; (3)高阶常系数线性齐次微分方程的解法; (4)高阶常系数线性非齐次微分方程的解法,3. 微分方程的应用,(1) 利用微分方程求解函数方程; (2) 利用微分方程求解几何问题; (3)利用微分方程求解物理问题,基本做法: (1) 建立反映实际问题的微分方程, 并根据实际意义写出初始条件(或其他定解条件);,(2) 求解微分方程(求通解或由初始条件确定的特解);,(3) 分析所得结论,对实际问题进行一定的解释, 或预测实际变化过程.,练习册部分习题解答,第 6 章,6.2-6.3,Solution:,6.6,Solution:,
