1、四 边 形-2,第 19 章,一.知识结构,一、矩形的性质,1.四个角都是直角,二、矩形的判定,1.有一个直角的平行四边形,2.对角线相等,3.S=ab,3.有三个直角的四边形,2.对角线相等的平行四边形,三、菱形的性质,1.四个边相等,四、菱形的判定,1.有一组邻边相等的平行四边形,2.对角线互相垂直,每条对角线平分一组对角。,3.四边相等的四边形,2.对角线垂直的平行四边形,五、正方形的性质,1.四边相等,四个角都是直角,六、正方形的判定,1.先证它是矩形,再证它还是菱形,2.对角线相等、垂直、平分,每条对角线平分一组对角。,3.对角线相等+垂直+平分,2.先证它是菱形,再证它还是矩形,七
2、、对称性,它们都既是中心对称图形,又是轴对称图形.对称轴如下:,八、直角三角形斜边的中线,直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.,二.典例精析,例1 下列语句：有三个角相等的四边形是矩形，四边相等的四边形是正方形，一组邻边相等的四边形是菱形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。其中叙述错误的是（ ）, (B) (C) (D) ,D,例2 下列说法不正确的是( ),(A)一组邻边相等的矩形是正方形,(B)对角线相等的菱形是正方形,(C)对角线互相垂直的矩形是正方形,(D)有一个角是直角的平行四边形是 正方形,D,例3 在ABC中,点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DECA，D
3、FBA。下列四种说法中正确的有 。,(A)四边形AEDF是平行四边形,(B)如果BAC=90，那么四边形AEDF是矩形,(C)如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形,(D)如果ADBC，且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形,A、B、C、D,例1 矩形的一个角的平行线分矩形的一边为1cm和3cm两部分，求矩形的面积。,解:若AE=1,则ED=3. ABCD为矩形,ADBC,AEB=EBC,BE是角平分线,AEB=ABE,AB=AE=1,S=ABBC=14=4,若AE=3,则S=12,例1 已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件：AC=BD；AB=AD；1=2； ABBC。其中能说明 A
4、BCD是矩形的有 。,例2 菱形的周长为24，一条对角线长为8，求菱形的面积。,4,6,解:菱形的周长为24,AB=244=6,若AC=8,则AO=4,ACBD,练2 菱形的周长为24,两邻角的比为1:2,求对角线的长。,6,30,解:菱形的周长为24,AB=244=6,BAD:ABC=1:2,BAD+ABC=180,ABC=60,ABO=30,AO=3,AC=6,例3 矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AEBD,垂足为E,若DAE=2BAE,求EAC的度数,解:设BAE=x,则DAE=2x,AEBD,AC=BD,AO=DO,例11 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，APBD
5、，DPAC，AP、DP相交于点P。则四边形AODP是什么样的特殊四边形？并说明你的理由。,1.先证AO=DO,2.再证四边形AODP是平行四边形,3.根据定义证四边形AODP是菱形,例4 ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高，AE是ABC的外角平分线,DEAB.求证:四边形ADCE是矩形。,证:AD是高,ADC=90,AB=AC,B=ACB,FAC=B+ACB,=2B,AE是外角平分线,2FAE=2B,FAE=B,AEBC,ADC=90,AB=AC,AD是高,AE=BD,AEBC,DEAB,四边形ABDE是平行四边形,BD=DC,AE=DC,四边形ADCE是平行四边形,四边形ADCE是矩形
6、.,例5 菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,B=EAF=600,若BAE=200,求CEF的度数。,解:ABCD是菱形,BA=BC,1=2,ABC是等边三角形,连结AC,B=60,BAC=60,EAF=60,3,2,1,3,2,1,B=60,BCD=120,4,AC平分对角,4=60,ABC是等边三角形,AB=AC,在ABE与ACF中,B=4,1=2,B=4,AB=AC,3,2,1,4, ABEACF,AE=AF,AEC=B+1,EAF=60,AEF是等边三角形,CEF=20,AEC=AEF+CEF,B+1=AEF+CEF,AEF=60,例10 如图，ADFE，点B、C在AD上，1
7、= 2，BF=BC。求证：四边形BCEF是菱形。,A,E,B,C,D,F,证明： ADFE, 3=2, 1=2, 1=3, BF=EF, BF=BC, EF=BC,A,E,B,C,D,F, 四边形BCEF是平行四边形, ADFE, BF=BC, 四边形BCEF是菱形,(2)若AB=BC=CD，求证：ACFBDE,A,E,B,C,D,F,证明： ADFE，EF=BC，AB=BC, ABFE，EF=AB, 四边形ABEF是平行四边形, AF=BF,(2)若AB=BC=CD，求证：ACFBDE,A,E,B,C,D,F,同理，四边形ABEF是平行四边形, FC=ED, AB=BC=CD, AC=BD,
8、 ACFBDE (SSS),例6 如图,正方形ABCD中,E是AC上一点, AGEB,求证:OE=OF,证:ABCD是正方形,AO=BO,AOF=BOE=90,AGBE,BOAC,1+3=90,2+3=90,1=2,在AOF与BOE中,AOF=BOE,1=2,AO=BO,AOFBOE,OF=OE,方法提示:,本题运用了正方形对角线互相垂直平分等重要性质, 但观察出两直角三角形全等才是关键.,练6 如图,点E在AC的延长线上,AG垂直于BE,垂足在EB的延长线上,OE=OF？,答:依然成立.先证E=F,再证全等.,例10 在ABC中，A=45，ACB=90 EF垂直平分BC交BC于D，交AB于E
9、，且CF=BE四边形BECF是正方形吗？请说明你的理由,解：四边形BECF是正方形, EF垂直平分BC, BE=CE，BF=CF, BE=CF, BE=CE=BF=CF, 四边形BECF是菱形,A=45,1=45,四边形BECF是菱形,ACB=90,2=1=45,2+1=90,EBF=90,四边形BECF是正方形,例7 如图,BD、CE是高,G、F分别是BC、DE的中点,试说明：FGDE,证:连EG、DG.在BCD中,BD是高,G是BC中点,DG=EG,DGE等腰.,F是DE中点,FGDE,练7 如图,等腰梯形ABCD中,M是BC的中点,ABCD,AOB=60,E、F分别是OD、OA的中点.求
10、证：EFM是等边三角形。,1、证AC=BD，进而可证ABD、BAC全等； 2、由ABD= BAC，推OA=OB，OC=OD； 3、等边OCD、 OAB； 4、M为中点，中线EM=FM； 5、EF为中位线，为BC一半,例8 将长方形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在点C处,BC交AD于E,AD=8,AB=4,求BED的面积。,解:BCD沿BD折叠得BCD,1=2,ABCD是矩形,ADBC,1=3,2=3,设BE=X,得DE=x,AE=8-x,DE=BE,ABCD是矩形,A=90,练8 长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将矩形折叠,使C点与A点重合,求折痕EF的长。,3、EF是折痕，AC被E
11、F垂直平分，在RtAEO中求,1、在RtABC中求AC=5,2、设BE=x，得EC=4-X，得AE=4-x，在RtABE中用勾股定理求,x,4-x,4-x,例9 用不同的方法将矩形ABCD分成面积相等的两部分。,你能将矩形分成面积相等的四等分吗？,三等分矩形面积，你会吗？,例10 你能用一条直线把这块地分成面积相等的两部分吗？请说明你的道理。,例11 在四边形ABCD中,对角线BD、AC交于点O,从下列六个条件中,选取三个推出四边形ABCD是菱形。,答案：125、126、345、346,(1)AB=CD (2)ABCD (3)OA=OC,(4)OB=OD (5)ACBD (6)AC平分BAD,
12、练11 在四边形ABCD中,ADBC,对角线AC、BD相交于O,若要使四边形ABCD为菱形,还要添加什么条件？,2.AD=BC，AB=AD,1.ABCD，AB=AD,3.ABD=BDC,AB=AD,解:有三种添法,例12 在ABC中,AD是BAC的平分线, DEAC,DFAB,AD、EF互相垂直吗？说说你的理由。,2.证2=3,思路提示:,1.证1=2,4.证AEDF是平行四边形,3.由1=3得AE=DE,5.证AEDF是菱形,三.拓展加深,例13 如图, 动点Q、H、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发沿着AB、BC、CD、DA向B、C、D、A移动,移动速度相同.(1)求证
13、：四边形QHEF是正方形.,解:ABCD为正方形,AB=BC=CD=DA,AG=BH=CE=DF,GB=HC=ED=FA,A=B=C=D,AGFBHGCEHDFE,GH=HE=EF=FG,四边形GHEF为菱形.,1=3,2+3=90,1+2=90,FGH=90,四边形GHEF为正方形.,(2)QE是否总过某一定点，并说明理由.,解:连AC,GE. ABCD,AGCE,AG=CE,四边形AGCE为平行四边形.,AC,GE交于中点.,GE必过AC的中点.,(3)四边形QHEF的顶点位于何处时其面积最大?最小?其值各是多少?,解:设AG=x,AB=a,则AF=a-x.,当x=0或x=a时,四边形GH
14、EF,就是正方形ABCD.故,例14 在ABC中,ACB=90,DE为中位线,在DE的延长线上取点F,使AF=CE.(1)四边形ACEF是什么四边形?,解:ACB=90,E为中点,AE=CE,AF=CE,AE=AF,1=2,3=F,EF=AC,EFAC,ACEF为平行四边形.,1=2=3=F,AE公共,FEACAE,DE为中位线,EFAC,2=3,(2)当B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?,解:B=30时,结论成立.,B=30,2=60,ACE等边,同理,ACE等边,AE公共,AC=CE=EF=FA,ACEF为菱形.,(3)四边形ACEF有可能是正方形吗?,解:不可能是正方形.,E为AB中点,1=ACB,ACEF的内角不能是直角.,例13 如图,矩形ABCD中,延长BC至E,使BE=BD,F是DE中点,连接AF,CF.求证:AFCF,证:连接BF.,BD=BE,F是DE中点,BFDE,2+3=90,四边形ABCD是矩形,AD=BC,ADC=BCD=90,ADFBCF(SAS),F是DE中点,FC=FD,4=5,ADF=BCF,3=1,2+3=90,2+1=90,AFFC,作 业,温 故 知 新 ,不 亦 乐 乎 .,
