1、 高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）学生姓名： 授课教师： 授课时间： 12.21 椭圆及其标准方程第一部分：基础知识梳理知识点一 椭圆的定义平面内到两个定点 的距离之和等于常数（大于 ）的点的集合叫做椭圆。两个定点21F， 21F叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。21F，根据椭圆的定义可知：椭圆上的点 M 满足集合 ， ，2aM1PcF21且 都为常数。0,caa、当 即 时，集合 P 为椭圆。c2当 即 时，集合 P 为线段 。21F当 即 时，集合 P 为空集。知识点二 椭圆的标准方程（1） ，焦点在 轴上时，焦点为 ，焦点 。)0(12bayxx)0,(ccF21（2）
2、 ，焦点在 轴上时，焦点为 ，焦点 。)(2 y),(F21知识点三 椭圆方程的一般式这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供出来，作为参考：（其中 为同号且不为零的常数， ） ，它包含焦点在 轴或 轴上两CByAx2BA、 BAxy种情形。方程可变形为 。12yx当 时，椭圆的焦点在 轴上；当 时，椭圆的焦点在 轴上。BCAxBCAy专 题 椭圆及其标准方程目 标 掌握椭圆的定义和标准方程重 难 点 待定系数法求椭圆的标准方程常 考 点 待定系数法求椭圆的标准方程；点差法求直线的斜率一般式，通常也设为 ，应特别注意 均大于 0，标准方程为 。12ByAxBA、
3、 12ByAx知识点四 椭圆标准方程的求法1. 定义法椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一,当问题是以实际问题给出时，一定要注意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。例 1、 在ABC 中，A、B、C 所对三边分别为 ，且 B（-1,0）C（1,0） ，求满足 ，且cba、 cab成等差数列时，顶点 A 的曲线方程。cab、变式练习 1.在ABC 中，点 B（-6,0） 、C（0,8） ，且 成等差数列。CABsinsi、（1）求证：顶点 A 在一个椭圆上运动。（2）指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。2. 待定系数法首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数 表示
4、出来，然后结合问题的条件，建立参数ba、满足的等式，求得 的值，再代入所设方程，即一定性，二定量，最后写方程。ba、 ba、例 2、 已知椭圆的中心在原点，且经过点 P（3,0） ， =3b，求椭圆的标准方程。例 3、 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 ，求椭圆方程。)2,3()1,6(2P、变式练习 2.求适合下列条件的椭圆的方程;(1)两个焦点分别是（-3,0） ， （3,0）且经过点（5,0）.（2）两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为 8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 12.3.已知椭圆经过点 和点 ，求椭圆的标准方程。），（ 36），（ 124.求中心
5、在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点 的椭圆标准方程。），（） ，（ 21-031QP知识点五 共焦点的椭圆方程的求解一般地，与椭圆 共焦点的椭圆可设其方程为 。)0(12bayx )(1222bkbykax例 4、 过点（-3,2）且与 有相同焦点的椭圆的方程为（ ）49A. B. C. D. 1052yx10252yx1502yx 1250yx变式练习 5.求经过点（2，-3）且椭圆 有共同焦点的椭圆方程。36492yx知识点六 与椭圆有关的轨迹问题的求解方法与椭圆有关的轨迹方程的求解是一种很重要的题型，教材中的例题就是利用代入求球轨。迹，其基本思路是设出轨迹上一点 和已知曲线上一点 ，建立
6、其关系，再代入。),(yxP),(0yxM例 5、已知圆 ，从这个圆上任意一点 向 轴作垂线段 ,点 在 上，并且92xPPM,求点 的轨迹。MP知识点七 与弦的中点有关问题的求解方法直线与椭圆相交于两点 、 ,称线段 为椭圆的相交弦。与这个弦中点有点的轨迹),(1yxA)(2BAB问题是一类综合性很强的题目，因此解此类问题必须选择一个合理的方法，如“设而不求”法，其主要特点是巧代线段 的斜率。其方程具体是：设直线 与椭圆 相交于 两点，Bl )0(12bayxBA、坐标分别为 、 ，线段 的中点为 ，则有),(1yxA),(2AB),(0M122byax式-式，得 ，即2121-y 0202
7、121 yaxbyxabxy 02yaxbkAB通常将此方程用于求弦中点的轨迹方程。例 6.已知：椭圆 ，求：1462x（1）以 P（2，-1）为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为 2 的相交弦中点的轨迹方程；（3）过 Q（8,2）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。第二部分：巩固练习1. 设 为椭圆 的焦点，P 为椭圆上一点，则 的周长是（ ）21F， 162yx 21FPA. 16 B. 8 C. D. 无法确定 852. 椭圆 的两个焦点之间的距离为（ ）12432yxA. 12 B. 4 C. 3 D. 2 3. 椭圆 的一个焦点是（0,2） ，那么 等于（ ）52kkA. -1 B. 1 C. D. - 554. 已知椭圆的焦点是 ，P 是椭圆上的一个动点，如果延长 到 ,使得 ,那么动2F， PF1Q2PF点 的轨迹是（ ）QA. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 5. 已知椭圆 的焦点在 轴上，则 的取值范围是_.192myxxm6. 椭圆 的焦点坐标是_. 2a7. 椭圆 的焦距为 2，则正数 的值_.142yxa
