1、 收 稿 日 期 : 2003 - 03 - 20作 者 简 介 : 杨 峻 (1973 - ) ,男 ,河 南 安 阳 人 ,安 阳 师 范 学 院 数 学 系 助 教 .文 章 编 号 : 1671 - 8127 (2003) 03 - 0029 - 03积 分 元 素 的 本 质 及 元 素 法 应 用 辨 析杨 峻(安 阳 师 范 学 院 数 学 系 ,河 南 安 阳 455000)摘 要 : 合 理 选 取 积 分 元 素 是 运 用 定 积 分 元 素 法 解 决 具 体 问 题 的 关 键 . 理 解 了 积 分 元 素 的 本 质 ,就 会 避 免 实 际 应 用 中 的 随
2、意性 和 盲 目 性 ,达 到 正 确 有 效 地 选 取 积 分 元 素 的 目 的 .关 键 词 : 积 分 元 素 ;定 积 分 ;元 素 法 ;微 分中 图 分 类 号 : O17212 文 献 标 识 码 : A积 分 元 素 ,也 称 微 元 或 元 素 ,是 定 积 分 “ 化 曲 为 直 ,以 直 代 曲 ” 思 想 的 具 体 表 现 ,是 定 积 分 应 用 中 所 谓 “ 元素 法 ” 的 核 心 和 精 华 所 在 . 寻 求 积 分 元 素 问 题 是 用 定 积 分 解 决 实 际 问 题 的 关 键 一 步 . 在 这 里 ,我 们 先 从 剖 析积 分 元 素
3、的 本 质 入 手 ,继 而 排 除 选 取 积 分 元 素 的 随 意 性 ,最 后 给 出 了 寻 求 积 分 元 素 的 一 条 有 效 途 径 .1 元 素 法 及 积 分 元 素 的 本 质1. 1. 元 素 法严 格 地 说 ,用 定 积 分 解 决 实 际 问 题 都 应 当 经 过 “ 分 割 ” 、“ 近 似 ” 、“ 求 和 ” 、“ 取 极 限 ” 四 个 步 骤 ,但 这 样 处 理相 当 烦 琐 . 一 般 地 ,如 果 某 一 实 际 问 题 中 所 求 量 U 符 合 下 列 条 件 :(1) U 是 与 一 个 变 量 x 的 变 化 区 间 a , b 有 关
4、 的 量 .(2) U 对 于 区 间 a , b 具 有 可 加 性 .(3) U 在 a , b 的 任 意 子 区 间 x , x + x 上 的 部 分 量 U f ( x) x 就 可 考 虑 用 定 积 分 表 达 这 个 量U .通 常 写 出 U 的 积 分 表 达 式 的 步 骤 是 1 :(1) 选 取 一 个 变 量 如 x 为 积 分 变 量 ,确 定 其 变 化 区 间 a , b .(2) 任 取 x , x + dx a , b ,求 出 这 个 小 区 间 上 的 部 分 量 U 的 近 似 值 . 如 果 U f ( x) dx ,其 中f ( x) 是 a
5、, b 上 的 一 个 连 续 函 数 在 x 处 的 值 , dx 是 这 个 小 区 间 的 长 度 ,且 U 与 f ( x) dx 的 近 似 程 度 可 达到 U 与 f ( x) dx 相 差 一 个 比 dx (即 x) 高 阶 的 无 穷 小 ,就 把 f ( x) dx 称 为 量 U 的 积 分 元 素 ,且 记 作 dU ,即 :dU = f ( x) dx .(3) 以 所 求 量 U 的 元 素 f ( x) dx 为 被 积 表 达 式 ,在 区 间 a , b 上 作 定 积 分 得 : U =baf ( x) dx .以 上 即 元 素 法 . 综 观 元 素
6、法 思 路 会 发 现 ,步 骤 (2) 至 关 重 要 ,但 同 时 也 疑 团 重 重 :既 然 元 素 记 作 dU ,就 应和 U 的 微 分 有 关 ,而 所 求 量 U 却 是 一 个 待 确 定 的 常 数 值 ,其 微 分 应 为 0 才 对 .1. 2 积 分 元 素 的 本 质设 f ( x) 是 a , b 上 的 连 续 函 数 ,则 f ( x) 在 a , b 上 的 变 上 限 积 分 函 数U ( x) =ba( x) dx x a , b 其 对 上 限 x 的 导 数 U ( x) = f ( x)设 U =baf ( x) dx ,则 其 在 a , b
7、的 子 区 间 x , x + x 上 所 对 应 的 部 分 量922003 年 第 3 期第 2 卷 (总 第 6 期 ) 商 丘 职 业 技 术 学 院 学 报JOURNAL OF SHAN GQ IU VOCA TIONAL AND TECHN ICAL COLL EGE Vo1. 2 ,No. 3J un. ,2003 U =x + xxf ( x) dx = f ( ) x ,其 中 x , x + x .当 x 0时 ,由 f ( x) 的 连 续 性 知 f ( ) f ( x) . 故 此 时 有 U f ( x) x = U ( x) x = dU ( x) .由 微 分
8、定 义 知 : U - dU ( x) = o( x)这 里 的 dU ( x) = f ( x) x ,符 合 元 素 法 步 骤 (2) 的 要 求 ,显 然 即 是 其 中 的 积 分 元 素 dU . 因 而 所 谓 积 分元 素 ,实 质 上 却 是 微 分 元 素 ,即 f ( x) 在 a , b 上 的 变 上 限 积 分 函 数 (一 个 原 函 数 ) U ( x) 在 x 处 的 微 分 ,故 积分 元 素 又 称 微 元 2 . 微 分 性 质 决 定 了 它 的 特 征 是 :(1) 它 是 与 x 成 正 比 的 量 .(2) 它 与 所 求 量 U 的 部 分 量
9、 U 只 相 差 一 个 比 x 高 阶 的 无 穷 小 .大 多 数 实 际 问 题 中 ,所 求 得 的 部 分 量 U 的 近 似 值 均 符 合 上 述 两 个 特 征 ,可 直 接 取 作 积 分 元 素 . 但 如 果习 惯 性 地 认 为 只 要 是 U 的 近 似 值 ,就 可 作 为 积 分 元 素 ,那 就 不 对 了 . 事 实 上 ,个 别 问 题 如 不 加 分 析 地 这 样 做就 会 出 错 ,错 误 的 原 因 往 往 在 于 忽 略 了 积 分 元 素 的 特 征 ,尤 其 是 第 二 个 特 征 .以 求 平 面 曲 线 的 弧 长 为 例 说 明 上 述
10、问 题 .如 图 1 所 示 ,求 光 滑 曲 线 y = f ( x) 在 a , b 上 的 一 段 弧 AB 之 长 .图 1设 弧 长 为 s ,如 果 认 为 , f ( x) 是 光 滑 曲 线 ,在 x , x + dx 上f ( x) 大 致 不 变 ,因 而 部 分 量 s = | M N | 从 而 取 M N 1 的 长 为 弧 长元 素 ds ,即ds = dx ,于 是 s =bads =badx = b - a.显 然 不 对 ,原 因 是 这 里 的 s - ds 并 不 是 dx ( x) 的 高 阶 无 穷小 (因 limx v0 s - ds x = lim
11、 X v0 s - x x ) = 1 + f ( x) 2 - 1 0 ,因 此 这 里 的 ds 不 可 能 是 a , b 上 的 弧 长 函 数 s ( x) 在 x 处 的 微分 ,取 dx 为 积 分 元 素 是 错 误 的 . 正 确 的 积 分 元 素 是 弧 长 函 数 s ( x)在 x 处 的 微 分 ,即 弧 微 分 : ds = 1 + f ( x) 2 dx ,因 而 弧 长 :s =ba1 + f ( x) 2 dx 3 .2 寻 求 积 分 元 素 的 途 径通 过 以 上 分 析 ,可 知 积 分 元 素 实 质 上 是 与 所 求 量 U 相 关 的 函数
12、U ( x) 在 a , b 上 任 一 点 x 处 的 微 分 dU (采 用 与 元 素 法 中 相 同 的 符 号 ) ,由 导 数 与 微 分 的 关 系 得 :dU = U ( x) dx = ( limX v0 U x ) dx其 中 U 既 是 所 求 量 U 在 区 间 x , x + x (即 x , x + dx ) 上 的 部 分 量 ,又 是 U ( x) 在 x 附 近 的 函 数增 量 . 在 具 体 问 题 中 ,常 常 可 根 据 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 求 得 U ( x) dx = ( limX v0 U x ) dx ,从 而 得 到
13、积 分元 素 dU . 试 看 下 例 .例 求 连 续 曲 线 y = f ( x) , x 轴 和 直 线 x = a , x = b所 围 曲 边 梯 形 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体积 .分 析 :同 一 图 形 绕 x 轴 旋 转 所 得 旋 转 体 体 积 为 :V x =dc f ( x) 2 dx其 积 分 元 素 dV x = f ( x) 2 dx按 照 这 个 思 路 ,绕 y 轴 旋 转 应 以 y 为 积 分 变 量 ,求 出 y = f ( x) 在 a , b 上 的 反 函 数 x = f - 1 ( x) ,进 而得 出 积 分 元
14、素 ,再 确 定 y 相 应 的 变 化 区 间 c , d ,得 旋 转 体 体 积 :03V f =ba f - 1 ( y) 2 dy这 是 不 错 的 ,但 主 要 问 题 是 y = f ( x) 在 a , b 上 不 一 定 有 反 函 数 .尝 试 仍 以 x 为 积 分 变 量 来 求 . 如 图 2所 示 ,图 中 阴 影 部 分 绕 y轴 旋 转 所 得 曲 顶 环 柱 体 的 体 积 即 为 V y 的 部图 2分 量 V y ( x + dx) 2 - x 2 f ( x) = 2 x dx - ( dx) 2 f ( x) 2 xf ( x) dx如 果 能 得 到
15、 dV y = 2 xf ( x) dx ,那 么 2 xf ( x) dx 即 为 积 分元 素 无 疑 了 . 接 下 来 的 证 明 过 程 即 可 作 为 寻 求 积 分 元 素 的 方 法 .因 为 f ( x) 在 x , x + x (即 x , x + dx ) 上 连 续 ,所 以 存在 点 1 , 2 x , x + x , 对 于 任 意 x x , x + x ,有 f ( 1) f ( x) f ( 2) ,于 是 : ( x + x) 2 - x2 f ( 1) F V y F ( x + x) 2 - x2 f ( 2)即 2 x x + ( x) 2 f ( 1
16、) F V y F2 x x + ( x) 2 f ( 2)或 :2 x x + ( x) 2 x f ( 1) F V y x F2 x x + ( x) 2 x f ( 2)因 为 f ( x) 连 续 ,所 以 x 0 时 , f ( 1) f ( x) , f ( 2) f ( x) ,不 等 式 两 边 取 极 限 得 :limX v02 x x + ( x) 2 x f ( 1) = 2 xf ( x) , lim X v02 x x + ( x) 2 x f ( 2) = 2 xf ( x)因 此 limX v0 V y x 存 在 ,且 lim X v0 V y x = 2 x
17、f ( x)即 dV ydx = 2 xf ( x) ,从 而 dV y = 2 xf ( x) dx故 V y =badV y =ba2 xf ( x) dx 4 综 上 所 述 ,积 分 元 素 实 质 上 是 与 所 求 量 U 相 关 的 函 数 U ( x) 在 x 处 的 微 分 . 它 的 选 取 不 是 随 意 的 ,具 体问 题 中 求 得 的 U 的 部 分 量 U 的 近 似 值 未 必 就 是 积 分 元 素 . 可 以 先 求 出 limX v0 U x ,再 与 dx 相 乘 ,便 可 得 到正 确 的 积 分 元 素 dU .参 考 文 献 : 1 同 济 大 学
18、 数 学 教 研 室 . 高 等 数 学 M . 北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,1987. 2 居 余 马 ,葛 严 麟 . 高 等 数 学 M . 北 京 :清 华 大 学 出 版 社 ,1996. 3 龚 冬 保 ,武 忠 祥 . 大 学 数 学 教 程 M . 西 安 :西 安 交 通 大 学 出 版 社 ,2000. 4 王 佩 荔 . 高 等 数 学 提 要 与 习 题 集 M . 天 津 :天 津 大 学 出 版 社 ,1994.责 任 编 辑 闫 明 刚 Essence of Integral Element a nd Anal ysis of Element - me
19、t hod ApplicationYAN G J un( M athematics Depart ment , A nyang Normal U niversity , A nyang 455000 , China)Abstract : Electing the integral element fitly is the key of resolving the concrete problem through the definite integral method. Understanding theessence of the integral element is important to avoid a lot of mistakes and elect the integral element effectively and rightly.Key Words : integral element ;definite integral ;element - method ;differential13
