1、,第六章,利用元素法解决:,定积分在几何上的应用,定积分在物理上的应用,定积分的应用,第一节,定积分的元素法,二 、如何应用定积分解决问题,第六章,一、再论曲边梯形的面积,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、再论曲边梯形的面积,研究步骤如下,（1）把区间 分成 个长度为 的小区间，相应的，第 个小窄曲边梯形的面积为 ，则,的近似值,若用 表示任一小区间 上的窄曲边梯形的面积，则,分析：,并取 ，于是,面积元素,则,就是所求面积的典型元素（简称典型元或微元）.,工程应用上需用定积分解决的问题，常用微元分析法.,二 、如何应用定积分解决问题,第一步,微分表达式,第二步,积分表达式,这种分析方法称为,近
2、似值,精确值,第二节,利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的,利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的,元素法 (或微元分析法 ),二、体积,第二节,一、 平面图形的面积,三、 平面曲线的弧长,定积分在几何学上的应用,第六章,1. 旋转体的体积,2. 平行截面面积为已知的立体的体积,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为,例1 计算两条曲线,所围图形,的面积 .,解 由,得交点 ，则,例2,与直线,的面积 .,解 由,得交点,所围图形,则有,计算抛物线,例3,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程
3、,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,求椭圆,例4,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解,求由摆线,圆柱,圆锥,圆台,1. 旋转体的体积,二、体积,旋转轴,则体积为多少？,、,取积分变量为,，,，,则,由此 , 当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,而当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,例5,所围图形绕 x 轴旋转而成，,求这个油箱能装燃料的体积.,解,则,(利用对称性),飞机的辅助燃料油箱形状为椭圆,利用直角坐标方程,方法1,方法2,则,利用椭圆参数方程,2. 平行截面面积为已知的立体的体积,设所给立体垂直于x 轴 的截面面积为A(x)
4、,则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,如果一个立体不是旋转体, 但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积, 那么, 这个立体的体积也可用定积分来计算.,在,例6,并,与底面交成 角,解,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .,一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,如图所示取坐标系,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,三、平面曲线的弧长,(2) 曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,例7,一拱,的弧长 .,解,计算摆线,内容小结,1. 平面
5、图形的面积,边界方程,参数方程,2. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,弧微分:,直角坐标方程,直角坐标方程,注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小,面积元素:,3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴 :,分析曲线特点,练习,解,与 x 轴所围面积,由图形的对称性 ,也合于所求., 为何值才能使,与 x 轴围成的面积等,故,（舍去）,第三节,一、 变力沿直线所作的功,二、 液体的侧压力,三、 引力问题,定积分在物理学上的应用,第六章,一、 变力沿直线所作的功,设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力
6、所做的功 .,在其上所作的功元,素为,因此变力F(x) 在区间,上所作的功为,例9,一个单,求电场力所作的功 .,解,当单位正电荷距离原点 r 时,则功的元素为,所求功为,说明:,位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) ,在一个带 电荷所产生的电场作用下,+q,(k为常数),试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,例10,解,在任一小区间,上的一薄层水的重力为,这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为,故所求功为,( J ),设水的密度为,(N),一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,建立坐标系如图.,面积为 A 的平板,二、液体的侧压力,设液体密度为 ,深为
7、h 处的压强:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .,平板一侧所受的压力为,小窄条上各点的压强,例11, 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力.,解,所论半圆的,利用对称性 , 侧压力元素,端面所受侧压力为,方程为,一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为,建立坐标系如图.,三、 引力问题,质量分别为,的质点 , 相距 r ,二者间的引力 :,大小:,方向:,沿两质点的连线,其中k 为引力系数.,例12,设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.,解,细棒上小段,对质点的引力大小为,故铅直分力元素为,在,试计算,建立坐标系如图.,利用对称性,棒对质点引力的水平分力,故棒对质点的引力大小为,棒对质点的引力的铅直分力为,内容小结,一般元素的几何形状有:,扇、片、壳 等.,2.定积分的物理应用:,变力作功 ,侧压力 ,引力.,条、段、环、带、,
